PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI 1.4 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Niech funkcje f (t) i f (t) b
1
2
ędą bezwzględnie całkowalne, oraz
niech istnieją całki z modułu tych funkcji.
MoŜna wówczas zapisać następującą relację:
∞
∞
F (
1 ω) ⋅ F (
2 ω) = ( ∫
− ω
j τ
f (
1 τ) ⋅ e
τ
d ) ⋅ ( ∫
− ω
f (
2 τ) ⋅ e j zd )
z
−∞
−∞
Podstawmy: z = t-τ; dz = dt
∞
∞
∞
F ( )
ω ⋅F ( )
ω = f ( )
τ ⋅ e−jωτ ⋅[ f (t − τ) ⋅ e−j (ωt−τ)dt] ⋅ dτ = [f ( ) τ ⋅ f (t − )
τ ⋅ dτ e
] −j t
ω dt
∫
∫
∫
1
2
1
2
1
2
−∞
−∞
−∞
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia ℑ-1 {.} otrzymamy:
∞
∞
∫ f (1τ)⋅ f (t
2
− τ) ⋅ τ = 1
d
∫F (1ω)⋅F (2ω)⋅ ω
e j t ω
d
2π
−∞
−∞
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
2
1.4 Podstawy Telekomunikacji
Dla t=0, po zamianie τ na t otrzymujemy
∞
∞
∫ f (t)
1
⋅ f (
2 −t) ⋅
= 1
dt
∫F (1ω)⋅F (2ω)⋅ ω
d
2π
−∞
−∞
Obliczmy
∞
∞
∞
ℑ{f −
= ∫ − ⋅ − ω = − ∫
⋅ ω
= ∫
⋅ ω
= −ω = ∗ ω
2 (
t)}
f ( t) e j tdt
f (t) e j tdt
f (t) e j tdt F (
)
F ( )
2
2
2
2
2
−∞
−∞
−∞
Zatem
∞
∞
∫ f (t)
1
⋅ f (t)
2
⋅ = 1
dt
∫F (1ω)⋅F (2−ω)⋅ ω
d
2π
−∞
−∞
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
3
1.4 Podstawy Telekomunikacji
Przyjmujemy teraz f (t) = f(t); f (t)= f*(t), wówczas: 1
2
∞
∞
RÓWNOŚĆ PARSEVAL’A
dla ciągłego
∫
2
2
f(t) ⋅
= 1
dt
∫ (
F ω) ⋅ ω
d
( 2.2.18)
przekształcenia Fourier’a
2π
−∞
−∞
GĘSTOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA SYGNAŁU
ENERGII
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
4
1.4 Podstawy Telekomunikacji
1.4.1. SZEROKOŚĆ PASMA
NaleŜy podkreślić, Ŝe wszelkie problemy dotyczące szerokości widma mogą być rozstrzygnięte tylko na drodze UMOWY, gdyŜ teoretycznie – widmo sygnału jest rozłoŜone w całym przedziale ω∈
ω (- ∞, ∞).
Powszechnie przyjmuje się, Ŝe graniczną częstotliwością widma jest taka częstotliwość, dla której w przedziale (-ω
, ω
) zawarte jest 99 % energii.
dmax ,
gmax
Korzystając z RÓWNOŚCI PARSEVAL’A moŜna zapisać: ωgmax
∞
1
∫
2
2
(
F ω) ⋅ ω
d = 9
,
0 9 ∫ f(t) dt
( 2.2.19)
2π −ωdmax
−∞
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
5
1.4 Podstawy Telekomunikacji
1.4.1. SZEROKOŚĆ PASMA
Dolną i górną częstotliwość graniczną wyznaczamy, odpowiednio:
DOLNĄ ωd
ωd
∞
1 ∫
2
2
(
F ω) ⋅ ω
d = 0
,
0 05 ∫ f(t) dt
(
2π −ω
2.2.20)
d
−∞
GÓRNĄ ωg
ωg
∞
1 ∫
2
2
(
F ω) ⋅ ω
d = 9
,
0 95 ∫ f(t) dt
( 2.2.21)
2π ωd
−∞
Znajomość szerokości pasma B =
Znajomość szerokości pasma B = ω - ω
ω g
d
Znajomość szerokości pasma
g - ωd
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
6
1.4 Podstawy Telekomunikacji
1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wiąŜe się własność sygnałów polegająca na moŜliwości reprezentowania sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru dyskretnych próbek.
Niech będą zadane sygnał f (t) i jego widmo F (ω), zawarte w przedziale (-ω , ω ).
g
g
RozwaŜmy SYGNAŁ SKWANTOWANY czasowo, tzn.
Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac’a f (t) = f (t) δ (t)
p
T
( 2.2.22)
Korzystając z własności iloczynu f (t) i δ(t) moŜna zapisać:
∞
f (t)
f k
( T )
(t
kT )
(
p
= ∑
p
⋅ δ − p
2.2.23)
k=−∞
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
7
1.4 Podstawy Telekomunikacji
1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
f (t)
F (ω)
ℑ { . }
t
ω
δ (t)
δ (t) -
T
ω
ω
T
g
g
∆ω (ω)
p
2π
Tp
t
ω
0 T
2T
3T
….
p
p
p
… -2π/T
0 2π/T 4π/T
….
p
p
p
f (t) = f(t) δ (t)
F (ω)=F(ω) ∗ ∆ω (ω)
p
p
T
p
H(jω)
∆
t
ω
Dr inŜ. W.J. Krzysztofi
-k
ω -
ω ω
ω
8
T
p
g
g
p
1.4 Podstawy Telekomunikacji
2π
p
Rys. 2.3.1.
Tp
1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
( 2.2.24 )
Widmo sygnału skwantowanego
∞
F ( )
{f(t)
(t)}
{f(t)}
{
(t)}
(
F
k
)
p ω = ℑ
⋅ δT
= ℑ
∗ ℑ δT
= ωp ⋅ ∑ ω − ωp
k=−∞
JeŜeli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany moŜna przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.
JeŜeli ∆≥0, to część widma F (ω) w otoczeniu (k ω ), k= 0, ±1, ±2, … będzie p
p
identyczna z widmem sygnału f(t).
DŁUGOŚĆ INTERWAŁU NYQUISTA
( ω = 2π/T )
p
p
( 2.2.25 )
1
ωg
ω − 2ω ≥ 0 →
≥ 2
lub
ω ≥ 2ω
p
g
p
g
T
2π
p
Dr inŜ. W.J. Krzysztofik
9
1.4 Podstawy Telekomunikacji
1.4.2. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje wartości f(kT), leŜące w równych odstępach czasu T, nie większych niŜ π/ω , g
gdzie ω jest pulsacją graniczną widma.
g
Sygnał f(t) moŜe być odtworzony na podstawie znajomości sygnału skwantowanego f (t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr p
dolnoprzepustowy H(jω).
Rys. 2.3.2.
H( jω) = 1(ω + ω ) − 1(ω − ω )
g
g
∞
∞
F (
1
(
F
)
ω = [2ω ∑ (
F ω − k
2 ω ]
) ⋅ (
H j )
ω
p ω) =
ω
2 g ∑ (
F ω − k
2 ω )
g
g
g
−∞
−∞
ω
-ω
ω
g
g
Dr in
ω
ω
ω
Ŝ. W.J. Krzysztofik
s i
n t
10
CHARAKTERYSTYKA
(
h
1
−
g
g
g
= ℑ
ω =
=
⋅
ω
1
t .)4 Podstawy
(
H
{
jTel
) e}komunikacji
Sa{
t}
IMPULSOWA FILTRU
π ω t
g
π
g