Przestrzeń probabilistyczna. Model klasyczny i geometryczny
Rachunek prawdopodobieństwa - dziedzina matematyki zajmująca się zdarzeniami poja-wiającymi się przy wykonywaniu doświadczeń losowych, to znaczy doświadczeń, których wyniku nie da się z góry przewidzieć i które mogą być powtórzone w tych samych wa-runkach.
Przykłady doświadczeń losowych: rzut monetą lub kostką, losowanie karty z talii, wynik pomiaru wzrostu przypadkowo wybranego studenta, wystąpienie mutacji genetycznej.
Zbiór zdarzeń elementarnych
Definicja 1. Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem Ω.
Przykład 1. Rzucamy jeden raz kostką. Wtedy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} jest zbiorem skoń-
czonym.
Przykład 2. Rzucamy monetą symetryczną tak długo dopóki nie wypadnie orzeł. Wtedy Ω = {O , RO , RRO , . . . R . . . R O, . . .} jest zbiorem przeliczalnym nieskończonym.
|
{z
}
n−1
Przykład 3. Rzucamy punkt materialny na kwadrat [0; 1] × [0; 1]. Wtedy Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1} jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Zdarzenia losowe
Przykład 4. Zauważmy, że w przykładzie 1 oprócz zdarzeń elementarnych można roz-patrywać np. zdarzenia postaci A = {2, 4, 6} - wypadnie parzysta liczba oczek, B = {1, 2} - wypadnie liczba oczek mniejsza od 3.
Wtedy A i B są zdarzeniami losowymi nieelementarnymi. Zauważmy, że A ⊂ Ω, B ⊂ Ω, czyli zdarzenia losowe A i B są podzbiorami zbioru Ω.
Ogólnie: podzbiór zbioru Ω jest zdarzeniem losowym, jeśli spełnia pewne warunki okre-
ślone w poniższej definicji.
Definicja 2. Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, jeśli speł-
nione są warunki:
1. ∅ ∈ F ;
2. Jeśli A ∈ F , to A0 ∈ F ;
∞
[
3. Jeśli An ∈ F dla n ∈ N, to
An ∈ F .
n=1
1
Definicja 3. Zdarzeniem losowym nazywamy każdy element σ-ciała zdarzeń.
Definicja 4. Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie Ω.
Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie ∅.
Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A0 = Ω − A.
Przykład 4. Rozważmy jednokrotny rzut monetą symetryczną.
Wtedy Ω = {O, R}. Rodzina wszystkich zdarzeń losowych ma postać
F = {∅, Ω, {O}, {R}}.
Definicja 5. Przestrzeń (Ω, F ) nazywamy przestrzenią mierzalną.
Prawdopodobieństwo
Definicja 6. Prawdopodobieństwem w przestrzeni mierzalnej (Ω, F ) nazywamy każdą funkcję P : F →
+
R
∪ {0} taką, że
1. P (Ω) = 1;
∞
!
∞
[
X
2. P
Ai
=
P (Ai) dla każdego przeliczalnego ciągu zdarzeń (Ai)∞ takiego,
i=1
i=1
i=1
że Ai ∩ Aj = ∅ gdy i 6= j.
Warunki zawarte w powyższej definicji noszą nazwę aksjomatów teorii prawdopodobień-
stwa. Zostały sformułowane w 1933 roku przez Kołmogorowa.
Definicja 7. Trójkę (Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Własności prawdopodobieństwa:
Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Jeśli A, B, A1, . . . , An ∈ F , to: 1. P (∅) = 0;
n
!
n
[
X
2. Jeśli Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to P
Ai
=
P (Ai);
i=1
i=1
3. P (A0) = 1 − P (A);
4. A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B);
5. P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B);
6. A ⊂ B ⇒ P (B − A) = P (B) − P (A);
7. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B);
2
X
X
P (A1 ∪ · · · ∪ An) =
P (Ai) −
P (Ai ∩ Ak) + · · · +
1≤i≤n
1≤i<k≤n
+(−1)n−1 · P (A1 ∩ · · · ∩ An).
W szczególności, dla n=3:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3) =P (A1) + P (A2) + P (A3) − P (A1 ∩ A2)+
−P (A1 ∩ A3) − P (A2 ∩ A3) + P (A1 ∩ A2 ∩ A3).
Uwaga. Z definicji prawdopodobieństwa wynika, że dla każdego A ∈ F , P (A) ≥ 0.
Ponadto, ponieważ A ⊂ Ω, więc na mocy własności 4 prawdopodobieństwa mamy P (A) ≤ P (Ω) = 1. Ostatecznie więc dla każdego zdarzenia A
0 ≤ P (A) ≤ 1.
Przykłady określania prawdopodobieństwa
1. Przeliczalny zbiór zdarzeń elementarnych
Twierdzenie 1. Jeśli Ω = {ω1, ω2, . . . } jest zbiorem przeliczalnym oraz {ωi} ∈ F dla każdego i, to dla każdego zdarzenia losowego A ⊂ Ω
X
P (A) =
pi,
{i: ωi∈A}
gdzie pi = P ({ωi}).
1.1 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech A będzie skończonym zbiorem. Wtedy A oznacza liczbę elementów zbioru A.
Twierdzenie 2. Jeśli Ω = {ω1, . . . , ωn} jest zbiorem skończonym, {ωi} ∈ F dla każdego i jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to znaczy 1
P (ωi) = Ω
dla każdego ωi ∈ Ω,
to dla dowolnego zdarzenia losowego A ∈ F
A
P (A) =
.
Ω
Klasyczną definicję prawdopodobieństwa podał w 1812 roku Laplace.
3
2. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa
Uwaga. Jeśli A ⊂
n
R , to |A| jest miarą Lebesgue’a zbioru A, to znaczy:
jeśli n = 1, to |A|="długość";
jeśli n = 2, to |A|="pole";
jeśli n = 3, to |A|="objętość".
Twierdzenie 3. Niech Ω ⊂
n
R , n ≥ 1, gdzie Ω ma skończoną i niezerową n-wymiarową
miarę Lebesgue’a. Wówczas
|A|
P (A) = |Ω|
dla każdego A ∈ F .
Przykład 5. Rzucamy n razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden raz wystąpi orzeł?
Rozwiązanie: Przestrzeń zdarzeń elementarnych można zapisać jako
Ω = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ {O, R}}.
Zauważmy, że Ω jest zbiorem skończonym i Ω = 2n. Ponadto wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to znaczy
1
P (ωi) = 2n
dla każdego ωi ∈ Ω. Możemy więc korzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
Mamy:
A = {(O, R, . . . , R), (R, O, R, . . . , R), . . . , (R, R, . . . , R, O)}, co oznacza, że A = n. Ostatecznie więc
A
n
P (A) =
=
.
Ω
2n
Przykład 6. Dwie osoby X i Y umawiają się na spotkanie między godziną 1100 a 1200, przy czym ta, która przyjdzie pierwsza czeka na drugą 20 minut i odchodzi.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, że się spotkają?
Rozwiązanie: Skorzystamy z geometrycznej definicji prawdopodobieństwa. Niech x-moment przyjścia osoby X;
y-moment przyjścia osoby Y .
Wtedy
Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1},
4
1
A =
(x, y) ∈ Ω : |x − y| <
.
3
Mamy: |A| = 5 , |Ω| = 1. Zatem
9
|A|
5
P (A) =
=
.
|Ω|
9
2. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia B, ze przyjdą w tym samym momencie?
Rozwiązanie:
B = {(x, y) ∈ Ω : x = y}.
Zatem |B| = 0, co oznacza, że P (B) = 0.
Uwaga: Mimo, że P (B) = 0, to B nie jest zdarzeniem niemożliwym!
5