Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Oto On. długo czekał na to, aby się pojawić
Manual jest oparty o kolo, które jakimś sposobem trafiło do mojego komputera. Będziemy 
korzystać również z pomocy programu Microsoft Excel [na moim sprzęcie wersja 2003 i w mojej 
ukochanej sali 138 też jest taki EXCEL].
BARDZO DZIĘKUJE  MARCINOWI  LOSZOWI, ZA UDOSTĘPNIENIE SWOICH 
JAKŻE CENNYCH I ZACNYCH NOTATEK. POLECAM JE OSOBIŚCIE.

http://www.youtube.com/watch?v=gxvNGy5jUeA

 – polecam przed rozpoczęciem nauki

No to teraz zadanie nr 1.

Pierwszy krok to wrzućmy wszystkie obserwacje do Excela.

By Perez

Strona 1 z 9

Aby rozpocząć pracę musimy 
nacisnąć przycisk wstawiania 
funkcji

Uruchomi się okno z 
funkcjami.
Podpunkt a) każe nam 
obliczyć wartość średnią.
Musimy wybrać kategorie 
Statystyczne

I znaleźć tam funkcję średnia

Wstawianie funkcji

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Po wybraniu tej funkcji pokaże nam się okno.

Ukaże się naszym oczom wynik 9,205. To jest nasza średnia czyli  x=9,205
Wiemy również, że przedział ufności, czyli  1−  wynosi 0,95. Musimy z jakże trudnego 
równania wyliczyć   , a więc  1−=0,95 −=0,95−1 =0,05 . Kolejny krok to musimy 
policzyć  t



 - pomoże nam w tym Excel, ale zanim wykonamy obliczenie te musimy policzyć ile 

jest obserwacji, czyli n. Tutaj również pomoże nam Excel. Wybieramy przycisk wybieranie 
funkcji, a następnie znajdujemy w funkcjach statystycznych funkcje ILE.LICZB. Jako Wartość1 
zaznaczamy taki sam obszar jak przy średniej[patrz obrazek wyżej]. Jeśli dostaliście wynik 8 to 
jesteście świetni.
Teraz obliczamy nieszczęsne 

t



. Ponownie zwracamy się do Excela wybieranie funkcji, 

następnie funkcje Statystyczne i znajdujemy funkcję ROZKŁAD.T.ODW

By Perez

Strona 2 z 9

W miejsce liczba1. Naciskamy  ten button, aby 
móc zaznaczyć sobie na spokojnie obszar 
interesujących nas liczb. Zaznaczamy oczywiście tak 
samo jak w strategiach.

Prawdopodobieństwo 
tutaj to nic innego jak  
nasza obliczona α(alfa)

Stopień swobody - tutaj czeka nas bardzo 
trudna kalkulacja, bo od liczebności musimy 
odjąć jeden

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Naszym oczom jeśli oczywiście dobrze obliczymy stopień swobody to powinien ukazać nam się 
wynik 2,364624, ale niestety jak dla nas to troszkę za dużo i musimy zaokrąglić tą liczbę. W Excelu 
jest bardzo przydatny button do tej operacji        z reguły zaokrąglamy do 3 miejsc po przecinku, 
więc naciskamy ten klawisz tyle razy, aż znajdzie się interesujący nas wynik.
Ostateczna rzecz w tym podpunkcie, musimy obliczyć takiego potworka:

x−t



s



n−1



mx t



s



n−1

 skorzystamy ponownie z Excela , bo po co mamy się męczyć i 

sami to liczyć skoro może to policzyć program. 
Opisze te obliczanie w kilku krokach. Myślę, że ten sposób jest o wiele miej problematyczny i da 
nam to wynik jak najbardziej prawidłowy.

1. Obliczamy ułamek (= pole gdzie jest s / PIERWIASTEK(pole gdzie jest n – 1))
2. Obliczmy iloczyn ułamka z  t



(=pole gdzie jest rozkład t odw * pole gdzie mamy 

obliczony ułamek)

3. Obliczmy  lewy przedział (=pole gdzie jest wartość średnia – pole iloczynu ułamka z 

t



).

4. obliczamy prawy przedział (=pole gdzie jest wartość średnia + pole iloczynu ułamka z 

t



).

Zapiszmy teraz wyniki do wzorku  4,28m14,13 . Hmm dobrze myślisz. To koniec zadania 
możesz iść po piwko.

UWAGA 1: Wzór  x−t



s



n−1



mx t



s



n−1

stosujemy zawsze do przedziału ufności do 

wartości średniej.

b)  przyjmując współczynnik ufności 0,9 zbudować przedział ufności dla wariancji.

To jest analogicznie podobne do zadania poprzedniego, ale niestety główna różnicą są wzorki do 
ustalenia przedziałów, ale o tym może później.
Najpierw rzeczy bajecznie proste. Wybierzmy z funkcji statystycznych funkcje o nazwie wariancja 
i zaznaczmy nasze liczby (obserwacje, czy jak tam wolicie). Jeśli zaznaczyliście dobrze to Waszym 
oczom ukaże się jakże piękna i znośna liczba 30,41414. używając magicznej sztuczki z 
zaokrąglaniem doprowadźmy do stanu 30,41.
Coraz bliżej zwycięstwa... teraz jak zapewne domyślacie się musimy obliczyć   . Wiedząc, że 
przedział ufności wynosi 0,9 [przypominam, ze przedział ufności to  1− ] , więc   wynosi 
0,1. teraz niestety musimy się brać za wzorki. Do przedziału.

ns

2





2

2



2



ns

2



1−



2

2

No to wbijamy w nasze EXCELISKO i
w funkcjach statystycznych znajdujemy
ROZKŁAD.CHI.ODW.
W miejsce prawdopodobieństwa należy
wpisać wynik działania tego co na dole
przy CHI jest. Hmm ciekawe ile to jest
0,1 dzielone na 2. Dostałem informacje
z frontu, że jest to 0,05. Oby mieli rację.

By Perez

Strona 3 z 9

Zanim zdążycie zapytać czy to jest X już 
wam odpowiadam, że to nie jest X tylko 
CHI [taka grecka literka powstała w .... 
UPS to nie ten manual :)], a to cale na 
dole to są informacje potrzebne do 
EXCELA potrzebne do policzenia 
rozkładu. Zapytanie zapewne jakiego 
rozkładu. Rozkładu CHI wam 
odpowiadam (nie wiem dlaczego ale 
zawsze jak pisze CHI to najpierw 
wychodziło mi CHU ciekawe czemu)

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Pierwszy wynik to 14,07 [po skróceniu]

Kolejny wynik rozkładu CHI inna liczbę wpisujemy przy prawdopodobieństwie. Tutaj wpisujemy 

wynik z działania 1−



2

 wynika nam, że liczbą przeznaczoną do prawdopodobieństwa jest 0,95. 

Teraz zastanówmy się przez chwile co mamy wpisać w Stopnie swobody.... hmm w sumie musimy 
wpisać również 7.
Drugi wynik to 2,17 [po skróceniu]
no to teraz obliczmy te wzorki i zakończmy męki z tym zadaniem. Znów użyjemy naszego 
masterminda EXCELA [ufajmy mu jak Zawiszy Czarnemu] i wypisze co jak liczymy, aby było 
prościej i EXCEL nie złapał TapCzkawk.

1. Obliczamy górę ułamka  ns

2

(=pole gdzie mamy liczebność * pole gdzie mamy 

wariancję)

2. Obliczamy lewy połap (=pole gdzie mamy obliczenie góry * pole gdzie mamy pierwsze 

CHI )

3. 3. Obliczamy prawy pułap (=pole gdzie mamy obliczenie góry * pole gdzie mamy 

pierwsze CHI)

4. Cieszymy się z obliczonego zadania. W nagrodę strzelcie sobie browar, tak jesteście zdolni.

Na koniec oczywiście podamy wynik 

17

2



112,3

 punkt b zakończony powodzeniem.

Wnioski z tej lekcji. Kiedy jest mowa o odchyleniu standardowym lub wariancji to używamy 
rozkładu CHI
c) na poziomie istotności 0,01 zbadać czy średnia badanej cechy różni się istotnie od 9,5

tutaj musimy zrobić 2 hipotezy.

H

0

: m=9,5

H

1

: m≠9,5

 Oczywiście działamy tutaj na rozkładzie t-studenta.

Wiemy, że poziom istotności (czyli   )

Aby obalić hipotezę numer 0 należy:

Obliczyć wzorek  t=

x−m

0

s



n−1

By Perez

Strona 4 z 9

Tutaj wpisujemy alfa 
dzieloną na 2

Tutaj wpisujemy 
liczebność -1

n- liczebność

m- liczba przy hipotezie 0

Odchylenie std

Średnia wartość

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Jak widać mamy tutaj wszystko policzone do tego wzorku (podpunkt a pomógł nam bardzo mocno)

a więc wyjdzie tak 

t=

9,21−9,5

5,51



8−1=−0,14

Teraz musimy policzyć rozkład t- studenta [ROZKŁAD.T.ODW]
w miejsce prawdopodobieństwa wpisujemy   a w miejsce stopni swobody wiadomo n-1.
Wynik jest następujący (po zaokrągleniu) 3,499. Teraz podstawmy pod wzorek  −t





tt



wychodzi coś takiego: 

−

3,499−0,143,499

. Zabawie się w matematyka. Ja widać możemy 

ten wzorek przestawić za pomocą wykresu

Jeśli warunek jest spełniony (czyli, że liczba jest w przedziale podanym przez nasz rozkład to wtedy 
musimy napisać następujące zdanie) 
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy  H

0

. Wartość średnia badanej cechy nie różni się 

znacznie od 9,5.
 Koniec zadania numer 1. Kolejne piwo wypijmy za zdrowie swe.

Zanim obliczymy punkt a) policzymy kilka innych rzeczy, które prawdopodobnie mogą być na 
kole. Są to średnia,wariancja, odchylenie standardowe, mediana i modalna. Te zadanie jest o 
tyle paskudniejsze, że nie damy rady policzyć tego w sposób taki jaki był w zadaniu numer 1, a 
szkoda. Będziemy musieli nauczyć się kilku wzorków.
UWAGA: Tutaj będziemy posługiwać się rozkładem normalnym więc wielki powrót literki  fi lub 

By Perez

Strona 5 z 9

-3,499

3,499

-0,14

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

jak kto woli TIE Fightera [pozdrowionka dla fanów Star Warsów].

Najpierw zabierzmy się za modalną.



m

o

=

X

k



n

k



n

k 1



n

k

−

n

k1



n

k

−

n

k1



h

Przedziałem gdzie jest modalna jest przedział na którym liczebność jest największa

Tym przedziałem jest przedział nr 3 (liczebność 37)
No to teraz podstawy sobie wszystko pod wzorek.



m

o

=

30

3721



37−2737−21

⋅

7. Pamiętając , że EXCEL prawdę Ci powie ,

warością modalną jest 45,615.

Zaokrąglijmy wynik 

do 3 miejsc po przecinku (oczywiście w EXCELU za pomocą przycisku)       . 

Teraz mediana.



m

e

=

X

k



1
2



n

k



1−

∑

i=1

k−1

n

i

n

k

h

Przedziałem w którym jest mediana, jest pierwszym przedziałem gdzie suma liczebności 

poprzedzających przedziałów z tym przedziałem przekraczają polowe obserwacji.

By Perez

Strona 6 z 9

H Wielkość przedziału, czyli 
prawy koniec odjąć koniec lewy.

Lewy koniec 
przedziału gdzie jest 
modalna

Liczebność 
przedziału 
gdzie jest 
modalna

Liczebność przedziału następnego 
po przedziale gdzie jest wartość 
modalna

Lewy koniec przedziału 
gdzie jest mediana.

Liczebność przedziału gdzie jest 
mediana zwiększona o jeden i 
podzielona na 2

Sumy liczebności 
przedziałów 
poprzedzających 
medianę

Wielkość przedziału

Liczebność przedziału 
gdzie jest mediana.

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

Naszym n jest 148 (suma wszystkich liczebności). Polową jest jak nie licząc 74. kolejnym zadaniem 
jest sumowanie liczebności. Na następnej stronie będzie to pokazane dokładnie na tym przykładzie

Teraz musimy wybrać ten jeden jedyny przedział Jest 
nim numer 3, bo tutaj przekroczona po raz pierwszy
została bariera polowy populacji (naszego n)

Teraz na spokojnie możemy policzyć nasz wzorek



m

e

=

30

1
2



38−45

37

⋅

7=28,58108

Done. Kolej na Średnia teraz. Które również jest bajecznie prosta. Na początek wzór.

x=

1

n

⋅

∑

k

i=1

x

o

i

⋅

n

i

 Czyli w skrócie mówiąc,  mnożymy liczebność przez środek i dzielimy przez 

ilość wszystkich obserwacji jakie są. Po wrzuceniu w EXCELA dostaniemy wynik następujący.

x=

1

n

⋅

∑

k

i=1

x

o

i

⋅

n

i

=

1

148

⋅

5420=36,62162  Oczywiście nie zapominamy o zaokrągleniu wyników, bo 

po co nam taki brzydal.

Po obliczeniu średniej przyszedł czas na wariancje i odchylenie standardowe. Jak dobrze pamiętacie 
wariancja do kwadrat odchylenia, więc jeśli mamy jedną z tych rzeczy to od razu w kilka sekund 
mamy drugą. Policzymy wariancję ze wzorku

s

2

=

1
n

∑

i=1

n



x

o

i

−

x 

2

⋅

n

i

Tutaj musimy środek przedziału każdego odjąć od wartości średniej (brzmi 

znajomo prawda) i podnieść to do kwadratu. Kwadraty mnożymy przez liczebności i dzielimy przez 
cala populację (ilość wszystkich obserwacji). Nasz ukochany arkusz kalkulacyjny oczywiście 
przeliczy to wszystko szybko i sprawnie. 

s

2

=

1

148

17667,81081=119,3771

od razu policzmy odchylenie standardowe.  s=



119,3771=10,92598 .

Teraz bierzmy się za zadania.
a) przyjmując współczynnik ufności 0,90 zbudować przedział ufności dla wartości średniej.
Wzorek na przedział:

x−u



s



n



mxu



s



n

Następnie zauważając, że mamy wszystko oprócz jednej rzeczy którą jest 

u



, a liczymy je w 

By Perez

Strona 7 z 9

Teraz w kwestii wytłumaczenia. Sumy 
przedziałów to jest interesująca nas 
kolumna. Sumą tą nazywamy liczebności 
przedziałów wszystkich które są powyżej i 
tego przedziału w którym jesteśmy. Tak 
więc dla przedziału pierwszego liczebność 
wynosi 18, bo przedziałów poprzednich nie 
ma, ale za to w tym przedziale jest 18 
absztyfikantów. Wiersz niżej schodząc. 
Suma liczebności wszystkich poprzednich 
przedziałów wynosi 18, i dodając jeszcze 
27 wynikiem jest 45. itd.

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

sposób następujący  u



=

1−



2

, a więc obliczmy te jakże trudne równanko i wynik wrzucamy 

do funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW. Wynik podany jest naszym upragnionym 

u



.



 wynosi 0,1 ( 1−=0,9 =1−0,9 =0,1 ), następnie liczymy nasze fi od  u



, żeby 

poznać jaka liczba kryje się za tą alfą u



=

1−

0,1

2

=

1−0,05=0,95  0,95 wrzucamy do funkcji 

otrzymujemy wynik. 1,645 (po zaokrągleniu).
Teraz kiedy mamy wszystko możemy policzyć sobie na spokojnie te wszystkie cudeńka.

1. Obliczyć ułamek (=POLE GDZIE JEST ODCHYLENIE / PIERWIASTEK(POLE 

GDZIE JEST N)

2. Obliczyć ułamek mnożony przez 

u



(=POLE GDZIE JEST ULAMEK * POLE 

GDZIE JEST  u



)

3. Obliczyć lewą stronę nierówności (=POLE GDZIE JEST ŚRENIA – POLE GDZIE 

JEST WYNIK OBLICZENIE POWYŻEJ)

4. Obliczyć prawą stronę(=POLE GDZIE JEST ŚREDNIA + POLE GDZIE JEST WYNIK 

OBLICZENIA Z PUNKTU NR 2)

Na koniec oczywiście jak to ma wyglądać po obliczeniu

35,144m38,099

b)przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla wariancji.

Teraz zapewne widać dlaczego, tak ważne były te moje dodatkowe obliczenia przed wykonaniem 
tego zadania. Teraz praktycznie mamy wszystko jak na tacy gotowe i czeka tylko na wrzucenie do 
wzorku.



s

1−

u





2n



2



2





s

1

u





2n



2

Następnie już, rutynowo obliczamy sobie  u



. Najpierw sama  

1−=0,95 =1−0,95 =0,05   u



=

1−0,1=1−0,1=0,9 . Ostatecznie naszym  u



 

jest liczba 1,64 (dla wariancji liczymy, nie dzieląc %alfa na 2, co za typ wymyślił tą plapkę to nie 
wiem, ale najpewniej już nie żyje)

Teraz bierzmy się za przedziały.

1. Obliczenie DOLU ULAMKA DLA PRZEDZIALU LEWEGO (=1- (POLE GDZIE JEST 

NASZE NOWE 

u



/PIERWIASTEK(2*POLE GDZIE MAMY NASZĄ 

POPULACJĘ))

2. Obliczenie DOLU ULAMKA DLA PRZEDZIALU PRAWEGO (=1+ (POLE GDZIE 

JEST NASZE NOWE  u



/PIERWIASTEK(2*POLE GDZIE MAMY NASZĄ 

POPULACJĘ))

3. Dzielenie s przez dół ułamka przedziału lewego (=POLE GDIZE MAMY ODCHYLENIE 

STANDARDOWE / POLE GDIZE MAMY OBLICZENIE Z PUNKTU 1)

4. Dzielenie s przez dół ułamka przedziału PRAWEGO (=POLE GDIZE MAMY 

ODCHYLENIE STANDARDOWE / POLE GDIZE MAMY OBLICZENIE Z 
PUNKTU 2)

5. Podniesienie obliczenia z punktu nr 3 do kwadratu (=POLE GDIZE MAMY 

OBLICZENIE ^2)

By Perez

Strona 8 z 9

Metody probabilistyczne i statystyka – kolo nr2

6. Podniesienie obliczenia z punktu nr 4 do kwadratu (=POLE GDIZE MAMY 

OBLICZENIE ^2)

Teraz wynik i z głowy.

96,208

2



152,046

c) na poziomie istotności 0,05 zbadać czy wartość średnia badanej cechy różni się istotnie od 
37,5.
Tworzymy 2 hipotezy  H

0

m=37,5

H

1

m≠37,5 Kolejną rzeczą jest  obliczenie  u



 samą 

alfę mamy już jest nią 0,05 [poziom istotności]  u



=

1−

0,05

2

=

1−0,025=0,975 Rzut do 

Excela i mamy wynik 1,96. Teraz podrzucamy to do wzoru u=

x−m

0

s



n

1. Liczymy pierwiastek z n (=PIERWIASTEK(POLE GDZIE JEST POPULACJA))
2. od wartości średniej odejmujemy liczbę m która jest przy  H

0

(=POLE GDZIE MAMY 

ŚREDNIA – 37,5)

3. punkt drugi dzielimy przez odchylenie standardowe (=POLE GDZIE MAMY 

OBLICZENIE PUNKTU NR 2 / POLE GDZIE JEST ODCHYLENIE)

4. Ułamek mnożymy przez pierwiastek (=POLE GDZIE MAMY OBLICZENIE Z 

PUNKTU NR 1 * POLE GDZIE JEST OBLICZENIE Z PUNKTU NR 3)

wynikiem jest -0,978
Na koniec musimy sprawdzić czy 

−

u





uu



, a więc czy 

−

1,960,9781,96

. Zgadza się 

ta nierówność wg mnie, czyli musimy napisać, że:

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wartość średnia badanej cechy nie różni  

się znacząco od 37,5.

Dziękuje to by było na tyle, manual został ukończony o godzinie 16:07. Teraz idę spać bo jakoś 
dziwnie senny się zrobiłem, a taśma na powiekach nie pomaga już. Powodzenia i milej nauki

Chciałbym podziękować osobom, które znalazły błędy w wersji 1.0 tegoż manuala. Mam nadzieję,  
że teraz ta wersja jest lepsza i bez błędów. Pozdrawiam.

By Perez

Strona 9 z 9