1

Dzia lania na wektorach.

Przygotowa/la Izabela Wardach Zadania do samodzielnego rozwi¸

azania:

1) Dane s¸

a punkty A(3, −2), B(1, 4), C(2, −5), D(6, 2). Znajdź punkt E(ex, ey), taki aby by lo spe lnione :

~

EA + ~

EB + ~

EC + ~

ED = ~0

odp.: S(3, −1/4)

√

2) Znajdź pole oraz k¸

aty trójk¸

ata o wierzcho lkach A(0, 1), B(2 3, 1), C(0, 3) odp: P =

√

2 3, k¸

aty: 30o, 60o, 90o

3) Dane s¸

a ~

u = [1, −2], ~

w = [−1, 5]. Oblicz: a)

~

u · ~

w

odp.: −11

b)

~

u2

odp: 5

c)

~

w2

odp: 26

d)

(~

u + ~

w)2

odp: 9

e)

(~

u + 2 ~

w) ◦ (3~

u − ~

w)

odp: −92

4) Dla jakiej wartości k punkty A(1, 4), B(3, 1), C(0, k) s¸

a wierzcholkami trójk¸

ata pros-

tok¸

atnego?

odp.: k = −1 lub k = 10/3

5) Oblicz iloczyn skalarny wektorów ~

u i ~

w, jeżeli:

a) |~

u| = 3, | ~

w| = 5, 6 (~

u, ~

w) = π/3

odp.: 15/2

b) |~

u| = 3, | ~

w| = 1, 6 (~

u, ~

w) = 2π/3

odp.: −3/2

6) Oblicz iloczyn skalarny wektorów ~

u i ~

w, jeżeli ~

u = 3~a + ~b, ~

w = ~a − ~b, |~a| = |~b| = 1

oraz ~a · ~b = 0.

odp.: 2.

√

7) Oblicz |~

q|, jeżeli ~

q = 3~

u − 2~

v oraz |~

u| = 2, |~

v| = 3 oraz ~

u⊥~

v

odp. 6 2

8) Dane s¸

a dwa wektory ~

u = [1, 2, −2] i ~

w = [2, 3, 6]. Znajdź wektor ~

p, którego d lugość

wynosi 21/5, i który dzieli k¸

at mi¸

edzy wektorami ~

u i ~

w na po lowy.

odp.[4, 4/5, 1]

9) Dane s¸

a dwa przeciwleg le wierzcho lki kwadratu A(0, −1), C(3, 0). Wyznacz pozosta le wspó lrz¸

edne i pole tego kwadratu.

odp.: B(−2, −2), D(1, 1), S = 5.

10) Dane s¸

a środki boków trójk¸

ata D(2, 3, 1), E(3, 3, 2), E(4, 2, 0).

Znajdź jego wierz-

cho lki.Wyznacz pozosta le wspó lrz¸edne i pole tego trójk¸

ata.

odp.: A(3, 2, −1), B(1, 4, 3), C(5, 2, 1).

11) Dany jest punkt A(1, −2)w uk ladzie OXY. Znaj´

dz wspó lrz¸

edne tego punktu w uk ladzie

√

√

OX’Y’obróconym o k¸

at 45o.

odp.: A(3 2/2, − 2/2).

12) Sprawdź czy punkty A(3, −1, 2), B(1, 2, −1), C(−2, 0, 5), D(−4, 3, 3) s¸

a wierzcho lkami

trapezu.

odp.: tak.

1