przygotowa la Joanna Grabowska na podstawie Szymański, Dróbka “Matematyka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań” oraz Leksiński, Na-bia lek, Żakowski “Matematyka, definicje, twierdzenia, przyk lady, zadania”

1

Badanie przebiegu zmienności funckji

1.1

Algorytm badania wykresu funkcji

1) Wyznaczamy dziedzine funkcji f;

2) wyznaczamy granice funkcji na końcach przedzia lów, z których sk lada sie dziedzina;

3) znajdujemy miejsca zerowe funkcji f i punkt, w którym wykres przecina oś y;

4) wyznaczamy pochodna funkcji f i znajdujemy miejsca zerowe pochodnej; 5) znajdujemy przedzia ly monotoniczności funkcji i jej ekstrema (jeśli istnieja);

6) badamy, czy istnieja asymptoty wykresu funkcji i znajdujemy ich rónania; 7) wykorzystujac dane zebrane w pkt 1-6 budujemy tabele zmienności i szkicujemy wykresy funkcji f

1.2

Asymptoty wykresu funkcji

Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (α, +∞) i istnieje skończone granica limx→+f(x) = b, to prosta o równianiu y = b nazywamy asymptota pozioma wykresu funkcji f w plus nieskończoności.

Podobnie jeśli

funkcja f jest określona w przedzxiale (−∞, α) i istnieje skończona granica limx→−f (x) = b to prosta o równaniu y = b nazywamy asymptota pozioma funkcji f w minus nieskończoności. Jeśli prosta o równaniu y = b jest asymptota pozioma wykresu funkcji f zarówno w plus, jak i w minus niekończoności, to nazywamy ja asymptota pozioma obustronna. Jeśli prosta o równaniu y = b jest asymptota pionowa wykresu funkcji f, to wykres funkcji zbiliża sie do tej prostej, gdy x daży do nieskończoności.

Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (α, +∞) i istnieje skończone granica limx→a+f(x) = b, lub limx→a+f(x) = −∞ to prosta o równianiu x = a nazywamy asymptota prawostronna pionowa wykresu funkcji f w plus nieskończoności. Podobnie określamy asymptote lewostronna. Jeśli prosta jest jednocześnie asymptota pionowaprawo i lewostronnato jest asymptota pionowa obustronna.

1.3

Monotoniczność funkcji

Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym jest funkcja rosnaca w tym przedziale, to jej pochodna f’ jest w każdym 1

punkcie przedzia lu (a,b) nieujemna.

Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b) i przy tym jest funkcja malejaca w tym przedziale, to jej pochodna f’ jest w każdym punkcie przedzia lu (a,b) niedodatnia.

Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej pochodna f’ przyjmuje co najwyżej skończonej liczbie punktów przedzia lu wartość zero, a we wszystkich pozosta lych punktach przedzia lu jest dodatnia, to funkcja f jest w przedziale (a,b) rosnaca.

Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a,b), a jej pochodna f’ przyjmuje co najwyżej skończonej liczbie punktów przedzia lu wartość zero, a we wszystkich pozosta lych punktach przedzia lu jest ujemna, to funkcja f jest w przedziale (a,b) malejaca.

1.4

Ekstremum funkcji

Za lóżmy, że funkcja f jest określona w przedziale (a, b) i x0 ∈ (a, b). Mówimy, że funkcja f osiaga w punkcie x0 maksimum, jeśli istnieje taki przedzia l (a1, b) ⊂ (a, b) o środku w punkcie x0 to dla każdego x ∈ (a1, b)ix 6= x0 za-chodzi nierówność f (x) < f (x0). Analogicznie określamy minimum funkcji.

Ekstrema funkcji to minimum lub maksimum funkcji.

2

Przyk lad badania zmienności funkcji

2.1

Zadanie 1

Zbadamy przebieg zmiennościo funkcji f określanej wzorem f (x) = x3+4

x2

1) df = (−∞, 0) i (0, +∞) 2) limx→+∞(x3+4) = lim

) = +∞

x2

x→+∞(x + 4

x2

limx→−∞( x3+4 ) = −∞

x2

limx

) lim

) = lim

) = +

→0+ ( x3+4

∞

x2

x→0− ( x3+4

x2

x→+∞(x + 4

x2

√

3) f (x) = 0 ⇔ x3 + 4 = 0 i X2 6= 0 ⇔ x = − 34, a ponieważ 0 /

∈ Df,

wiec wykres funkcji nei przecina osi y;

4) f ′(x) = (x3+4)′x2−(x3+4)(x2)′ = x4−8x

x4

x4

f ′(x) = 0 ⇔ x4 − 8x = 0 i x4 6= 0 ⇔ x = 2

5) przedzia ly monotoniczności funkcji f:

2

f ′(x) > 0 ⇔ x(x − 2) > 2 i x 6= 0

f ′(x) < 0 ⇔ x(x − 2) < 2 i x 6= 0

stad otrzymujemy:

f ′(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, 0) i x ∈ (2, ∞)

f ′(x) < 0 ⇔ x ∈ (0, 2)

Zatem funkcja rośnie w przedzia lach (−∞, 0) i (2, ∞) i maleje w przedziale (0, 2). W takim razie wynika,że f osiaga maksimum w punkcie x0 = 2

i fmin = 3

6) Poniewqaż nie istnieje skończona granica funkcji w nieskończoności ani granica w minus nieskończoności, to nie istnieje pozioma asymptota wykresu funkcji f.

Istnieje natomiast asymptota pionowa, jest nia prosta o równaniu x = 0.

Aby zbadać istnienie asymptoty pochy lej, najpierw badamy istnbienie granicy lim

f (x)

f (x3+4)

x→−∞

, czyli lim

. Granica ta istnieje i wynosi

x

x→−∞

x3

1. Znaczy to, że wspó lczynnik kierunkowy ewentualnej asymptoty jest równy 1. Teraz badamy istnienie granicy limx→−∞( f(x3+4) x2

− x). Granica ta wy-

nosi zero. W takim razie asymptota pochy la jest prosta o równianiu x=y.

7) Wykorzystujac zebrane o funkcji wiadomości, budujemy tabele zmienności funkcji, a nastepnie szkicujemy wykres.

|x

(−∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, ∞)

f ′(x)

(+)

x

(−)

0

(+)

f ′(x)

(↑)

x

(↓)

3

(↑)

2.2

Zadanie 2

1

Zbadać funkcje: y = x−1 e x

x

Rozwiazanie: Dziedzina funkcji: Df = (−∞, 0) i (0.∞) Mamy nastepnie y → 1, gdy x → −∞ lub x → ∞, y → −∞, gdy x → 0− oraz 1

lim

x−1

x→0 y = lim

e x

+

x→0+ x

lim

1−u

−1

u→∞

=

= 0

eu

H limu→∞ eu

, gdzie u = 1x

Z przeprowadzonych obliczeń granic wynika, że wykres funkcji ma lewostronna asymptote pionowa o równaniu x= 0, oraz obustronna asymptote pozioma y = 1. Wynika stad, że nie istnieje żadna asymptota ukośna.

1

Obliczamy pierwsza pochodna y′ = 2x−1 e− x . Ponieważ Df ′ = Df , x3

y′ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 1 oraz pochodna zmienia znak w punkcie 2

x = 1 z ujemnego na dodatni, wiec funkcja w tym punkcie ma ekstremum, 2

3

minimum; ymin = y( 1 ) = −1 . Ponieważ y′ > 0 na przedziale (

2

−∞, 0) i na

e2

przedziale ( 1 ,

2 ∞), wiec funkcja jest na tych przedzia lach rosnaca. Poniewa ż y′ < 0 na przedziale (0, 1 ), wiec funkcja jest malejaca na tym przedziale.

2

na podstawie uzyskanych informacji sporzadzamy tabelke zmienności funkcjii sporzadzamy wykres.

|x

(−∞, 0) 0 (0, 1)

( 1 )

( 1 ,

2

2

2 ∞)

f ′(x)

(+)

x

(−)

0

(+)

f ′(x)

(↑)

x

(↓)

( −1 )

(↑)

e2

4