ELEMENTY RACHUNKU RÓśNICZKOWEGO
Definicja pochodnej
ZałóŜmy, Ŝe funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu U ( x ,δ ) 0
.
Niech
x
∆ oznacza przyrost zmiennej x róŜny od zera taki, Ŝe x + x
∆ ∈ U( x ,δ )
0
0
.
Przyrostowi x
∆ odpowiada przyrost f
∆ wartości funkcji f
f
∆ = f ( x + x
∆ ) − f ( x )
0
0
.
Ilorazem róŜnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu argumentu x
∆ nazywamy iloraz
f
∆
f ( x 0 + x
∆ ) − f ( x
=
)
0
x
∆
x
∆
.
1
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu róŜnicowego, gdy przyrost
x
∆ dąŜy do zera. Pochodną
oznaczamy symbolem f '( x )
0
.
Zatem
f ( x 0 + x
∆ ) − f ( x )
f '( x )
0
= lim
0
x
∆ →0
x
∆
.
Na oznaczenie pochodnej uŜywa się równieŜ innych symboli:
df
dy
y'
'
,
f '( x) ,
y
dx ,
x ,
dx .
O funkcji która ma pochodną w punkcie x0 mówimy, Ŝe jest w tym punkcie róŜniczkowalna.
2
Wzory i reguły obliczania pochodnych
Reguły róŜniczkowania
1) ( f + g)'( x ) = f '( x ) + g'( x ) 0
0
0
2) ( f − g)'( x ) = f '( x ) − g'( x ) 0
0
0
3) ( f ⋅ g)'( x ) = f '( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g'( x ) 0
0
0
0
0
'
f
f '( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g'( x ) ( x )
0
0
0
0
=
, g( x ) ≠ 0
4)
0
g
[ g( x )]2
0
0
3
1) ( k)' = 0 , k – dowolna stała,
n
n−1
2) ( x )' = n ⋅ x
, n
∈ R ,
3) (sin x)' = cos x
, x ∈ R ,
4) (cos x)' = − sin x
, x ∈ R
1
π
(t
g x)' =
, x ≠
+ kπ , k
∈ C
5)
cos2 x
2
,
1
(ct
g x)'= −
, x ≠ kπ , k
∈ C
6)
sin2 x
,
x
x
x
x
7) ( a )' = a ⋅ ln a
, x ∈ R , ( e )'= e , x ∈ R .
4
JeŜeli funkcja f ma w punkcie x0 pochodną, to wykres funkcji f ma w punkcie P0( x0, f(x0)) styczną, której współczynnik kierunkowy jest równy f’( x0).
Y
P0
f(x0)
α
x
0
X
Zatem
f '( x ) = tg
0
α
a równanie tej stycznej ma postać
y = f '( x )( x − x ) + f ( x ) 0
0
0
.
5
JeŜeli mamy funkcję z=f(y), gdzie y jest z kolei funkcją zmiennej x, powiedzmy y=g(x), to
dz
dz dy
=
= f '( y)⋅ g'( x)
dx
dy dx
.
Przykład
2
7
Oblicz pochodną funkcji z = ( x +12 x − )
5 .
Rozwiązanie
2
7
Definiując zmienną
y = x +12 x − 5 otrzymujemy: z = y oraz 2
y = x +12 x − 5 .
dz = dz dy = 7 6 y(2 x +1 )
2 = 7( 2
x +12 x − )
5 6 (2 x +1 )
2
Pochodna dx
dy dx
.
6
JeŜeli pochodna funkcji f jest róŜniczkowalna w pewnym przedziale, to jej pochodną nazywamy drugą pochodną lub pochodną rzędu drugiego 2
d f
funkcji f i oznaczamy symbolem f’’ lub
2
dx .
JeŜeli druga pochodna funkcji f jest takŜe róŜniczkowalna, to pochodną drugiej pochodnej nazywamy trzecią pochodną lub pochodną rzędu 3
d f
trzeciego funkcji f i oznaczamy symbolem f’’’ lub
3
dx .
Ogólnie pochodną n- tego rzędu funkcji f nazywamy pochodną pochodnej rzędu ( n – 1). Pochodną n- tego rzędu oznaczamy symbolem n
d f
f(n) lub
n
dx .
7
RozwaŜmy funkcję y=f(x1, x2, ..., xn), gdzie zmienne xi ( i = 1, 2, ..., n) są niezaleŜne od siebie, więc kaŜda moŜe zmieniać swoją wartość nie wpływając na pozostałe.
Jeśli zmienna x
x
∆
1 ulega zmianie
1 , podczas gdy x2, ..., xn pozostają
ustalone, to następuje związana z tym zmiana y, mianowicie y
∆ .
Iloraz róŜnicowy będzie w tym przypadku wyraŜony jako
y
∆
f ( x + x
∆ , x ,..., x ) − f ( x , x ,..., x ) 1
1
2
n
1
2
n
=
x
∆
x
∆
1
1
y
∆
Pochodną cząstkową względem x1 będzie granica ilorazu x
∆ , przy
1
y
∂
y
∆
∆
=
x → 0
lim
1
:
x
∆ →0
∂
∆ .
1
x
x
1
1
8
Funkcję f : D → R
I ⊆ D
f
nazywamy wypukłą ( wklęsłą) w przedziale
f
jeŜeli dla dowolnego x
0 ≤ λ ≤
1 i x2 z przedziału I oraz
1, spełniona jest
nierówność f ( x
λ + 1
( − )
λ x )≤ f
λ ( x )+ 1
( − )
λ f( x ) f( x
λ + 1
( − )
λ x )≥ f
λ ( x )+ 1
( − )
λ f( x
1
2
1
2 (
)
1
2
1
2 ).
Sprawdzenia, czy dana funkcja jest wypukła czy wklęsła w danym przedziale moŜemy dokonać uŜywając rachunku róŜniczkowego.
Twierdzenie
:
→
( , ) ⊆
JeŜeli funkcja f
D
R
a b
D
f
jest dwukrotnie róŜniczkowalna w przedziale
f
oraz jeŜeli I = [ a, b] . Wówczas:
(1) Funkcja f jest wypukła w przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) ≥ 0 dla dowolnych x ∈ ( a, b) .
(2) Funkcja f jest wklęsła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) ≤ 0 dla x ∈ ( a, b) .
(3) Funkcja f jest ściśle wypukła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) > 0 dla x ∈ ( a, b) .
(4) Funkcja f jest ściśle wklęsła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) < 0 dla x ∈ ( a, b) .
9
Dla liczby c,
f x =
g x =
je
lim ( )
lim ( )
Ŝeli
0
x→ c
oraz
0
x→ c
, wówczas
f ( x)
f '( x
lim
=
)
lim
= L
x→ c g( x
x
)
→ c g'( x)
,
przy załoŜeniu, Ŝe druga z tych granic istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
MoŜe się okazać, Ŝe po zastosowaniu twierdzenia nadal mamy formę nieokreśloną “0/0” lub “ ∞ / ∞ ”. NaleŜy wówczas zastosować
twierdzenie po raz kolejny .
Twierdzenie
moŜna
zastosować
takŜe
w
przypadku
granic
jednostronnych, jak równieŜ w przypadkach x → −∞ lub x → +∞ .
10
Często konieczne jest aproksymowanie tak dokładnie jak to moŜliwe
‘skomplikowanej’ funkcji f za pomocą wielomianu Pn stopnia n.
Twierdzenie
Niech funkcja f : D → R
f
jest n+ 1 razy róŜniczkowalna w przedziale
( a, b) ∈ D f zawierającym punkty x0 i x. Wówczas funkcję f moŜna zapisać jako
( n 1
− )
f (
′ x )
f ′ (
′ x )
f
( x )
n
−
f
C
n
( )
0
0
2
0
1
f ( x) = f ( x ) +
( x − x ) +
( x − x ) + ... +
( x − x )
+
( x − x ) n
0
0
0
0
0
1!
2!
( n −1)!
n!
,
n 1
−
k
f ( x )
0
k
= ∑
−
+
lub f ( x)
( x
x )
R
0
,
=
k !
n
k 0
( n
f
) ( x + s( x − x ))
0
0
n
=
⋅ −
gdzie R
( x
x )
n
0
n!
, 0 < s < 1
jest resztą Lagrange’a (reszta jest róŜnicą pomiędzy oryginalną funkcją f a wielomianem Pn).
11
Krańcowy Koszt, Przychód oraz Zysk
JeŜeli x jest liczbą jednostek jakiegoś dobra, produkowaną w pewnym okresie, wówczas
koszt całkowity = TC(x)
koszt krańcowy = TC’(x) = MC(x)
przychód całkowity = TR(x)
przychód krańcowy = TR’(x) = MR(x)
zysk = P(x) = TR(x) –TC(x)
zysk krańcowy = P’(x) = TR’(x) – TC’(x)
Koszt krańcowy (przychód lub zysk) jest natychmiastową stopą zmiany kosztu całkowitego (przychodu lub zysku) przy danym poziomie produkcji.
12
Przedsiębiorstwo produkuje piece c.o. Funkcja kosztu całkowitego (PLN) produkcji x pieców ma postać
2
TC( x) = 10000 + 90 x − 0
,
0 5 x .
(A) Wyznacz funkcję kosztu krańcowego.
(B) Oblicz koszt krańcowy przy wielkości produkcji 500 pieców tygodniowo oraz zinterpretuj wynik.
Rozwiązanie
(A) TC'( x) = MC( x) = 90 −
x
1
,
0
(B) TC' 5
( 0 )
0 = MC 5
( 0 )
0 = 90 −
5
(
1
,
0
0 )
0 = 40
Przy produkcji na poziomie 500 pieców tygodniowo koszt całkowity produkcji rośnie o 40 zł/piec.
13
Optymalizacja wielkości ekonomicznych
W celu optymalizacji wielkości ekonomicznych posłuŜymy się metodą znajdowania (oraz klasyfikowania) punktów stacjonarnych funkcji (punktów, gdzie styczna do wykresu funkcji jest pozioma i jej nachylenie równe jest zero):
1. RozwiąŜ równanie
f '( x) = 0
aby znaleźć punkty stacjonarne, x=a.
2. JeŜeli
• f ''( a) > 0 , wówczas funkcja ma minimum w x=a.
• f ''( a) < 0, wówczas funkcja ma maximum w x=a.
• f ''( a) = 0 , to nie moŜemy tego punktu ocenić na postawie powyŜszych informacji.
14
Dział analiz rynkowych pewnego przedsiębiorstwa produkującego
krzesła zarekomendował wprowadzenie na rynek nowego modelu
krzesła. Po przeprowadzeniu testów marketingowych przyjęto
następującą funkcję popytu:
x = 10000 −100 p x – wielkość popytu przy cenie p Przekształcając funkcję do postaci odwrotnej funkcji popytu
p = 100 − 0
,
0
x
1
gdzie x – liczba krzeseł, które klienci chcą kupić przy cenie p.
Dział finansów oszacował funkcję kosztów produkcji jako:
TC( x) = 5000 + 20 x .
(A) Wyznacz funkcję przychodu całkowitego jako funkcję x
(B) Wyznacz funkcję zysku oraz wielkość produkcji, przy której zysk będzie maksymalny.
15
(A) Funkcja przychodu całkowitego
TR( x) = xp = x 1
( 00 − ,
0 01 x)
2
TR( x) = 100 x − ,
0 01 x
(B) Funkcja zysku
P( x) = TR( x) − TC( x) = 100 x − , 0 01 2
x − 5
( 000 − 20 x)
P( x) = − ,
0 01 2
x +120 x − 5000
Aby znaleźć wielkość produkcji, przy której zysk jest maksymalny naleŜy znaleźć i sklasyfikować punkty stacjonarne funkcji zysku:
1. W punkcie stacjonarnym P'( x) = − ,
0 02 x +120 = 0 , więc x = 6000 .
2. Aby sklasyfikować ten punkt naleŜy obliczyć drugą pochodną
P''( x) = − ,
0 02 – jest ujemna więc P(x) ma maximum w x0 = 6000.
16
Zysk, P, jest zdefiniowany jako róŜnica pomiędzy przychodem całkowitym, TR, a kosztem całkowitym, TC, tak więc
P( x) = TR( x) − TC( x) .
Aby znaleźć punkt stacjonarny funkcji P naleŜy obliczyć pochodną względem x i przyrównać do zera, tak więc
P'( x) = [ TR( x) − TC( x)]' = TR'( x) − TC'( x) = 0 .
PoniewaŜ zdefiowano MR = TR’ oraz MC = TC’, więc powyŜsze równanie jest równoznaczne z:
MR − MC = 0 ,
więc
jeŜeli przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk, to
MR = MC.
17
Metoda mnoŜników Lagrange’a
Aby znaleźć wartość optymalną funkcji celu
f(x, y)
z uwzględnieniem warunku ograniczającego
ϕ( x, y) = M
naleŜy:
1. zdefiniować nową funkcję zwaną funkcją Lagrange’a
g( x, y, λ) = f ( x, y) + λ[ M − ϕ( x, y)]
2. wyznaczyć pochodne cząstkowe oraz rozwiązać układ równań
∂ g
∂
=
g
∂ g
0
= 0
=
∂ x
,
∂ y
,
0
∂λ
dla trzech niewiadomych: x, y oraz λ (mnoŜnik Lagrange’a).
18
Maksymalizacja uŜyteczności konsumenta
Przykład
1
3
Funkcja uŜyteczności konsumenta ma postać
4
4
U = x ⋅ x
1
2 , gdzie x1 i x2
oznaczają ilość kupowanych dóbr G1 oraz G2. Cena dobra G1 wynosi 2
PLN, zaś cena G2 to 4 PLN. Znajdź, za pomocą metody mnoŜników Lagrange’a, wartość maksymalną U, jeŜeli dochód konsumenta wynosi 240 PLN.
19
1. Funkcja Lagrange’a ma postać:
1
3
g( x , x , λ)
4
4
= x ⋅ x + λ(240 − 2 x − 4 x )
1
2
1
2
1
2
2. Pochodne cząstkowe:
3
3
∂ g
1 − 4 4
= x x − λ ⋅2 = 0
1
2
∂ x
4
(1),
1
1
1
∂ g
3
−
4
4
= x x − λ ⋅4 = 0
1
2
∂ x
4
(2),
2
∂ g = 240−2 x −4 x = 0
1
2
∂λ
(3).
Wartości x
x =
x =
1 oraz x2, które maksymalizują U:
30
1
and
45
2
.
20
Minimalizacja kosztów produkcji
Przykład
1
1
Funkcja produkcji pewnego przedsiębiorstwa ma postać
2
2
Q = K ⋅ L .
Jednostkowe ceny kapitału oraz pracy wynoszą odpowiednio 2 PLN
oraz 8 PLN. Znajdź wartości K i L, które będą zapewnią minimalne koszty produkcji 120 jednostek produktu, na które przedsiębiorstwo podpisało kontrakty długoterminowe.
21
Rozwiązanie
Funkcja Lagrange’a ma postać:
1
1
c( K , L, λ) = 2 K + 8 L + λ 1
( 20
2
2
− K L )
Wartości K i L, które minimalizują koszty produkcji K=240 oraz L=60.
22