Zadanie 3.1 Niech
b ¾
edzie niepustym zbiorem oraz niech
:
!
b ¾
edzie dzia÷
aniem
przyporz ¾
adkowuj ¾
acym podzbiorom A; B 2 2 ich ró·znic ¾
e symetryczn ¾
a A B = (A [ B) n (A \ B).
Pokazać, ·ze
z dzia÷
aniem
jest grup ¾
a, w której elementem neutralnym jest ?. Co to jest A 1 dla dowolnego A 2 2 ?
Niech
= f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g, A = f1; 2; 3g, B = f3; 4; 5g i C = f5; 6; 7g. Rozwazwi ¾
a·z w grupie
( ;
) równania A X = B oraz A X B = C.
Zadanie 3.2 Pokazać, ·ze jeśli (G; ) jest grup ¾
a, w której (ab)3 = a3b3 oraz (ab)5 = a5b5 dla dowolnych a; b 2 G, to grupa ta jest abelowa.
Zadanie 3.3 Niech (G; ) b ¾
edzie grup ¾
a, a 2 G. Zbiór
C(a) = fg 2 G : g a = a gg nazywamy centralizatorem elementu a w grupie G. Przez Z(G) oznaczmy centrum grupy G.
(a) Pokazać, ·ze C(a) jest podgrup ¾
a grupy G.
(b) W grupie S3 znaleźć C(x) dla ka·zdego x 2 S3.
\
(c) Pokazać, ·ze Z(G) =
C(a).
a2G
(d) Pokazać, ·ze a 2 Z(G) wtedy i tylko wtedy, gdy C(a) = G.
(e) Pokazać, ·ze C(x 1ax) = x 1C(a)x dla ka·zdego x 2 G.