5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 1/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 2/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE1

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

Pojęcie układu

Symbole operacji na schematach funkcjonalnych

• matematyczną definicją (modelem) układu jest jednoznaczne przekształcenie

• sumator

(operator) odwzorujące sygnał wejściowy x w sygnał wyjściowy y x 1

jest to tzw. ujęcie transmisyjne

T

y= x 1+ x 2

y = T [ x] x → y

x 2

x

y

T [..]

pobudzenie

odpowiedź

• układ mnożenia

x

y= x

1

1 x 2

• w ogólnym przypadku układ może być wielowejściowy i wielowyjściowy

• powyższa definicja układu ma charakter uniwersalny i może odnosić się do różnych klas sygnałów

x 2

• jeśli dziedzina X i przeciwdziedzina Y operatora T są zbiorami sygnałów ciągłych

• układ mnożenia przez stałą

w czasie, układ nazywamy analogowym

x

A

y= A x

1 opracowano na podstawie [1-3], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 3/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 4/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

Klasyfikacja układów

• układ liniowy

• układ stacjonarny (niezmienny względem przesunięcia, inwariantny w czasie)

- układ analogowy nazywamy liniowym jeśli spełnia zasadę superpozycji, tzn.

odpowiedź układu na ważoną sumę sygnałów wejściowych równa jest sumie

- układ nazywamy układem stacjonarnym, jeśli dla każdych x( t) i t ważonych odpowiednio odpowiedzi oddzielnie na każdy z sygnałów, w przeciwnym 0 zachodzi

przypadku układ nazywamy nieliniowym

przemienność

T { P x t

=

y t = T [ ax t + bx t =

+

=

+

1

2

] aT[ x ( t)

1

] bT[ x ( t)

2

] ay ( t) by ( t)

t

}

[ ( )] Pt { T[ x( t)]}

( )

( )

( )

0

0

1

2

gdzie P jest operatorem przesunięcia w czasie sygnałów analogowych t

w ogólnym przypadku

0

M

M

T

P

=

−

t [ x( t )]

x( t t 0 )

x t = ∑ a x t → y t =

a y t

k k

∑

0

( )

( )

( )

( )

k

k

k =1

k =

- w przeciwnym wypadku układ nazywamy układem niestacjonarnym 1

gdzie

- dla stacjonarnych układów analogowych spełniona jest zależność y ( t) = T

= ,

1 ,

2 ...,

k

[ x ( t)

k

] k

M

jeżeli y( t) = T [ x( t)] to y( t − t ) = T x t − t 0

[ (

)

0 ]

ilustracja graficzna

- operatory: różniczkowania, całkowania, opóźnienia w czasie, podnoszenia do x

1

x 1

T

kwadratu, pierwiastkujący i logarytmujący w dziedzinie sygnałów analogowych są a

a

y

T

y

operatorami stacjonarnymi

x 2

x 2

T

b

b

- operator typu y( t) = t x( t) w dziedzinie sygnałów analogowych jest operatorem niestacjonarnymi

operator przekształcenia T jest liniowy wtedy i tylko wtedy kiedy y = y'

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 5/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 6/16

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

UKŁADY - PODSTAWOWE DEFINICJE (cd)

• układ przyczynowy

• liniowość, stacjonarność i przyczynowość są immanentnymi cechami układu, zależnymi jedynie od jego struktury wewnętrznej i niezależnymi od klasy przetwarzanych

- jeżeli układ opisany operatorem T odwzorowuje zbiór sygnałów X w zbiór sygnałów

sygnałów Y i jeżeli y = T x

y = T x

1

[ 1] oraz 2

[ 2] wówczas układ jest układem

• stacjonarne układy liniowe LS (ang. LTI Linear Time-Invariant), nazywane również przyczynowym jeśli dla każdych x ( t), x ( t)∈ X

t

1

2

i każdego 0 z równości

układami liniowymi niezmiennymi względem przesunięcia, są podstawową klasą x ( t) = x ( t), t < t y t = y t , t < t

rozważanych układów i przedmiotem naszych dalszych rozważań

1

2

0 wynika równość

( )

( )

1

2

0

• z przetwarzaniem sygnału w układzie wiąże się przekształcenie jego widma, operacja z powyższych definicji wynika, że dla układu przyczynowego z równości przetwarzania widma nazywa się filtracją a realizujący ją układ w teorii sygnałów x( t) ≡ 0 dla t < t

y t ≡ 0 dla t < t

utożsamiany jest z filtrem

0 , wynika równość

( )

0 - zatem odpowiedź układu

przyczynowego nie może poprzedzać wymuszenia

• układ statyczny (bez pamięci) – układ dla którego w dowolnej chwili czasu wartość sygnału na wyjściu zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej samej inaczej układ analogowy nazywamy przyczynowym jeśli wartość sygnału na jego chwili

wyjściu y( t) w dowolnym momencie czasu t zależy jedynie od bieżącej

• jeśli wartość sygnału na wyjściu układu w dowolnej chwili zależy od wartości sygnału i poprzednich wartości sygnały wejściowego i nie zależy od przyszłych wartości wejściowego w chwilach poprzedzających lub następujących po nim to taki układ sygnału wejściowego w przeciwnym przypadku układ nazywamy nieprzyczynowym nazywamy układem dynamicznym (z pamięcią)

• układ nazywamy stabilnym ze względu na wymuszenie jeśli dowolny ograniczony układ nieprzyczynowy jest nierealizowalny praktycznie

sygnał wejściowy powoduje powstanie ograniczonego sygnału wyjściowego 5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 7/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 8/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

• odpowiedź układu na pobudzenie testowe (przy założeniu zerowych warunków

• odpowiedź jednostkową r( t) układu nazywamy jego reakcję (sygnał wyjściowy) na początkowych) jest jego charakterystyką opisującą w dziedzinie czasu relacje

„wejście -wyjście”

pobudzenie w postaci skoku jednostkowego (

1 t) przy zerowych warunkach

•

początkowych

rolę pobudzenia testowego pełnią sygnały: impuls Diraca δ( t) 1( t)

r( t)

oraz skok jednostkowy (

1 t)

zerowe warunki

początkowe

• odpowiedź impulsową h( t) układu nazywamy jego reakcję (sygnał wyjściowy) na znajomość odpowiedzi jednostkowej pozwala wyznaczyć reakcję układu na dowolne pobudzenie w postaci impulsu Diraca δ( t) przy zerowych warunkach początkowych pobudzenie

skok jednostkowy (

1 t) można z dobrym przybliżeniem wytworzyć w układzie δ( t)

fizycznym, zatem odpowiedź jednostkowa stanowi narzędzie służące do badania zerowe warunki

h( t)

początkowe

układów fizycznych

• ponieważ impuls Diraca δ( t) przyjmuje wartości zerowe dla t < 0 wobec tego dla układów przyczynowych reakcja na to pobudzenie również musi spełniać warunek znajomość odpowiedzi impulsowej pozwala wyznaczyć reakcję układu na dowolne h( t) = 0 dla t < 0

pobudzenie

impulsu Diraca δ( t) nie można wytworzyć w układzie fizycznym, zatem odpowiedź

każdy układ fizyczny jest przyczynowy stąd powyższy warunek stanowi podstawowy warunek realizowalności układu i jest równoważny warunkowi impulsowa stanowi narzędzie służące do teoretycznego opisu układów r t = 0

dla

t <

( )

0

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 9/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 10/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

•

• związek pomiędzy sygnałami na wejściu i na wyjściu układu związek pomiędzy odpowiedzią impulsową h( t) a odpowiedzią jednostkową r( t) wykorzystując właściwość splotu dystrybucji delta δ( t)∗ x( t) = x( t) na podstawie jeżeli T jest operatorem przekształcenia to

definicji splotu możemy napisać

∞

h( t) = T [δ( t)] oraz r( t) = T [ (

1 t)]

x( t) =

δ( t − τ) x(τ)

∫

τ

d

wykorzystując

−∞

d

δ( t) =

(

1 t)

odpowiedź układu opisanego operatorem przekształcenia T na sygnał x( t) dt

 ∞



otrzymujemy

y( t ) = T [ x( t)] = T [δ( t )∗ x( t )] = T  δ( t − τ) x(τ) dτ

∫

 d



d

d

−∞



h( t) = T [δ( t )] = T

(

1 t) =

T [ (

1 t)] =

r( t )





 dt

 dt

dt

uwzględniając liniowość operacji całkowania

oraz

∞

∞

t

y( t) =

T [δ( t − τ) x(τ)] τ

d =

T [δ( t − τ)] x(τ)

∫

∫

dτ

r( t) = h( t')

∫

dt'

−∞

−∞

0

ze stacjonarności układu wynika

T [δ( t)] = h( t) ⇒ T [δ( t − τ)] = h( t − τ) 5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 11/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 12/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZASU (cd)

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI

• właściwości rozważanych stacjonarnych układów liniowych w dziedzinie częstotliwości ostatecznie więc

(pulsacji) opisują ich charakterystyki amplitudowo-fazowe

∞

• dla stacjonarnych układów liniowych opisywanych F -transformowalną (zarówno w sensie zwykłym jak i granicznym) odpowiedzią impulsową h( t) ich charakterystykę y( t) =

h( t − τ) x(τ) dτ = h( t)∗ x( t)

∫

amplitudowo-fazową określa transformata Fouriera

−∞

∞

− ω

H

ω

j

=

j t

ze względu na przemienność operacji splatania

( )

h( t)

∫ e dt

−∞

∞

dla układów przyczynowych

y( t) =

h(τ) x( t − τ) dτ = x( t)∗ h( t)

∫

∞

− ω

H

ω

j

=

j t

−∞

( )

h( t)

∫ e dt

0

zależność charakterystyki od argumentu ω

j wynika z jej związku z transmitancją

układu określoną w dziedzinie transformaty Laplace’a

H ( j )

ω = H ( s)

s= jω

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 13/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 14/16

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI (cd)

OPIS UKŁADU W DZIEDZINIE CZĘSTOTLIWOŚCI (cd)

• związek pomiędzy widmem sygnału na wyjściu układu a widmem pobudzenia

• charakterystykę amplitudowo-fazową można przedstawić w postaci biegunowej lub i charakterystyką amplitudowo-fazową określa tzw. równanie transmisyjne układu algebraicznej

j arg H jω

H

ω

j

= H ω

Y ( )

ω = H ( j )

ω X ( )

ω

( )

( j )

( )

e

wykorzystując odwrotne przekształcenie Fouriera możemy zapisać H ( j )

ω = Re H ( j )

ω + j Im H ( j )

ω

1

y( t) =

−

F [ H ( j )

ω X ( )

ω ]

• ponieważ charakterystyka amplitudowo-fazowa jest transformatą Fouriera funkcji rzeczywistej, zatem jest funkcją hermitowską, tzn.

• opis układu w dziedzinie czasu i częstotliwości

*

H ( j )

ω = H (− j )

ω

x( t)

y( t)= h( t) ∗ x( t) h( t)

co oznacza, że charakterystyka amplitudowa i charakterystyka rzeczywista są funkcjami parzystymi, a charakterystyka fazowa i charakterystyka urojona – funkcjami nieparzystymi

X(ω)

Y(ω)= H( j ω) · X(ω)

H( jω)

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 15/16

5. Przetwarzanie sygnałów analogowych przez układ liniowy.doc, 16/16

załącznik

BIBLIOGRAFIA

wyznaczanie splotu metodą graficzną

t +

h

tx

y( t) =

h( t − τ) x(τ)

∫

τ

d

1. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej, 2003, www.ise.pw.pl/~szabatin.

0

2. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. PWN, Warszawa, 1991.

h(τ)

3. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and τ

Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

0

th

x(τ)

τ

0

tx

h(-τ)

τ

0

x(τ)

h(-τ- t 1)

τ

0

t 1

h(-τ- t 1) x(τ)

P 1

τ

0

t 1

y( t)

P 1

t

0

t 1

tx+ th