Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II, 30.XI.2004

1. Dane s

a dwa ci

agi (

X

n

), (

Y

n

) zmiennych losowych, przy czym dla ka˙zdego

n zmienna X

n

jest niezale˙zna od

Y

n

. Dla

n ≥ 1 zmienna X

n

ma rozklad

jednostajny na zbiorze [

−n, 0] ∪ [n, 2n

2

], a

Y

n

ma rozklad

P(Y

n

=

k

4

n

) =

1

2

n+1

, k = 1, 2, . . . , 2

n

, P(Y

n

=

−

1

n

) =

1
2

.

Udowodni´

c, ˙ze ci

ag

X

n

n

2

+

Y

n

jest zbie˙zny wedlug rozkladu i wyznaczy´

c rozklad

graniczny.

2. Rzucamy symetryczn

a kostk

a do gry i sumujemy wyniki z parzyst

a

liczb

a oczek a˙z do momentu gdy suma ta przekroczy 200. Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo tego, ˙ze b

edziemy rzuca´

c wi

ecej ni˙z 120 razy?

3. Dany jest ci

ag (

X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych o rozkladzie

P (X

n

=

±

1

n

) =

1

2

−

1

2n

,

P (X

n

= 0) =

1

n

,

n = 1, 2, . . .. Czy ten ci

ag spelnia

warunek Lindeberga?

4. Dany jest ci

ag (

X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych o tym samym

symetrycznym rozkladzie oraz zmienna

N o rozkladzie Poissona z parame-

trem 1, niezale˙zna od zmiennych (

X

n

). Okre´slmy

S =

N

k=1

X

k

, S = 0, gdy N = 0.

Udowodni´

c, ˙ze

S nie ma rozkladu wykladniczego.

5. Dany jest ci

ag (

X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych, przy czym

dla

n ≥ 1 zmienna X

n

ma rozklad jednostajny na odcinku [

−2n, 2n]. Roz-

strzygn

a´

c, czy ci

ag

X

1

+

X

2

+

. . . + X

n

√

n

jest zbie˙zny wedlug rozkladu, a je´sli tak, to wyznaczy´

c rozklad graniczny.

6. Dany jest ci

ag (

X

n

) niezale˙znych scentrowanych zmiennych losowych

o tym samym rozkladzie o sko´

nczonym drugim momencie. Udowodni´

c, ˙ze

je´sli

P (X

1

= 0)

< 1, to

lim

n→∞

P

|X

1

|

1 +

X

2

2

+

|X

2

|

1 +

X

2

3

+

. . . +

|X

n

|

1 +

X

2

n−1

≤ 100

= 0

.

7. Dane s

a dwa ci

agi (

X

n

), (

Y

n

) zmiennych losowych, przy czym dla

ka˙zdego

n ≥ 1 X

n

jest niezale˙zne od

Y

n

. Rozstrzygn

a´

c, czy z tego, ˙ze ci

ag

X

n

jest zbie˙zny wedlug rozkladu do

X oraz ci

ag

Y

n

zbiega prawie na pewno

do

Y , wynika, i˙z X

n

· Y

n

zbiega wedlug rozkladu do

X · Y .