W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 1

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski, Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper, Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI Poznań 2002/2003

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI 5

Wykład 5 z 27.03.2003. obejmujący takie zagadnienia jak: równania teorii sprężystości wyrażone w przemieszczeniach, równania teorii sprężystości wyrażone w naprężeniach, energia sprężysta oraz energia właściwa (gęstość energii) ciała.

5.1. Równania teori sprężystości wyrażone w przemieszczeniach Zagadnienia teorii sprężystości polegają na wyznaczeniu dla danego ciała odkształceń, przemieszczeń i naprężeń, gdy znamy jego warunki obciążenia i podparcia.

Mamy zatem następujące niewiadome:

• sześć współrzędnych tensora stanu naprężenia: σij,

• sześć współrzędnych tensora stanu odkształcenia: εij, oraz

• trzy współrzędne wektora przemieszczenia: ui.

Dla wyznaczenia tych niewiadomych sporządzamy następujący układ równań:

• równanie równowagi

σ

p

ji j +

i = 0

,

(5.1.1.)

• równanie geometryczne

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 2

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA 1

ε = ( u + u )

(5.1.2.)

ij

2 i, j

j, i

• równanie fizyczne

σ = 2µε + λδ ε

ij

ij

ij kk

(5.1.3.)

gdzie: µ,λ-stałe Lamego

µ = G

ν

E

2 ν

λ =

= G

1

( +ν 1

)( − ν

2 )

1− ν

2

ponadto σij=σji, εij=εji.

ZADANIE

Eliminując σij i εij doprowadzić do układu trzech równań o niewiadomych ui.

Dokonując kontrakcji na równaniu (1.2) otrzymamy: 1

ε =

u

(

+ u ) = u

kk

k , k

k , k

k , k

2

Podstawiając do równania (5.1.3) otrzymamy: 1

σ = 2µ u

(

+ u ) + λδ u

ij

i, j

j i,

ij k , k

2

Wyrażenie to różniczkujemy po j oraz dokonujemy zamiany wskaźnika niemego k na j

σ

= µ u

(

+ u ) + λδ u

ij, j

i, jj

j ij

,

ij

j, jj

uj,jjδij=uj,ji=uj,ij.

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 3

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA σ

= u

µ

+ µ u + u

λ

ji, j

i, jj

j ij

,

j, ji

σ

u

u

ji j = µ i jj +

(

j ji µ + λ )

,

,

,

Podstawiając powyższe wyrażenie do wzoru (5.1.1) otrzymamy: µ u

u

µ λ

p

i jj +

(

j ji

+ ) + i = 0

,

,

(5.1.4.)

Wiemy iż:

u

∂

u

∂

u

∂

1

2

3

u

=

+

+

k , k

x

∂

x

∂

x

∂

1

2

3

Zatem:

2

2

2

∂ u

∂ u

∂ u

u

i

i

i

i, jj =

+

+

2

2

2

x

∂

x

∂

x

∂

1

2

3

Wyrażenie to możemy przedstawić inaczej korzystając z zapisu operatorowego operatorowego wprowadzając symbol ∇2 (laplasjan).

2

∂ u

2

∂ u

2

∂ u

i

i

i

u

2

i, jj =

+

+

= ∇ u

2

2

2

i

x

∂

x

∂

x

∂

1

2

3

Podstawiając do wzoru (5.1.4) orzymamy równanie Lamego: 2

µ∇ u

µ λ ϑ

p

(5.1.5.)

i + (

+ ) i + i = 0

'

Gdzie, zgodnie z umową sumacyjną i=1,2,3, a ϑ=uj,j=εjj jest dylatacją.

Równanie będzie spełnione, gdy ϑ będzie funkcją harmoniczną.

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 4

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA ZADANIE

Udowodnić że ϑ jest funkcją harmoniczną.

Pomijamy siły masowe: pi=0.

µ u

µ λ u

i jj + (

+ ) j ji = 0

,

,

Różniczkujemy wyrażenie po i.

µ u

µ λ u

i jji + (

+ ) j jii = 0

,

,

µ u

µ λ u

i ijj + (

+ ) i ijj = 0

,

,

Równanie będzie spełnione, gdy:

[ u

u

i i

= ⇔ ∇ i i = ⇔ ∇ ϑ =

, ]

0

2

0

2

0

,

' jj

Wniosek: funkcja spełniająca równanie Laplaca jest funkcją harmoniczną.c.n.u.

Różniczkując jeszcze raz otrzymamy: 4

µ∇ u

λ µ

ϑ

i + (

+ ) 2

∇ i = 0

'

Przy czym 2

∇ ϑ

, zatem

i → 0

'

4

∇ ui = 0

Co oznacza, iż w przypadku równań Lamego funkcją spełniającą równanie jest funkcja biharmoniczna.

2

1

∇ u

u

i +

j ji = 0

1− 2

,

ν

Gdzie

1

λ + µ

=

1− ν

2

µ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 5

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA 5.2. Równania teori sprężystości wyrażone w naprężeniach (Beltrami-Mitchel)

Równanie (1.3) możemy zapisać w postaci:

+ν

ν

ε = 1

σ − δ σ

ij

ij

ij

kk

E

E

Przyjmując σkk=s otrzymamy:

+ν

ν

ε = 1

σ − sδ

(5.2.1.)

ij

ij

ij

E

E

Równanie nierozdzielności odkształceń możemy zapiszć jako: ε

ε

ε

ε

ij kl +

kl ij −

ik jl −

jl ik = 0

,

,

,

,

(5.2.2.)

Pdstawiając (5.2.1.) do (5.2.2.) otrzymamy: 1+ν σ(

)

,

+ σ , −σ , −σ , =

ij kl

kl ij

ik jl

jl ik

E

ν

= (δ s, + δ s, −δ s, −δ s ij

kl

kl

ij

ik

jl

jl ik )

E

Możemy dokonać kontrakcji i przyrównać wskażniki k=l: σ

+ σ

−σ

−σ

=

ij, kk

kk , ij

ik , jk

jk , ik

ν

=

(δ s +δ s −δ s −δ s ij , kk

kk , ij

ik , jk

jk , ik )

1+ν

Uwzględniwszy, iż:

σ

2

= ∇

,

σ

ij kk

ij

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 6

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA σ

= s

kk , ij

, ij

−σ

p

σ

p

σ

p

ik jk =

i j ⇐

ik k +

i =

→ ik kj + i j =

,

,

(

0

0

,

,

,

)

−σ

p

σ

p

σ

p

jk ik =

j i ⇐

jk k +

j =

→ jk ki + j i =

,

,

(

0

0

,

,

,

)

s

2

= ∇ s

, kk

δ kk = 3

δ s = s

ik , jl

, ji

δ s = − s

jl , ik

, ij

Otrzymamy następujące równanie:

ν

2

∇ σ + s + p + p 2

=

δ ∇ s + s

ij

, ij

i, j

j, i

( ij

, ij )

1+ν

Prowadząc dalsze przekształcenia otrzymamy: ν

ν

2

∇ σ + s + p + p 2

=

δ ∇ s +

s

ij

, ij

i, j

j, i

ij

, ij

1+ν

1+ν

ν

ν

2

2

∇ σ + s −

s −

δ ∇ s = −( p + p ) (5.2.3.)

ij

, ij

1

, ij

+ν

1

ij

i, j

j, i

+ν

Przyjmujemy i=j:

ν

ν

2

2

∇ σ + s +

s −

δ ∇ s = −( p + p ) ii

, ij

1

, ii

+ν

1

iij

i, i

i, i

+ν

ν

2

1

3

∇ s

2

+

∇ s

2

−

∇ s = −2 pi, i

1+ν

1+ν

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 7

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA 1+ν +1− 3ν 2

∇ s = 2

− pi, i

1+ν

2 − 2ν 2

∇ s = 2

− pi, i

1+ν

+ν

2

1

∇ s = −

pi, i

1−ν

Podstawiając powyższe wyrażenie do wzoru (5.2.3.) otrzymamy: ν

+ν

2

1

1

∇ σ +

s =

δ (−

p ) − ( p + p ) ij

1

, ij

+ν

1

ij

+ν

1

i, i

i, j

j, i

−ν

ν

2

1

∇ σ +

s = −

p

− ( p + p )

ij

1

, ij

+ν

1

k , k

i, j

j, i

−ν

5.3. Energia sprężysta ciała.

W każdym punkcie na ciało działają siły masowe i siły powierzchniowe: dV

p r

-siła działająca na jednostkę objętości.

r fdS - siła działająca na jednostkę powierzchni.

Całkowita energia ciała sprężystego, które doznaje odkształcenia u r : 1

1 r

L = 2 ∫ p r u r o dV + 2 ∫ f udS

r

o

V

S

Zapisując skalarowo:

1

1

L = 2 ∫ p u dV

f u dS

i i

+ 2 ∫ i i

V

S

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 8

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA 1

1

L = 2 ∫ p u dV

σ n u dS

i i

+ 2 ∫ ji j i

V

S

Ponieważ:

σ u = A

ji i

j

Oraz zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradzkiego:

∫ A n dS A dV

j

j

= ∫ j, j

A

V

Otrzymujemy:

1

1

L =

σ

2 ∫ p u dV

(

u ) dV

i i

+ 2 ∫ ji i , j

V

V

1

1

L =

σ

σ

2 ∫ p u dV

(

u

u ) dV

i i

+ 2 ∫ ji, j i + ji i, j V

V

1

L =

( p u + σ u + σ u ) dV

i i

ji, j i

ji i, j

∫

2 V

1

L =

[( p + σ

u

) + σ u dV

]

i

ji, j

i

ji i, j

∫

2 V

Wiemy, iż:

σ

p

ji j +

i = 0

,

1

L =

(σ u ) dV

ji i, j

∫

2 V

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 9

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA Korzystając z symetrii tensora σij mamy: 1

1

1

L =

( σ u + σ u ) dV

ji i, j

ij

j, i

∫

2

2

2

V

1

1

L =

u

(

+ u ) dV

ij

i, j

j i

∫σ

2

2

,

V

Ostatecznie otrzymujemy wzór na pracę wykonaną przez siły masowe i powierzchniowe wyrażone przez tensory naprężenia i odkształcenia: 1

L =

σ ε dV

ij ij

2 ∫ V

5.4. Energia właściwa (gęstość energii).

1

W = σ ε

ij ij

2

Wielkości σ oraz ε przedstawiamy jako sumę aksjatora i dewiatora.

ij

ij

1

W = ( ( o)

( d )

σ + σ )( ( o)

( d )

ε + ε )

2

ij

ij

ij

ij

Gdzie:

( )

1

o

σ

= σ δ

ij

kk

ij

3

( )

1

d

σ

= σ − σ δ

ij

ij

kk

ij

3

( d )

( o)

1

1

1

σ ε

σ

σ δ

ε δ

ε σ δ

ij

ij

= ( ij −

)

kk

ij

kk

ij =

kk

ij

ij −

3

3

3

1

1

1

− σ ε δ δ

ε σ

ε σ

kk kk

ij

ij =

kk

kk −

kk

kk = 0

9

3

3

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 10

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA Po wymnożeniu otrzymujemy:

1

o

o

1

( )

( )

( d )

( d )

( o)

( d )

W = σ ε

+ σ ε

= W

+ W

2 ij

ij

2 ij

ij

Całkowita gęstość energii składa się z dwóch części: gęstości energii wynikającej z pracy aksjatorów i z gęstości energii wynikającej z pracy dewiatorów.

Obliczmy gęstość energii aksjatora:

− ν σ

o

1

o

o

1 1

1 2

( )

( )

( )

W

= σ ε

= ( σ δ )(

kk δ ) =

2 ij

ij

2 3 kk ij

E

3

ij

1

1 1− 2ν σ

− ν

kk

1 2

2

= σ

δ δ =

(σ )

2 kk 3 E

3

ij ij

6

kk

E

Gęstość energii aksjatora wyraża się wzorem: 1− 2ν

( )

2

=

σ

W o

I 1

6

σ

E

Gdzie I σ -pierwszy niezmiennik stanu naprężenia.

1

ZADANIE DOMOWE.

Obliczyć część gęstości energii wynikającą z pracy dewiatora.

Wiemy iż:

d

1

( )

( d )

ε

=

σ

ij

2

ij

G

Zatem:

d

1

d

d

1

d

1

d

1

( )

( )

( )

( )

( )

( d )

( d )

W

= σ ε

= σ

σ

=

σ σ

2 ij

ij

2 ij 2

ij

G

4

ij

ij

G

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

W Y K Ł A D Y Z T E O R I I S P R Ę Ż Y S T O Ś C I 11

RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. ENERGIA SPRĘŻYSTA I WŁAŚCIWA CIAŁA Drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco: d

1

( )

( d )

( d )

I

= −

σ

σ σ

2

2 ij

ij

Gęstość energii dewiatorów można przedstawić w postaci: d

1

( )

( d )

W

= −

I

σ

2

2 G σ

Gdzie ( d)

I 2σ -drugi niezmiennik dewiatora naprężenia.

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Krawczyk , Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper