1
Lista 8
Całki potrójne
1. Obliczyć podane całki potrójne:
π
1
1
2
1
4
2
a) R dx R dy R ( x 2 + y 2 + z 2) dz; b) R dz R dy R x cos ydx;
− 1
0
0
0
0
0
c) RRR (2 x − y + 3 z) dxdydz, gdzie V = [ − 1 , 1] × [0 , 1] × [2 , 4]; V
d) RRR x dxdydz, gdzie V = [0 , 1] × [1 , 2] × [2 , 3]; yz
V
e) RRR yx 2 sin zdxdydz, gdzie V = [0 , 1] × [ − 1 , 1] × [0 , π ]; 2
V
f) RRR e2 z+ y−xdxdydz, gdzie V = [0 , ln 2] × [0 , ln 3] × [0 , 1].
V
2. Całkę potrójną RRR f ( x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar V
V
ograniczony jest powierzchniami:
a) 2 x + 3 y + 4 z = 12 , x = 0 , y = 0 , z = 0;
√
b) y =
x 2 + z 2 , y = 1;
c) x 2 + y 2 = R 2 , z = 0 , z = 8 − x 2 − y 2 .
3. Obliczyć całki:
a)
RRR zdxdydz, jeżeli V jest obszarem ograniczonym płaszczyznami V
x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 .
√
b) RRR z x 2 + y 2 dxdydz po obszarze V ograniczonym płaszczyznami V
współrzędnych oraz powierzchniami x 2 + y 2 − 2 z = 0 i x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 0
jeśli x 0 , y 0 , z 0 .
c)
RRR 4 z 3 dxdydz po obszarze V ograniczonym powierzchniami V
x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 i x 2 + y 2 + z 2 − 2 z = 0 .