Funkcja liniowa. Układy równań liniowych 1. Dla jakich wartości parametru m funkcja y = (3 m + 2) x − 1 jest a) malejąca

b) różnowartościowa

c) stała?

2. Wyznacz funkcję liniową, która przekształca wzajemnie jednoznacznie przedział h− 1 , 2 i na przedział h 1 , 3 i 3. Napisz wzór określający funkcję g( x) odwrotną do funkcji 3

1

a) f ( x) = − x + 1

b) f ( x) =

− 4 x.

4

2

Narysuj wykresy funkcji danej i odwrotnej.

4. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i 1

π

a) prostopadłej do prostej y = − x + 2, b) tworzącej z prostą x = 2 kąt o mierze

.

3

3

5. Rozwiąż równanie z niewiadomą x. Przeprowadź dykusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zależności od parametrów

a) ax − a 2 = 2 x − 4

b) m 2 x + 3 n 2 = 3 m 2 − n 2 x − 2 mnx.

6. Kawałek stopu miedzi z ołowiem waży 12 kg i zawiera 45% miedzi. Ile kilogramów czystego ołowiu należy stopić z tym stopem, aby nowy stop zawierał 30% miedzi?

(6kg)

7. W dwóch naczyniach znajduje się roztwór kwasu, w pierwszym naczyniu 10-procentowy, a w drugim 50-procentowy. Po ile litrów kwasu należy odlać z kazdego naczynia, aby po zmieszaniu odlanego kwasu otrzymać 140 litrów 30% roztworu?

(po 70 l)

8. Ktoś kupił dwa pakiety akcji za 1000 zł i sprzedał je z łącznym zyskiem 8%. Ile zapłacił za każdy pakiet, jeśli pierwszy sprzedał z zyskiem 20% a drugi ze stratą 10 %?

(600 i 400zł.)

9. Rozwiąż układ równań

y + x − 1 = 0

y − 2 x + 1 = 0

a)

b)

|y| − x − 1 = 0

y − |x| − 1 = 0

Rozwiązania zilustruj graficznie.

10. Na płaszczyźnie dane są zbiory:

A = {( x, y) : x + y = 3 , x ∈ R , y ∈ R }, B = {( x, y) : x − y − 2 > 0 , x ∈ R , y ∈ R }.

Na odzielnych rysunkach naszkicuj zbiory: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.

2 x + 3 y

= 4

11. Dla jakich m i n układ równań

z niewiadomymi x i y jest: oznaczony, nieozna-4 x + my

= 2 n

czony, sprzeczny?

x − ay = 1

12. Dla jakich wartości a układ równań

ma co najmniej jedno rozwiązanie?

ax − y = 1

13. Dla jakich wartości m punkt przecięcia się prostych o równaniach: x − y + m = 0 , mx − y − 4 = 0 należy do prostej o równaniu 2 x − y − 2 = 0?

14. Zmieszano dwa rodzaje roztworów soli kuchennej, roztwór o stężeniu 10% z roztworem o stężeniu 25%. W

wyniku otzrymano 12 kg roztworu o stężeniu 15%. Oblicz masę każdego z roztworów.

(8 i 4 kg)

15. W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. Liczba utworzona z tych cyfr jest mniejsza od 63. Jaka to liczba? Podaj wszystkie rozwiązania.

(30,41,52)

16. Rozwiąż układ równań:



x + y + z = 0



x − y + z = 3



3 x + 2 y − 5 z = 4







a)

− 3 x + 2 y + 4 z = 0

b)

3 x + 2 y − z = 1

c)

−x + y + 3 z = 1



2 x − 3 y + 3 z = 1



4 x − 2 y − 3 z = − 2



2 x + 3 y − 2 z = 6

KursPG. W G