• Jest to proces wsiąkania wody przez powierzchnię terenu do gruntu.
Strefy wilgotności w czasie infiltracji
0
zawartość wilgoci θ
• Czynniki determinujące infiltrację:
strefa nasycenia
– porowatość gruntu,
– przewodność hydrauliczna,
strefa
– aktualna zawartość wody w gruncie
przewodzenia
(stopień uwilgotnienia gruntu).
θ(h)
ćśokob
strefa
łęg uwilgotnienia
front
uwilgotnienia
Hydrologia, rok III, wykład 8
1/14
• NatęŜenie infiltracji – ilość wody, która wnika do gruntu przez jego powierzchnię (np. wyraŜona w [mm/h]).
• Potencjalne natęŜenie infiltracji – natęŜenie w warunkach pełnego nasycenia.
• aktualne natęŜenie infiltracji ≤ potencjalne natęŜenie infiltracji
• Infiltracja skumulowana (sumowa) – ilość wody, która infiltruje w określonym przedziale czasu, tzn. od przyjętego umownie momentu t = 0 do chwili t 〈0, t〉: t
F
–
infiltracja skumulowana,
F t
( ) =
f
∫ τ() τ
d
f
–
natęŜenie infiltracji,
τ
0
–
zmienna całkowania.
• Z powyŜszej definicji wynika zaleŜność:
dF t
( )
f t
( ) =
dt
Hydrologia, rok III, wykład 8
2/14
Równania opisujące proces infiltracji
• Równanie Hortona (1933)
– Horton zauwaŜył, Ŝe natęŜenie infiltracji zmienia się w czasie wykładniczo; rozpoczyna się od pewnej wartości f i zmniejsza się do 0
stałej wartości f :
c
f ( t) = f + f 0 − f e−
⋅
c
(
c )
k t
k – stała zanikania
f – maksymalna infiltracja w stanie nasycenia c
(zaleŜy od rodzaju gruntu:
gliny – 1÷3 mm/h, piaski – 7÷11 mm/h),
f – infiltracja początkowa
0
(zaleŜy od rodzaju gruntu i jego wilgotności)
Hydrologia, rok III, wykład 8
3/14
– ZaleŜność tę moŜna interpretować jako rozwiązanie równania Richardsa przy D = const i K = const:
2
∂θ
∂
=
θ
D
2
t
∂
z
∂
– Równanie Hortona reprezentuje strumień masy wody wnikający w procesie dyfuzji przez powierzchnię:
∂θ
NatęŜenie infiltracji
f t
( ) = − D z
∂
i infiltracja skumulowana
f
dF
f(t) = f
-k t
.
ZaleŜność infiltracji
c
+ (f - f )e =
0
c
dt
od parametru k
F(t)
f
f 0
0
k
θ
1
2 k
k > k
2
1
θ < θ
θ
2
2
3
f(t)
3
f
fc
c
t
t
Hydrologia, rok III, wykład 8
4/14
– Przyjmując parametry równania Richardsa K oraz D zmienne, Phillip rozwiązał je, stosując transformację Boltzmana. Otrzymał równanie skumulowanej infiltracji F(t) w postaci nieskończonego szeregu, które moŜna zaaproksymować wyraŜeniem:
F ( t) = S ⋅ t 1/2 + K ⋅ t S – tzw. sorpcyjność gruntu ( S = f (ψ)), K – wsp. przewodności hydraulicznej
– NatęŜenie infiltracji jest równe:
dF
1
−
f t
( ) =
= ⋅ S ⋅ t 1/2 + K
dt
2
– Przy t → ∞, f ( t) → K, czyli infiltracja przyjmuje wartość stałą.
Hydrologia, rok III, wykład 8
5/14
– ZałoŜenie: uproszczony obraz procesu infiltracji pow.
h 0
gruntu
zawartość
wilgoci
w gruncie
θ
strefa nawilŜona
o przewodności K
n
– porowatość gruntu
L
(θ = n gdy s = 1)
θ
– stała retencja gruntu,
r
θ
– początkowa zawartość wilgoci,
i
front
Q
– porowatość efektywna
e
uwilgotnienia
θ
∆θ
i
θr
Q e
n
z
Hydrologia, rok III, wykład 8
6/14
• Do gruntu o początkowej wilgotności θ infiltruje przez powierzchnię i
woda. Po przejściu frontu uwilgotnienia grunt jest nasycony, a jego wilgotność jest równa θ = n.
• Całkowita ilość wody w warstwie gruntu o grubości L pomniejszona o jej ilość w chwili początkowej wynosi:
V = L ⋅ n − θ
w
(
i )
• Jest ona równa skumulowanej infiltracji F( t): F ( t) = L ⋅ ( n − θ
∆θ = n −θ
i ) = L ⋅ ∆θ
i
– Równanie dynamiczne (prawo Darcy) ma postać: h
∂
w = − K
= f
z
∂
– co oznacza, Ŝe prędkość filtracji w kierunku z równa jest natęŜeniu infiltracji f.
Hydrologia, rok III, wykład 8
7/14
– Rozpatrując przekroje na powierzchni gruntu i na czole rozkładu uwilgotnienia moŜna napisać:
−
1
h
2
h
= 0
i h = h ≈ 0
f =
z
K
1
1
0
z −
2
1
z
z = L
i h = – L – ψ
2
2
– Po podstawieniu otrzymuje się:
h − (
0
− L −ψ )
ψ + L
f = K
≈ K ⋅
L
L
– PoniewaŜ L = F( t)/∆θ, to
ψ∆θ + F
ψ∆θ
f = K ⋅
= K ⋅
+1
F
F ( t)
– Z definicji infiltracji skumulowanej wynika: dF
ψ∆θ
f =
= K ⋅
+1
dt
F
Hydrologia, rok III, wykład 8
8/14
– Funkcję F( t) moŜna wyznaczyć przez scałkowanie powyŜszego równania:
F
⋅ dF = K ⋅ dt
F +ψ∆θ
F ( t )
t
F +ψ ⋅ ∆θ
ψ ⋅ ∆θ
ψ ⋅∆θ
−
⋅ dF = K ⋅ dt
1−
⋅ dF =
K ⋅ dt
∫
∫
F +ψ ⋅ ∆θ
F +ψ ⋅ ∆θ
F +ψ ⋅ ∆θ
0
0
– Po obliczeniu całek otrzymujemy:
F t
( ) −ψ ⋅ ∆θ (ln( F t
( ) +ψ ⋅ ∆θ ) − ln(ψ ⋅ ∆θ )) = K ⋅ t
F t
( )
lub
F t
( ) =ψ ⋅ ∆θ ⋅ ln1 +
+ K ⋅ t
ψ ⋅ ∆θ
– Jest to równanie Greena-Ampta definiujące infiltrację skumulowaną.
Równanie to jest nieliniowe – F( t) wyznacza się, rozwiązując je metodą iteracji prostej lub metodą Newtona.
Hydrologia, rok III, wykład 8
9/14
– NatęŜenie infiltracji obliczamy z równania wyjściowego, wykorzystując wyliczoną wartość F( t):
ψ ⋅ ∆θ
f ( t) = K ⋅
+1
F ( t)
– Równanie Greena-Ampta wymaga znajomości następujących parametrów:
• współczynnika filtracji K,
• porowatości gruntu n,
• potencjału wilgotności ψ.
Hydrologia, rok III, wykład 8
10/14
– Stopień nasycenia gruntu o wilgotności θ : i
θ −θ
i
r
s =
0 ≤ s ≤ 1 – stopień nasycenia gruntu wodą, n −θ
n
– porowatość gruntu,
r
θ
– retencja stała gruntu.
r
– PoniewaŜ
n − θ = θ
r
e
jest porowatością efektywną, zaś n – θ = ∆θ , to i
θ
∆ = (1− s)⋅θ e
– Z kolei zaleŜność s = f (ψ) definiuje równanie Brooksa-Corey’a: λ
ψ
Parametry wyznaczane empirycznie:
= b
s
λ - zaleŜy od rozkładu uziarnienia gruntu
ψ
ψ - zaleŜy od rozmiaru porów
b
– Parametry: n, θ , ψ, K do wzoru G – A dla róŜnych rodzajów gruntu e
moŜna znaleźć w tablicach.
Hydrologia, rok III, wykład 8
11/14
• Równania Hortona, Phillipa oraz Greena-Ampta opisują filtrację w warunkach nasycenia warstwy powierzchniowej gruntu (opad jest większy od infiltracji).
• W rzeczywistości nasycenie warstwy powierzchniowej następuje po pewnym czasie od momentu rozpoczęcia opadu. Czas ten nazywany jest czasem nasycenia t .
p
powierzchnia
n
θ
gruntu
• Czas nasycenia moŜna określić
zakładając, Ŝe:
t < t p
–
opad zaczyna się nagle i trwa bez
zmian,
t = t p
– zanim nastąpi nasycenie, cały opad
infiltruje do gruntu,
– natęŜenie infiltracji potencjalnej jest
funkcją infiltracji skumulowanej,
t > t p
z
– nasycenie następuje, gdy natęŜenie
infiltracji potencjalnej f jest mniejsze Profile uwilgotnienia gruntu przed,
lub równe natęŜeniu opadu.
w trakcie i po nasyceniu
Hydrologia, rok III, wykład 8
12/14
• Zgodnie z równaniem Greena-Ampta f = f( F):
ψ∆θ
K − współczynnik filtracji,
f = K ⋅
+1
ψ −
potencjał wilgotnościowy,
F
∆θ − róŜnica wilgotności początkowej i maksymalnej.
• Infiltracja skumulowana w chwili t = tp jest równa: I
– natęŜenie opadu,
F = I ⋅ t
t
– czas nasycenia,
p
p
p
F
– infiltracja skumulowana
p
• zaś natęŜenie infiltracji jest równe natęŜeniu opadu: f = I
• Po podstawieniu do równania G – A mamy:
⋅ψ ⋅ ∆
ψ ⋅ ∆θ
K
I = K ⋅
skąd otrzymujemy:
=
θ
+
1
t p
I ⋅ t
I ⋅ ( I − K )
p
Hydrologia, rok III, wykład 8
13/14
infiltracja
potencjalna
I
opad
infiltracja
rzeczywista
infiltracja
t
F
skumulowana
t
suma opadu:
∫ I d
. t = I t
.
F = .
0
p
I tp
t
t
p
Hydrologia, rok III, wykład 8
14/14