Środek masy

125. Na rysunku przedstawiono ułoŜenie czterech ciał o jednakowej masie równej 1kg. Wyznacz

połoŜenie środka masy tego układu.

Rozwiązanie:

126. Dwa klocki poruszają się po płaskim stole wzdłuŜ tej samej prostej. Klocek A ma masę mA

i porusza się z prędkością vA , a klocek B o masie mB porusza się z prędkościa vB w kierunku

przeciwnym do ruchu klocka A. Z jaką prędkością przemieszcza się środek masy układu składającego

się z obu klocków?

Rozwiązanie:

127. Dwie cienkie jednorodne blachy, jedną w kształcie kwadratu o boku 1m, a drugą w kształcie

prostokąta o długości 2m i szerokości 1m, ułoŜono na stole tak jak to pokazano na rysunku. Wyznacz

współrzędne środka masy układu blach.

Rozwiązanie:

128. Środek masy układu pięciu kulek miedzianych porusza się ze stałą prędkością o wartości v=3m/s.

Jaką wartość ma suma wektorowa sił zewnętrznych działająca na ten układ, jeŜeli masa kaŜdej z kul

jest równa 0.2 kg?

Rozwiązanie:

129. Z jednorodnej blachy o grubości 5 mm

wycięto dwa kawałki w kształcie trójkąta

równobocznego o boku 5 cm. Trójkąty te ułoŜono

tak jak przedstawiono to na rysunku. Wyznaczyć

połoŜenie środka masy układu.

Rozwiązanie:

130. Dwaj chłopcy o masach m 1 = 77 kg i m 2 = 63 kg, stojący na łyŜwach na lodowisku w odległości

l = 7 m od siebie, trzymają końce napiętej linki równoległej do osi OX. a) Oblicz współrzędną x

środka masy układu chłopców. Przyjmij, Ŝe chłopiec o masie m 1 znajduje się w początku układu

współrzędnych, a linka jest niewaŜka. b) W pewnej chwili lŜejszy chłopiec zaczyna ciągnąć za koniec

linki. Czy połoŜenie środka masy układu w chwili zderzenia chłopców ulegnie zmianie, gdy

pominiemy tarcie? Oblicz, jaką drogę przejedzie ten chłopiec od startu aŜ do zderzenia ze swoim

kolegą. c) Oblicz wartości przyspieszeń chłopców podczas ich ruchu w układzie odniesienia

związanym z lodowiskiem, jeśli siła napięcia linki miała stałą wartość równą F = 90 N. d) Oblicz (w

układzie lodowiska) maksymalną szybkość kaŜdego z chłopców tuŜ przed zderzeniem. e) Ile wyniosą

wartości przyspieszeń chłopców, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między łyŜwami a lodem

wynosi f k= 0,04. f) Czy w przypadku występowania tarcia pęd układu chłopców podczas zbliŜania się

będzie ulegał zmianie? Uzasadnij odpowiedź.

Rozwiązanie:

131. Ci

C ał

a o o ma

m sie 2 kg

g zn

z aj

a duj

u e si

s ę początko

k wo

w na wi

w erzc

z hoł

o ku

k równ

w i o ma

m sie

e 8 kg,

g wys

y oko

k ści 2 m

i długości

c pozi

z ome

m j

e pods

d ta

t w

a y

w

y 6 m

m mo

m gącej poruszać się po

p pozi

z ome

m j ide

d aln

l ie gł

g a

ł dki

k ej

e powi

w er

e zc

z hni.

.

Wyznaczyć połoŜenie r

ówn

w i

n w

w mo

m me

m ncie, gd

g y

y ciało os

o i

s ągnie koniec równi.

Rozwiązanie:

132. St

S er

e nik

k o ma

m sie 45 kg

g stoi

o na pokł

k adzi

z e nie

i za

z cumo

m wa

w nej

e Ŝagl

g ówk

w i

k o ma

m sie 450 kg

g i długości 7 m,

nieruchomo spoczywające

c j

e na

a powi

w e

i rzc

z hni

n jezi

z ora

r .

. St

S er

e nik

k ro

r zp

z oczy

z n

y a spac

a er po po

p kł

k adzi

z e z

z

prędkością 1 m/s w względem

m Ŝaglówki przechodząc od jej przodu na rufę. Ja

J k

k daleko

k wz

w g

z l

g ędem

brzegu przemieści się Ŝagl

g ówk

w a

k , a jak

k ster

e nik?

k

Rozwiązanie:

133. Naturalna cząstec

e zk

z a

k wo

w dy

y za

z wi

w era atom

m tle

l nu 16O8 oraz

z dwa

w at

a omy

m

y wo

w doru,

, co

po

p kaz

a u

z j

u e ry

r sun

u e

n k

e obo

b k

o .

. Odl

d e

l gł

g ość mię

i dz

d y

z at

a o

t m

o em

e tle

l nu

n

u

i wodo

d ru

r

u wy

w no

n si

i 0,1

, nm

n , a

a kąt

ą mię

i dz

d y

z wią

i z

ą a

z n

a i

n a

i m

a i

i wodo

d ru

r

u z

z

atomem tlenu jest równy 106o.

. Wyzn

z a

n c

a zy

z ć

y po

p ło

ł że

ż ni

n e

i śro

r dk

d a

a

mas

a y

s

czą

z s

ą teczk

z i

i

wo

w dy

d

y

um

u ie

i szc

z za

z j

a ąc

ą

po

p czą

z t

ą e

t k

e

uk

u ład

a u

d

u

odn

d i

n e

i sie

i ni

n a

i

a w śro

r dk

d u

u at

a omu

u tle

l nu

n

u i

i pr

p z

r y

z jmuj

u ąc

ą za

z

a oś OX

X

kierunek linii przerywanej umieszczonej na

a ry

r sun

u k

n u.

u

. Mas

a a

a

atomu wodoru to 16 u (u = 1.67·10-27 kg – jednostka masy

atomowej), a atomu wodoru 2 u.

Rozwiązanie:

Pęd układu

134. Wyznacz pęd kl

k ocka

k o ma

m sie 1 kg

k

g porusza

z jącego się z prędkością v = 5 i

5 + 4 j [m/s].

Rozwiązanie:

135. Wyznacz zmianę pędu kl

k ocka

k o ma

m sie 1 kg

k porusza

z j

a ącego się z

z przy

z s

y piesz

s e

z niem

m a = 3 i + 4 j

[m/s], jaką uzy

z s

y ku

k je on

o po 1

0s ruc

u hu.

Rozwiązanie:

136. Piłka po odbiciu od podłogi wzniosła się na wysokość 1 m. Z jaką siłą zadziałała ona na podłogę,

jeŜeli czas zderzenia wynosił 0.1 s. Masa piłki m = 0.4 kg.

Rozwiązanie:

Zderzenia oraz zasada zachowania pędu

137. Człowiek o masie m = 60 kg , biegnący z prędkością v = 8km h , dogania wózek o masie 90

1

1

kg, który jedzie z prędkością v = 4 km h i wskakuje na ten wózek; a) z jaką prędkością będzie

2

poruszał się wózek z człowiekiem? b) Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy

człowiek będzie biegł naprzeciw wózka?

Rozwiązanie:

138. Na poziomo poruszający się z prędkością v = 10 m s wózek o masie m = 5 kg spadła pionowo

1

cegła o masie m = 3kg . Ile wynosiła po tym prędkość wózka i cegły?

2

Rozwiązanie:

139. Ołowiany pocisk o masie 0,1 kg lecąc poziomo uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej

masie 50 kg i grzęźnie w nim. Po zderzeniu wózek odjeŜdŜa z prędkością 1 m/s. Jaka była prędkość

pocisku przed zderzeniem.

Rozwiązanie:

140. W spoczywający na idealnie gładkim stole klocek o masie M = 0 5

, kg uderza poruszający się

poziomo z prędkością v = 500 m s pocisk o masie m = ,

0 01kg . Przebiwszy klocek pocisk porusza

się dalej ze zmniejszoną prędkością v = 300m s . Ile wynosi prędkość u klocka po uderzeniu przez

1

pocisk?

Rozwiązanie:

141. W spoczywający na stole klocek o masie M = 0 5

, kg uderzył poruszający się poziomo z

prędkością v = 500 m s pocisk o masie m = ,

0 01kg i utkwił w nim na skutek czego klocek zaczął

się poruszać. Jaką drogę s przebył klocek do zatrzymania się jeŜeli współczynnik tarcia klocka o

podłoŜe wynosi f = 0,2 ?

Rozwiązanie:

142. Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v = 10 m s rozerwał się na dwa odłamki. Większy

odłamek, którego masa stanowiła w = 60% masy całego granatu, kontynuował lot w pierwotnym

kierunku, lecz ze zwiększoną prędkością v = 25m s . Znaleźć kierunek i wartość prędkości

1

mniejszego odłamka.

Rozwiązanie:

143. Pocisk o masie m lecący z prędkością v trafia w nieruchomy wagon naładowany piaskiem

i grzęźnie w nim. Obliczyć prędkość u wagonu po tym zdarzeniu. Masa wagonu z piaskiem wynosi M.

Rozwiązanie:

144. Ołowiany pocisk o masie m lecąc poziomo z prędkością v

v

uderza w stojący wózek z piaskiem o łącznej masie M (patrz rysunek

M

m

obok). Przebiwszy warstwę piasku pocisk porusza się dalej z

prędkością u 1. Jaka była prędkość u 2 wózka tuŜ po zderzeniu? Ile

u

wynosi efektywny współczynnik tarcia f wózka o podłoŜe jeŜeli po

1

u 2

zderzeniu wózek przebył do zatrzymania drogę s?

Rozwiązanie:

145. Od dwustopniowej rakiety o masie M = 1200 kg , po osiągnięciu szybkości v = 200m s ,

oddzielił się pierwszy stopień o masie m = 700 kg . Jaką szybkość osiągnął drugi stopień rakiety, jeśli

szybkość pierwszego stopnia zmalała w wyniku tej operacji do v = 150m s ?

1

Rozwiązanie:

146. Masa startowa rakiety (z paliwem) wynosi m = 2 kg . Po wyrzuceniu paliwa o masie

1

m = ,

0 4 kg rakieta wznosi się pionowo na wysokość h = 1000 m . Oblicz prędkość wyrzuconego

2

paliwa.

Rozwiązanie:

147. Granat lecący z prędkością 10 m/s rozerwał się na dwa odłamki o jednakowej masie.

Po rozerwaniu jeden z nich na moment zatrzymał się a następnie spadł pionowo w dół. Znaleźć

prędkość drugiego odłamka tuŜ po rozerwaniu.

Rozwiązanie:

148. Piłka o masie m = 100g uderza w ścianę z prędkością v = 5 m/s pod kątem α i odbija się

od niej doskonale spręŜyście. a) Narysuj wektor zmiany pędu piłki ∆ p. b) Oblicz wartość

wektora zmiany pędu. c) Na podstawie rysunku wykonanego w punkcie a) zadania podaj

kierunek i zwrot siły, którą ściana działa na piłkę i którą piłka działa na ścianę.

Rozwiązanie:

149. ŁyŜwiarz o masie M = 80 kg, stojący na zamarzniętym jeziorze rzuca kamień o masie m = 400g

poziomo w kierunku brzegu. W momencie rzutu ręka łyŜwiarza znajdowała się na wysokości h = 2 m.

Kamień upada na brzeg w odległości s = 15 m od łyŜwiarza. Jaka pracę wykonał łyŜwiarz?

Rozwiązanie:

150. Dwie kule zawieszone na równoległych niciach tej samej długości stykają się. Kula o masie M

zostaje odchylona od pionu tak, Ŝe jej środek cięŜkości wznosi się na wysokość h zostaje puszczona

swobodnie. Na jaką wysokość wzniesie się ta kula po zderzeniu doskonale niespręŜystym z drugą

kulą. Masa drugiej kuli wynosi m.

Rozwiązanie:

151. Z działa o masie M następuje wystrzał pocisku o masie m pod kątem α do poziomu. Oblicz

prędkość, z jaką działo zostaje odrzucone wstecz, jeŜeli prędkość pocisku względem ziemi wynosi v.

Rozwiązanie:

152. Poziomo lecący strumień wody uderza o ścianę i spływa po niej swobodnie. Prędkość strumienia

wynosi v, a jego pole przekroju poprzecznego S. Wyznaczyć siłę z jaką ten strumień działa na ścianę.

Rozwiązanie:

153. Piłka o masie m uderza pod kątem α o doskonale gładką ścianę i odbija się od niej doskonale spręŜyście. Znaleźć średnią siłę F z jaką ściana działa na piłkę. Prędkość padającej piłki v, a czas zderzenia ∆ t.

Rozwiązanie:

154. Obliczyć ciśnienie wywierane na ścianę przez strumień cząstek poruszających się z prędkością v.

Zderzenie kulek ze ścianą jest doskonale spręŜyste. Kąt między strumieniem padającymi prostopadłą

do ściany wynosi α. Koncentracja cząstek w strumieniu jest równa n.

Rozwiązanie:

155. Kulka o masie 0,25 kg lecąca poziomo z prędkością v1 = (14, 0, 0), zderza się centralnie idealnie spręŜyście z kulką o masie 0,4 kg lecącej poziomo po tej samej prostej z prędkością v2 = (− 8, 0, 0).

Wyznaczyć prędkości (wartości i kierunki) obu kulek po zderzeniu.

Rozwiązanie:

156. Rozwiązać poprzednie zadanie przy załoŜeniu, Ŝe zderzenie jest idealnie niespręŜyste. Jaka ilość

i na co jest tracona początkowa wartość energii kinetycznej kulek? Przy jakich warunkach obie kulki

po zderzeniu będą spoczywały?

Rozwiązanie:

157. Spoczywające w początku układu odniesienia jądro atomu nagle rozpada się na 3 części. Znane

są następujące dane dotyczące części rozpadu: m 1 = 16,7·10-27 kg, v 1 = (6·106, 0, 0) m/s, m 2 = 8,35·10-27 kg, v 2 = (8·105, 0, 0) m/s oraz m 2 = 11,7·10-27 kg. Wyznaczyć wektor v 3. Ile wynosi energia kinetyczna uwolniona w tym rozpadzie? Ile potrzeba takich rozpadów w ciągu jednej sekundy, aby

wydzielona moc energii kinetycznej była równa 1 megawatowi?

Rozwiązanie:

158. W czasie testów samochodu bada się jego odporność na zderzenia. Samochód o masie 2300 kg

i prędkości 15 m/s uderza w podporę mostu. Jaką średnią siłą działa podpora na samochód (a

samochód na podporę) w czasie zderzenia trwającego 0,56 s?

Rozwiązanie:

159. (Patrz takŜe zdanie 28) Sternik o masie 45 kg stoi na pokładzie niezacumowanej Ŝaglówki

o masie 450 kg i długości 7 m, nieruchomo spoczywającej na powierzchni jeziora. Sternik rozpoczyna

spacer po pokładzie z prędkością 1 m/s w względem Ŝaglówki przechodząc od jej przodu na rufę.

Z jaką prędkością względem wody porusza się sternik a z jaką Ŝaglówka?

Rozwiązanie:

160. Jednej kuli bilardowej nadano prędkość V kierując ją na 15 innych nieruchomych. W rezultacie

zderzeń kul miedzy sobą i z brzegiem masywnego stołu, w pewnym momencie wszystkie kule mają te

same prędkości v. Jeśli zaniedbamy ruch obrotowy kul, to ile wynosi stosunek v/V?

Rozwiązanie:

161. Strumień wody z armatki policyjnego samochodu pada na ciało demonstranta. Prędkość wody

wynosi 15 m/s. W ciągu sekundy armatka wylewa 10 litrów wody. Woda praktycznie nie odbija się od

ciała demonstranta, spływa po nim, a jej gęstość 1000 kg/m3. Obliczyć średnią wartość siły działającej

na ciało demonstranta.

Rozwiązanie:

162. Pocisk lecący poziomo z prędkością v rozpada się na dwie równe części, które dalej lecą

poziomo. Jedna część porusza się w przeciwną stronę z taka samą prędkością, jak prędkość pocisku

przed rozpadem. Jaka jest prędkość pozostałej części?

Rozwiązanie:

163. Stoisz na łyŜwach na idealnie gładkiej tafli lodu. KoleŜanka/kolega rzuca w Ciebie piłką o masie

0,4 kg, której pozioma prędkość w chwili uderzenia o Twoje ciało o masie 60 kg wynosi 14 m/s. a)

Jeśli złapiesz piłkę, to z jaką prędkością będziesz się poruszał? W jakim kierunku? B) Jeśli piłka

odbije się od Ciebie i następnie poruszać się będzie w kierunku przeciwnym z poziomą prędkością 8

m/s, to jaka będzie Twoja prędkość?

Rozwiązanie:

164. Ciało A o masie 3 kg zderza się idealnie spręŜyście i centralnie z innym nieruchomym ciałem.

Ciało A po zderzeniu porusza się w tym samym kierunku ale z prędkością czterokrotnie mniejszą?

Jak była masa nieruchomego ciała?

Rozwiązanie:

165. Dwa klocki o masach 2 kg i 5 kg, spoczywające na idealnie gładkiej poziomej powierzchni, łączy

ściśnięta spręŜyna. Po zwolnieniu spręŜyny ciało o mniejszej masie uzyskało prędkość 2 m/s.

Jaką prędkość miał drugi klocek?

Rozwiązanie:

166. Neutron zderza się czołowi i idealnie spręŜyście ze spoczywającym początkowo jadrem atomu

węgla 12C6. Jaką część początkowej energii kinetycznej neutronu jest przekazywana atomowi węgla?

Wyznaczyć energię kinetyczną jądra węgla i neutronu po zderzeniu, jeśli początkowa energia neutronu

wynosiła 1,6·10-23 J. Przyjąć w obliczeniach, Ŝe masa jądra węgla jest 12 razy większa od masy

neutronu.

Rozwiązanie:

167. Podczas legendarnego oblęŜenia przez Szwedów Jasnej Góry kolubryna o masie własnej 500 kg

wystrzeliwała pociski o masie 10 kg z prędkością poziomą 150 m/s przesuwając się przy tym o 2 m.

Obliczyć prędkość początkową działa oraz średnią siłe działającą na armatę, zakładając, Ŝe ruch

armaty jest jednostajnie opóźniony.

Rozwiązanie:

168. Kamizelki kuloodporne są szyte z odpowiednio gęsto utkanych tkanin (dlatego są bardzo

cięŜkie). Uderzająca w kamizelkę kula stopniowo ale błyskawicznie grzęźnie w splotach tkanin.

Przypuśćmy, Ŝe pocisk o masie 10,2 g wystrzelono w kierunku człowieka ubranego w kamizelkę.

ZaleŜność v( t) prędkości kuli w tkaninach kamizelki zadaje równanie v( t) = a − bt, gdzie a = 300 m/s , b = 75 m/(mikrosekunda)2 dla 0 ≤ t ≤ 40 µs (mikrosekund). Jakie jest opóźnienie pocisku w kamizelce? Obliczyć: a) zmianę pędu i energii pocisku; b) drogę, na której pocisk zatrzymuje się;

c) wartość siły działającej na kamizelkę ze strony grzęznącej w niej kuli.

Rozwiązanie:

169. Wyobraź sobie, Ŝe pocisk z poprzedniego zadania uderza w Terminatora stojącego na idealnie

gładkiej powierzchni, którego masa wraz z kamizelką wynosi 75 kg. Wyznaczyć przyspieszenie

Terminatora w czasie uderzenia trwającego 40 µs oraz jego prędkość tora po uderzeniu pocisku.

Rozwiązanie:

170. ( Kosmiczna proca) Pojazd kosmiczny Voyager 2 o masie m i prędkości v = 12 km/s względem

nieruchomego Słońca zbliŜa się do Jowisza o masie M i prędkości orbitalnej V = 13 km/s. Pojazd

okrąŜa planetę i oddala się od niej w kierunku, z którego nadleciał. Wyznacz prędkość pojazdu

względem Słońca po tym manewrze, który moŜna rozpatrywać jako zderzenie idealnie spręŜyste, przy

warunku M >> m. Ws-ka: skorzystać ze wzoru na prędkości zderzających się obiektów przed i po zderzeniu i przyjąć, Ŝe prędkość Jowisza praktycznie nie ulega zmianie.

Rozwiązanie:

***