Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
1
Transfiguracja gwiazda-trójkąt
JeŜeli w obwodzie da się wyodrębnić układ składający się z trzech rezystorów ze wspólnym punktem połączenia N, to taki układ z punktu widzenia jego zacisków 1, 2, 3 moŜna zastąpić połączeniem trójkątnym. Taką operację nazywamy transfiguracją. RównowaŜność obu obwodów oznacza jedynie równość prądów I 1, I 2, I 3, jak teŜ napięć U 12, U 23 oraz U 31.
Rys.1. Gwiazda rezystancji i równowaŜny trójkąt.
W poniŜszym wyprowadzeniu będą uŜywane wymiennie oznaczenia rezystorów jako: 1
1
1
G =
, G =
oraz G =
.
1
2
3
R
R
R
1
2
3
Prądy w poszczególnych gałęziach moŜna zapisać uŜywając potencjałów węzłów 1, 2, 3 i N: I = G V V
−
,
1
1 ( 1
N )
I = G V
V
−
,
2
2 ( 2
N )
I = G V V
−
.
3
3 ( 3
N )
PoniewaŜ suma tych prądów jest równa zeru, I + I + I = G V V
−
,
N
+ G V V
− N + G V V
− N =0
1
2
3
1 ( 1
) 2 ( 2
) 3 ( 3
)
moŜna wyznaczyć potencjał węzła N : G V
⋅ + G V
⋅ + G V
⋅
1
1
2
2
3
3
V
.
N =
G + G + G
1
2
3
2011
K. M. Gawrylczyk
Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
2
Znajomość potencjału punktu wspólnego N pozwala wyznaczyć prądy gałęzi
G V
G V
G V
⋅ + ⋅ + ⋅
G V
⋅ + G V
⋅ + G V
⋅
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
I = G V −
= G V
⋅ − G ⋅
,
1
1
1
1
1
1
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
G V
G V
G V
⋅ + ⋅ + ⋅
G V
⋅ + G V
⋅ + G V
⋅
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
I = G V −
= G V
⋅ − G ⋅
,
2
2
2
2
2
2
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
G V
G V
G V
⋅ + ⋅ + ⋅
G V
⋅ + G V
⋅ + G V
⋅
1
1
2
2
3
3
I = G V −
= G V
⋅ − G ⋅ 1 1
2
2
3
3 .
3
3
3
3
3
3
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
Sprowadzając do wspólnego mianownika otrzymujemy 2
2
G V
⋅
G
+ G
⋅ V
⋅
G
+ G
⋅ V
⋅
G
− V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅
G G
⋅ ⋅ V V
−
G
− G
⋅ ⋅ V V
−
1
1
1
2
1
1
3
1
1
1
1
2
2
1
3
3
1
2 ( 1
2 )
1
3 ( 3
1)
I =
=
,
1
G + G + G
G + G G
+
1
2
3
1
2
3
2
2
G G
⋅ V
⋅
G
+ V
⋅ + G G
⋅ V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅ G
− V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅
G G
⋅ ⋅ V V
−
G
− G
⋅ ⋅ V V
−
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
3 ( 2
3 )
2
1 ( 1
2 )
I =
=
,
2
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
G G
⋅ V
⋅ + G
2
2
G
⋅ V
⋅
G
+ V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅
G
− G
⋅ V
⋅
G
− V
⋅
G G
⋅ ⋅ V V
−
G
− G
⋅ ⋅ V V
−
3
3
3
3
1
3
1
2
3
2
3
3
3
1 ( 3
1)
3
2 ( 2
3 )
1
3
3
2
I =
=
.
3
G G
+
G
+
G + G + G
1
2
3
1
2
3
RóŜnice potencjałów na końcach gałęzi są równe odpowiednim napięciom gałęziowym: G ⋅ G U
⋅
− G ⋅ G U
⋅
G ⋅ G
G ⋅ G
1
2
12
1
3
31
1
2
1
3
I =
=
U
⋅
−
U
⋅
= I − I ,
1
12
31
12
31
G + G + G
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
1
2
3
G ⋅ G U
⋅
− G ⋅ G U
⋅
G ⋅ G
G ⋅ G
2
3
23
2
1
12
2
3
2
1
I =
=
U
⋅
−
U
⋅
= I − I ,
2
23
12
23
12
G + G + G
G + G + G
G + G + G
1
2
3
1
2
3
1
2
3
G ⋅ G U
⋅
− G ⋅ G U
⋅
G ⋅ G
G ⋅ G
3
1
31
3
2
23
3
1
I =
=
U
⋅
−
3
2
U
⋅
= I − I .
3
31
G + G + G
G + G + G
23
31
23
G + G + G
1
2
3
1
2
3
1
2
3
W ten sposób otrzymaliśmy składniki prądów I 1, I 2, I 3 płynące w gałęziach trójkąta I 12, I 23, I 31.
Oznacza to, Ŝe wyraŜenia ułamkowe występujące przy U 12, U 23 oraz U 31 reprezentują konduktancje gałęzi trójkąta:
G ⋅ G
G ⋅ G
G ⋅ G
1
2
2
3
3
1
G =
, G =
, G =
12
23
31
G + G + G
G + G + G
G + G +
,
G
1
2
3
1
2
3
1
2
3
lub przechodząc na rezystancje
1
1
1
1
R ⋅ R
1
R ⋅ R
1
R ⋅ R
1
2
2
3
2
3
=
,
=
,
=
R
1
1
1
R
1
1
1
R
1
1
1
12
23
23
+
+
+
+
+
+
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
2
3
1
2
3
1
2
3
czyli
R ⋅ R
R ⋅ R
R ⋅ R
1
2
2
3
3
1
R = R + R +
, R = R + R +
, R = R + R +
.
12
1
2
23
2
3
31
3
1
R
R
R
3
1
2
2011
K. M. Gawrylczyk
Transfiguracja gwiazda-trójkąt … .
3
W celu uzyskania wzorów dla przekształcenia trójkąta na gwiazdę obliczymy kilka pomocniczych wielkości:
R ⋅ R
R ⋅ R
R ⋅ R
1
2
2
3
3
1
R + R + R = 2 R +2 R +2 R +
+
+
;
12
23
31
1
2
3
R
R
R
3
1
2
R ⋅ R
R ⋅ R
1
2
2
3
R ⋅ R = R + R +
R + R +
=
12
23
1
2
2
3
R
R
3
1
2
2
R ⋅ R
R ⋅ R
2
2
3
1
2
2
= R ⋅ R + R ⋅ R + R ⋅ R + R + R ⋅ R +
+
+ R ⋅ R + R =
1
2
1
3
2
3
2
2
3
1
2
2
R
R
1
3
R ⋅ R
R R
R R
⋅
⋅
1
2
2
3
3
1
= R ⋅2 R +2 R +2 R +
+
+
;
2
1
2
3
R
R
R
3
1
2
R ⋅ R
R ⋅ R
2
3
3
1
R ⋅ R = R + R +
R + R +
=
23
31
2
3
3
1
R
R
1
2
2
2
R ⋅ R
R ⋅ R
2
3
1
2
3
2
= R ⋅ R + R ⋅ R + R ⋅ R + R + R ⋅ R +
+
+ R ⋅ R + R =
2
3
2
1
3
1
3
3
1
2
3
3
R
R
2
1
R R
R R
R R
⋅
⋅
⋅
2
3
3
1
1
2
= R ⋅2 R +2 R +2 R +
+
+
;
3
2
3
1
R
R
R
1
2
3
R ⋅ R
R ⋅ R
3
1
1
2
R ⋅ R = R + R +
R + R +
=
31
12
3
1
1
2
R
R
2
3
2
2
R ⋅ R
R ⋅ R
2
1
2
3
1
2
= R ⋅ R + R ⋅ R + R ⋅ R + R + R ⋅ R +
+
+ R ⋅ R + R =
3
1
3
2
1
2
1
1
2
3
1
1
R
R
3
2
R R
R ⋅ R
R R
⋅
⋅
3
1
1
2
2
3
= R ⋅2 R +2 R +2 R +
+
+
;
1
3
1
2
R
R
R
2
3
1
Z wyliczonych wielkości pomocniczych widać, Ŝe: R ⋅ R
R ⋅ R
R ⋅ R
31
12
12
23
23
31
R =
, R =
, R =
1
2
3
R + R + R
R + R + R
R + R +
.
R
12
23
31
12
23
31
12
23
31
Podobnie jak poprzednio uzyskujemy wzory dla konduktancji: G ⋅ G
G ⋅ G
G ⋅ G
12
31
23
21
31
23
G = G + G +
, G = G + G +
, G = G + G +
.
1
12
31
2
23
21
3
31
23
G
G
G
23
31
12
Przypadek szczególny (równe rezystancje gwiazdy): R = R = R = R , czyli: G
Y
= G = G = G :
1
2
3
1
2
3
Y
R = 3⋅ R , G
.
Y
Y = 3⋅ G
∆
∆
Opracowano na podst. : T. Cholewicki „Elektrotechnika teoretyczna”, tom I, WNT.
2011
K. M. Gawrylczyk