Wydział InŜynierii Środowiska; kierunek: InŜynieria Środowiska.
Lista zadań nr 2 do kursu Fizyka 1. Rok. ak. 2011/12
Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne na stronie
http://www.if.pwr.wroc.pl/index.php?menu=studia&left_menu=jkf. Student jest zobowiązany do wydrukowania
ww. tabel i przynoszenia na zajęcia. Lista nr 2 ma za zadanie zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-
fizycznej i nabycie umiejętności rozwiązywania prostych równań ruchu w oparciu o II zasadę dynamiki.
10. Dynamika rzutu ukośnego. Ciało o masie m wyrzucono przy powierzchni ziemi pod kątem
ostrym α do poziomo nadając mu prędkość początkową v0.
A) Wyznaczyć składowe wektora prędkości początkowej ciała.
B) Przyjmując, Ŝe:
• ciało wyrzucono z początku prostokątnego układu współrzędnych OXYZ,
• ciało porusza się w płaszczyźnie OXY, przy czym oś OX jest pozioma a OY pionowa,
• jedyną siłą działającą na ciało jest stała siła cięŜkości (siła grawitacyjna) Q1,
d V
d R
i korzystając z II zasady dynamiki ( m
= F
)2 oraz wzoru
= V :
wypadkowa
d t
d t
a) wyznaczyć współrzędne wektorów: siły cięŜkości Q = [ Q x, Q y] i przyspieszenia chwilowego ciała a = ( a x, a y) w przyjętym układzie współrzędnych,
b) podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie
sformułować matematyczne skalarne postacie równań ruchu w kierunku osi OX i OY,
c) całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć
zaleŜności
od
czasu
składowych
wektora
prędkości
chwilowej
V( t) = [ V x ( t), V y( t)] = V x ( t) i + V y ( t) j, d) wyznaczyć zaleŜność od czasu t długości | V( t)| = V( t) wektora prędkości chwilowej, e) całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć
zaleŜności
od
czasu
składowych
wektora
(promienia)
wodzącego3
R( t) = [ X ( t), Y( t)] = X( t) i + Y ( t) j, f) wyprowadzić równanie toru (trajektorii) ruchu ciała, tj. zaleŜność Y( X),
g) wyznaczyć zasięg ruchu, czas t w wznoszenia się na największą wysokość Y max, wartość Y max, czas t s spadku z wysokości Y max, całkowity czas t c ruchu; czy prawdą jest, Ŝe t w = t s?
h) wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia stycznego a s( t) od czasu4,
1 Na oznaczenia wielkości fizycznych wektorowych będą używane zamiennie symbole: F, f (duża/mała litera ze strzałką nad nią) lub F, f (duża/mała litera pisane czcionką pogrubioną (bold)). Długości wektorów będą oznaczane symbolami F, f.
d A
d A
d A
d A
2
y
Wyrażenie typu m
= B jest równowaŜne układowi 3 równań skalarnych:
x
m
= B , m
= B ,
z
m
= B .
d t
d
x
t
d
y
t
d
z
t
3 Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku prostokątnego układu współrzędnych i o końcu w
punkcie A. W fizyce wektor wodzący jest wektorem położenia ciała względem początku układu współrzędnych. Długość wektora wodzącego, czyli promienia wodzącego, jest odległością punktu od początku układu współrzędnych.
i) wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia normalnego a n( t) od czasu,
2
V ( t )
j) promień krzywizny ρ ( t) toru w danym punkcie trajektorii określa wzór ρ( t) =
a ( t ) ;
n
wyznaczyć ρ ( t) toru ciała wykonującego rzut ukośny,
k) pokazać, Ŝe w trakcie ruchu wartość sumy 2
V ( t ) + 2 gY ( t ) jest stała, tj. nie zaleŜy od czasu t;
korzystając z tego wyniku obliczyć wartość prędkości z jaką ciało uderzy o powierzchnię,
l) obliczyć pochodne względem czasu wyznaczonych zaleŜności V x ( t), V y( t), X ( t) i Y( t), m) obliczyć wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,2
kg, v0 = (3, 4) = 3i +4j; wartości prędkości podano w jednostkach SI.
11. Dynamika rzutu poziomego. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y 0 przy powierzchni
ziemi nadając mu prędkość początkową v
≠
0 = (vx0
0, vy0 = 0) = vx0i. Wykonać samodzielnie
polecenia pkt. A) i B) z zadania 10 wzorując się na rozwiązaniu poprzedniego zadania. Obliczyć
wybrane wartości wyznaczonych wcześniej wielkości kinematycznych dla m = 0,3 kg, v0 = (5, 0) =
5i; wartości prędkości w SI. Jak zmienią się wyniki zadania, jeśli opisane ciało wyrzucimy
z prędkością v
≠
≠
0 = (vx0 0, vy0 0) = vx0i + vy0j dla vy0 > 0 lub vy0 < 0?
12. Dynamika ruchu ciała po równi pochyłej. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na
równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuŜ równi. Współczynnik tarcia wynosi µ. W
prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY
jest do niej prostopadła:
a) wyznaczyć współrzędne wektorów sił przyłoŜonych do ciała: cięŜkości Q = [ Q x, Q y], tarcia
T = [ T x, T y] i siły reakcji równi R = [ R x, R y] oraz wektora przyspieszenia chwilowego ciała a =
( a x, a y) w przyjętym układzie współrzędnych,
b) podać wektorową postać równania ruchu ciała (zastosować II zas. dynamiki) a następnie
sformułować matematyczne postacie skalarnych równań ruchu w kierunku osi OX i OY,
c) całkując równanie ruchu z punktu b) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć zaleŜności od czasu składowych wektora prędkości chwilowej V( t) = [ V x ( t), V y( t)], d) wyznaczyć zaleŜność od czasu t długości | V( t)| = V( t) wektora prędkości chwilowej, e) całkując równanie ruchu z punktu c) i korzystając z podanych warunków początkowych
wyznaczyć zaleŜności od czasu składowych wektora (promienia) wodzącego R( t) = [ X ( t), Y( t)], f) wyznaczyć czas ruchu ciała po równi oraz wartość prędkości końcowej ciała,
g) ile wynosi ρ ( t) toru ciała zsuwającego się po równi5,
h) wyznaczyć zaleŜność przyspieszenia stycznego a s( t) i przyspieszenia normalnego a n( t) od czasu, i) jak zmienią się wyniki zadania, jeśli ciało ruszy z prędkością v0 ≠ 0 w dół lub w górę równi?
Wrocław, 26 września 2011
W. Salejda
d V
4 Wskazówka: a ( t) =
.
s
d t
5 Wskazówka: Wektor prędkości chwilowej dowolnego ruchu płaskiego można zawsze przedstawić w postaci
V
V = V ⋅
= V ⋅τ, gdzieτ jest wersorem (V > 0) w każdym punkcie toru stycznym do trajektorii o zwrocie i kierunku V ; V
dτ
wektor przyspieszenia całkowitego a = a + a , gdzie a jest wektorem prostopadłym do a i a =
. Czy w
s
n
s
n
n
d t
rozpatrywanym ruchu zmienia się wartość i kierunek wersora τ ?