DRGANIA UKŁADÓW O KILKU STOPNIACH SWOBODY

Zadanie

Dla układu dwóch mas połączonych sprężynami jak na rysunku: ułożyć równania ruchu, wyznaczyć częstości własne, znaleźć rozwiązanie ogólne, narysować postacie własne, wyznaczyć wartości amplitud i faz. Tarcie pominąć.

x1(t)

x2(t)

Równania ruchu

Układ ma dwa stopnie swobody, zatem otrzyma się dwa równania ruchu. Jako współrzędne uogólnione przyjmuje się przemieszczenie każdej z mas od położenia równowagi statycznej.

∂

( Ek )− Ek + Ep =

(

)−

dt ∂ ˙ x

∂ x

dt ∂ ˙ x

∂ x

Ep=1 kx 2+1 kx 2+1 2k ( x − x )2 , Ek =1 m ˙ x 2+ 1 m ˙

x 2

∂ Ep

∂

kx + 2k ( x − x )(−1)=3kx −2kx , (

)= m ¨ x

∂ x

dt ∂ ˙

∂ Ep

∂

kx + 2k ( x − x )=3kx −2kx , (

)= m ¨ x

∂ x

dt ∂ ˙

∂ Ek

m ¨ x +3kx −2kx =0

∂ x

m ¨

x −2kx +3kx =0

jeśli równania ruchu są

[ m 0

prawidłowo napisane to

][ ¨ x 1]+[ 3k −2k][ x 1]=[0]

¨ x

−2k

wyrazy macierzy

zaznaczone kółkiem są

Postacie rozwiązań

jednakowe, wynika to ze

sprężyny sprzęgającej oba

x = A sin(ω t +ϕ )

¨ x =− A ω 2 sin(ω t+ϕ ) 1

stopnie swobody

x = A sin (ω t +ϕ )

¨ x =− A ω 2sin (ω t+ϕ ) 2

[ m 0

][ A 1](−ω2)sin(ω t+ϕ)+[ 3k −2k][ A 1]sin(ω t+ϕ)=[0]

, dzielimy przez :

sin (ω t +ϕ )≠0

−2k

[−ω2 m 0

][ A 1]+[ 3k −2k][ A 1]=[0]

−ω 2 m

−2k

[−ω2 m +3k −2k

][ A 1]=[0] (∆)

−2k

−ω 2 m +3k A

Zagadnienie własne

Równanie macierzowe oznaczone (

∆

) nosi nazwę zagadnienia własnego. Istnieje niezerowe rozwiązanie (A1≠0 i A2≠0) gdy wyznacznik macierzy ℂ wynosi zero.

[−ω2 m+3k −2k

][ A 1]=[0] (∆)

−2k

−ω 2 m +3k A

⏟ 2

ℂ

det (ℂ)=0

⇔

(−ω 2 m +3k)(−ω 2 m +3k)−(−2k )(−2k)=0

m m ω 4−3k m ω 2−3k m ω 2+ 9k2−4k2=0

po uporządkowaniu otrzymuje się równanie charakterystyczne (częstości), z którego wyznacza się kwadraty częstości drgań własnych i następnie częstości.

m m ω 4−3k( m + m )ω 2+5k2

⏟=0

⏟ 0

δ = b 2−4ac=(−3k ( m + m ))2−4 ( m m )(5k2)=9k2( m + m )2−20m m k 2

−

= b−√δ

0(1)

−

= b+√δ

0(2)

3k ( m + m )−√9k2( m + m )2−20m m k 2

=√ω 2

0(1)

2m m

0 (1 )

3k ( m + m )+√9k2( m + m )2−20m m k 2

=√ω 2

0(2)

2m m

0 (2)

0(2)

Częstości są zawsze dodatnie a numeruje się je od wartości najniższej.

Równania w zagadnieniu własnym są zależne i nie pozwalają na wyznaczenie obu amplitud A1 i A2.

Można jednak wyznaczyć z nich zależność amplitudy drugiej masy od pierwszej. Z (∆ ) otrzymujemy:

(−ω 2 m +3k ) A −2kA =0

−2kA +(−ω 2 m +3k) A =0

−ω 2 m + 3k

−

−ω m +3k

Dla każdej z częstości wyznaczamy zależność amplitud, można do tego wybrać dowolne z powyższych równań.

−ω 2 m +3k

2 (1 ) =

0 (1 )

=µ

>0 ( zawsze dodatni)

(1) ,

A 2(1)

(1) A 1 (1) ,

µ(1)

1 (1)

−ω 2 m +3k

2 (2) =

0(2)

=µ

(2) ,

A 2(2)=µ(2) A 1(2) , µ(2)<0 ( zawsze ujemny)

1 (2 )

Rozwiązanie ogólne

x ( t )= A

)+ A

)

1(1)sin (ω 0(1) t +ϕ (1)

1(2) sin (ω 0(2) t +ϕ (2)

x ( t )= A

)+ A

)

2 (1) sin (ω 0 (1) t +ϕ (1 )

2(2) sin (ω 0(2) t +ϕ (2)

[ x ( t)1]=[ A 1(1)]sin(ω

)+[ A 1(2)]sin(ω

)

x ( t )

0 (1) t +ϕ (1)

0(2) t +ϕ (2 )

2 (1)

2 (2 )

[ x ( t)1]=[1 ] A

)+[1 ] A

)

x ( t )

1 (1) s in (ω 0 (1) t +ϕ (1)

1 (2)s in (ω 0(2) t +ϕ (2 )

(

⏟

(

⏟

I postać własna

II postać własna

Ruch każdej z mas jest złożeniem dwóch ruchów harmonicznych. Jeśli częstości ω0(1) i ω0(2) są współmierne to ruch danej masy jest okresowy, jeśli są niewspółmierne to nieokresowy.

Jednoczesny ruch obu mas z tą samą częstością nazywamy postacią drgań własnych.

Amplituda drugiej masy odniesiona jest do amplitudy masy pierwszej poprzez współczynnik μ(i) (i=1,2), pozwala to na porównanie wychyleń mas w danej postaci.

Postacie własne

x1(t)

x2(t)

Układ w stanie

Układ jest w stanie

równowagi statycznej.

A1(1)

A2(1)= μ(1)A1(1)

I postać własna –

drgania obu mas w

fazie z częstością ω0(1)

(obie masy przemieszczają

się jednocześnie raz w

prawo raz lewo).

II postać własna –

1(2)

2(2)= μ(2)A1(2)

drgania obu mas w

przeciw-fazie z

częstością ω0(2)

(obie masy przemieszczają

się do siebie i od siebie).

W przypadku drgań z pierwszą postacią własną (odpowiadającej najniższej częstości własnej) obydwie masy przemieszczają się równocześnie w tym samym kierunku, natomiast podczas drgań z drugą postacią własną ( z wyższą częstością własną) masy przemieszczają się zawsze w kierunkach przeciwnych.

Wyznaczenie amplitud A1(1), A1(2) i faz ϕ1, ϕ2

Z zagadnienia własnego, oprócz częstości (ω0(1) i ω0(2)) wyznaczyć można jedynie współczynniki wielokrotności amplitudy masy drugiej do pierwszej (μ(1) i μ(2)) dla tych częstości.

Aby wyznaczyć wartości amplitud i faz potrzeba wykorzystać warunki początkowe: x ( t =0)= x ,

˙ x ( t=0)= v

x ( t =0)= x ,

˙ x ( t=0)= v

Podstawiamy je do rozwiązania ogólnego i jego pochodnej: x ( t )= A

)+ A

)

1(1) sin (ω 0(1) t +ϕ (1)

1(2) sin (ω 0 (2 ) t +ϕ (2)

x ( t )= A

)+ A

)

2 (1 )sin (ω 0 (1 ) t +ϕ (1)

2(2) sin (ω 0(2 ) t +ϕ (2)

˙ x ( t)= A

)+ A

)

1(1)

0 (1) cos (ω 0(1) t +ϕ (1)

1(2)

0 (2) cos(ω 0(2 ) t +ϕ (2)

˙ x ( t )= A

)+ A

)

2 (1 )

0(1) cos(ω 0 (1) t +ϕ (1 )

2(2)

0 (2) cos(ω 0(2) t +ϕ (2)

x = A

+ A

1 (1 )s in ϕ (1)

1 (2 )s in ϕ (2)

x = A

+ A

2(1) sin ϕ (1)

2(2) sin ϕ (2)

v = A

+ A

1(1)

0(1) cos ϕ (1)

1 (2 )

0(2) cos ϕ (2)

v = A

+ A

2(1)

0 (1)cos ϕ (1)

2(2)

0(2) cos ϕ (2)

oznaczmy:

A = A

1(1)s in ϕ (1)

x = A + A

A = A

1(2) s in ϕ (2)

x = A µ + A µ

(1)

(2 )

B = A

1(1) cosϕ (1 )

v ( t )= B ω

+ B ω

0 (1)

0(2 )

B = A

1(2) cos ϕ (2 )

v ( t )= B ω

µ + B ω

0 (1 )

(1)

0 (2)

(2 )

mamy układ 4 równań z 4 niewiadomymi, po przekształceniach x µ −

wyznaczamy A1, A2, B1, B2:

(

A = 10

µ −µ

(2 )

(1 )

x − x µ(

A = 20

µ −µ

i następnie A

(2)

(1)

1(1), A1(2) oraz ϕ1, ϕ2 z zależności:

v µ(

B = 10 2)− v 20

=√ A + B =

√( x µ − x )2+( µ − )

1 (1)

(2)

0 (1 )

0 (1)

0(1)(µ(2)−µ(1))

µ −µ

(2)

(1)

v − v µ(

B = 20

(µ −µ )

0 (2)

(2)

(1)

=√ A 2+ B 2=

√( x − x µ )2+( 20 − 10 µ ) 1 (2 )

µ −µ

(1)

(

0 (2)

0(2)

(1)

x µ(

tg ϕ = 1 = 10 2)− x 20 ω

v µ − v

0(1)

(2)

x − x µ(

tg ϕ = 2 = 20

1) ω

v − v µ

0(2 )

(1)