Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a

Zad.1 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a w podanych przedziałach: 1.1 f (x) = x3 + 4x2 − 7x − 10

− 1 6 x 6 2

1.2 f (x) = ln sin x

π 6 x 6 5π

6

6

1.3 f (x) = π − arctg |x|

− 1 6 x 6 1

4

Zad.2

Nie znajdując pochodnej funkcji f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) oblicz ilość pierwiastków równania f 0(x) = 0 i podaj przedziały, w których one leżą.

Zad.3 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Lagrange’a w podanych przedziałach: 3.1 f (x) = x − x2

− 2 6 x 6 1

3.2 f (x) = arctg x

0 6 x 6 1

√

Zad.4 Zastosuj twierdzenie Lagrange’a do funkcji f (x) = arctg x na przedziale −1 , 3 . Wyznacz odpowiednie

punkty.

Różniczka zupełna

Zad.5 Wyznacz różniczki zupełne funkcji:

√

5.1 f (x) =

x2−1 + arcsin 1

5.2 f (x) = ln e2x + 1 − 2 arctg ex x

x

5.3 f (x) = ( x2 + 9 ) arctg x − 3x 3

Zad.6 Oblicz, korzystając z różniczki zupełnej, przybliżoną wartość wyrażenia:

√

6.1 ln(1, 02)

6.2

3 8, 12

6.3 arctg (1, 01)

6.4 e−0,05

6.5 arcsin (0, 505)

6.6

1

√8,99

Wzór Taylora

Zad.7 Napisz wzór Taylora rzędu n dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x0 : 7.1 f (x) = arcsin x

n = 1, x0 = 0

7.2 f (x) = x cos x

n = 3, x0 = 0

7.3 f (x) = x2x

n = 1, x0 = 1

7.4 f (x) = ln(x2 + x − 2)

n = 2, x0 = 2

Zad.8 Napisz wzór Maclaurina dla funkcji f (x) : 8.1 f (x) = 4 sin x cos x

8.2 f (x) = e3x

8.3 f (x) =

1

√1−x

Zad.9 Napisz wzór Taylora dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x0 : 9.1 f (x) = cos x

x0 = π

9.2 f (x) = e2x

x

x

2

0 = 1

9.3 f (x) = 1x

0 = −1

Zad.10 Wielomian f (x) = x4 − 5x3 + x2 − 3x + 4 przedstaw jako sumę potęg dwumianu x − 4 .

Zad.11 Oszacuj błędy wzorów przyblożonych: 11.1

ex ≈ 1 + x + x2 + x3 + x4

0 6 x 6 1

2

6

24

11.2

tg x ≈ x + x3

|x| 6 0, 1

6

√

11.3

1 + x ≈ 1 + x − x2

|x| 6 1

2

8

4