Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Z0

1. Kombinatoryka

1. Przyjmijmy, że słowo jest dowolnym ciągiem liter jakiegoś alfabetu.

(a) Ile różnych słów 10-cioliterowych można utworzyć z 10 różnych liter tak, aby litery w słowie nie powtarzały się?

(b) Ile słów 3-literowych można utworzyć z 10 liter alfabetu?

(c) Na ile sposobów można wybrać nieuporządkowane trójki niepowtarzających się liter spośród 10 liter alfabetu?

2. Na ile sposobów można posadzić 7 różnych kwiatków w 10 rozróżnialnych skrzynkach, tak aby w każdej skrzynce znalazł się co najwyżej jeden kwiat?

3. Na ile sposobów można ustawić cyfry 0, 1, ..., 9 tak, aby: (a) między 0 i 1 znajdowały się dokładnie cztery cyfry?

(b) 7, 8, 9 stały obok siebie?

2. Działania na zbiorach

Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem, A1, A2, . . . – podzbiorami zbioru X, I – podzbiorem zbioru liczb naturalnych N. Wtedy:

[ An = {x ∈ X : ∃ n ∈ I, x ∈ An} − suma mnogościowa n∈I

\ An = {x ∈ X : ∀ n ∈ I, x ∈ An} − iloczyn mnogościowy n∈I

A1 − A2 = {x ∈ X : x ∈ A1 ∧ x /

∈ A2} − różnica zbiorów

A0

=

X − A − dopełnienie zbioru A

Prawa de Morgana:

!0

!0

[

\

\

[

An

=

(An)0 ,

An

=

(An)0

n∈I

n∈I

n∈I

n∈I

Iloczyn kartezjański:

A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

∞

∞

[

\

1. Wyznaczyć

An,

An, jeśli zbiory An, n = 1, 2, . . . , określone są następująco: n=1

n=1

1

(a) An =

x ∈ R : 0 6 x 6

;

n + 1

√

n

√

o

(b) An = x ∈ R :

n 6 x 6

2n ;

1

1

(c) An =

x ∈ R : 1 −

6 x 6 2 +

;

n + 1

n + 1

(d) An = {x ∈ R : sin x = n};

2. Zaznaczyć w układzie współrzędnych XOY zbiór A × B, jeśli: (a) A = {1, 2}, B = (1; 2] ∪ {5};

(b) A = {x ∈ R : |x| > 1}, B = {y ∈ R : |y| 6 1}.

3. Obrazy i przeciwobrazy Niech f : X → Y będzie funkcją określoną na zbiorze X, o wartościach w zbiorze Y .

Obrazem zbioru B ⊂ X nazywamy zbiór

f (B) = {y ∈ Y : ∃ x ∈ B, f (x) = y}.

Przeciwobrazem zbioru C ⊂ Y nazywamy zbiór f −1(C) taki, że f −1(C) = {x ∈ X : f (x) ∈ C}.

1. Niech f : R → R będzie funkcją taką, że f (x) = x2. Wyznaczyć: (a) f ([1; 2)) , f ((−1; 2));

(b) f −1 ([0; 4)) , f −1 ((−2; −1)) f −1 ((0; 1]).

2. Dla podanych poniżej funkcji f wyznaczyć f −1 ({a}) oraz f −1 ((−∞; a)), gdzie a ∈ R: h

π i

(a) f : 0;

→ R, f(x) = cos x;

2

1

(b) f :

R → R, f (x) = x −

;

2



0

,

x ∈ [0; 1)



(c) f : [0; 2] → R, f (x) =

1

,

x = 1

.



2

,

x ∈ (1; 2]