99
WYKŁAD Nr 7
GRANICA FUNKCJI
CIĄGŁOŚĆ I RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
GRANICA FUNKCJI
Def.7.1. (otoczenie i sąsiedztwo punktu)
Otoczeniem
o promieniu
0
>
r
punktu
R
∈
0
x
nazywamy zbiór:
(
) (
)
r
x
r
x
r
x
U
+
−
=
0
0
0
,
,
Sąsiedztwem
o promieniu
0
>
r
punktu
R
∈
0
x
nazywamy zbiór:
(
) (
) (
)
r
x
x
x
r
x
r
x
S
+
∪
−
=
0
0
0
0
0
,
,
,
Sąsiedztwem
lewostronnym o promieniu
0
>
r
punktu
R
∈
0
x
nazywamy zbiór:
(
) (
)
0
0
0
,
,
x
r
x
r
x
S
−
=
−
Sąsiedztwem
prawostronnym o promieniu
0
>
r
punktu
R
∈
0
x
nazywamy zbiór:
(
) (
)
r
x
x
r
x
S
+
=
+
0
0
0
,
,
Uwaga:
(
) (
)
R
∈
∞
−
=
∞
−
b
b
S
,
,
;
(
) (
)
R
∈
+∞
=
∞
+
a
a
S
,
,
Def.7.2. (granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech
R
∈
0
x
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
( )
0
x
S
.
Liczba g jest granicę właściwą funkcji f w punkcie
0
x
( )
( )
( )
=
⇒
=
∈
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
→
g
x
f
x
x
x
S
x
x
g
x
f
n
n
n
n
n
n
x
x
lim
lim
,
)
(
lim
0
0
0
Rys.1. Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego
Przykład: Korzystając z definicji Heinego wykazać, że
2
1
3
lim
2
1
=
+
−
→
x
x
x
.
Rozwiązanie:
W naszym przykładzie
( )
2
1
,
3
2
=
+
=
g
x
x
x
f
.
100
Niech
( )
n
x
dowolny ciąg taki, że
( )
1
−
∈ S
x
n
(tzn.
1
−
≠
∈
∀
n
x
n
N
) oraz
1
lim
−
=
∞
→
n
n
x
.
Tworzymy ciąg wartości funkcji o wyrazie ogólnym:
( )
3
2
+
=
n
n
n
x
x
x
f
, a następnie obliczamy granicę:
( )
( )
2
1
3
1
1
3
lim
lim
3
lim
lim
2
2
2
=
+
−
−
=
+
=
+
=
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
f
.
Ostatecznie
2
1
3
lim
2
1
=
+
−
→
x
x
x
.
Jeżeli w szczególności ciąg wartości funkcji o wyrazie ogólnym:
( )
n
x
f
ma granicę niewłaściwą
∞
+
lub ∞
−
, mówimy, że funkcja
)
(x
f
ma w punkcie
0
x
granicę niewłaściwą i zapisujemy to
odpowiednio:
( )
( )
( )
+∞
=
⇒
=
∈
∀
⇔
+∞
=
∞
→
∞
→
→
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
S
x
x
x
f
lim
lim
,
)
(
lim
0
0
0
( )
( )
( )
−∞
=
⇒
=
∈
∀
⇔
−∞
=
∞
→
∞
→
→
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
S
x
x
x
f
lim
lim
,
)
(
lim
0
0
0
Rys.2. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie wg Heinego
Jeżeli w definicji granicy funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
(właściwej lub niewłaściwej) zastąpimy
sąsiedztwo
( )
0
x
S
sąsiedztwem prawostronnym
( )
0
x
S
+
, (lewostronnym
( )
0
x
S
−
), to otrzymamy
definicję granicy prawostronnej (lewostronnej) funkcji
)
(x
f
w punkcie
0
x
.
Def.7.3. (granice jednostronne funkcji)
Niech
R
∈
0
x
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
( )
0
x
S
+
.
Wówczas
( )
( )
( )
=
⇒
=
∈
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
+
→
+
g
x
f
x
x
x
S
x
x
g
x
f
n
n
n
n
n
n
x
x
lim
lim
,
)
(
lim
0
0
0
Niech
R
∈
0
x
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
( )
0
x
S
−
.
Wówczas
( )
( )
( )
=
⇒
=
∈
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
−
→
−
g
x
f
x
x
x
S
x
x
g
x
f
n
n
n
n
n
n
x
x
lim
lim
,
)
(
lim
0
0
0
101
Rys.3. Granica właściwa lewostronna funkcji w punkcie wg Heinego
Przykłady granic niewłaściwych funkcji w punkcie:
a)
+∞
=
=
+
+
−
→
0
4
)
2
(
4
lim
6
2
x
x
b)
{
}
−∞
=
=
+
→
+
0
ln
ln
lim
0
x
x
c)
+∞
=
=
−
→
−
2
tg
tg
lim
2
π
π
x
x
Tw.7.1. (warunek konieczny istnienia granicy funkcji w punkcie)
Funkcja
)
(x
f
ma w punkcie
0
x
granicę (właściwą lub niewłaściwą) ⇔
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
−
+
→
→
=
.
Przykład: Zbadać, czy istnieje granica funkcji
x
e
x
f
1
1
1
)
(
+
=
w punkcie
0
0
=
x
.
Rozwiązanie:
Obliczamy granice jednostronne:
0
1
1
1
1
1
1
1
lim
1
0
=
∞
+
=
∞
+
=
+
=
+
∞
+
→
+
e
e
x
x
,
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
lim
1
0
=
=
+
=
+
=
+
∞
−
→
−
e
e
x
x
Ponieważ
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
−
+
→
→
≠
, więc nie istnieje
x
x
e
1
0
1
1
lim
+
→
.
Def.7.4. (granica właściwa funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
(
)
∞
+
S
.
Wówczas granicę właściwą funkcji f w
∞
+
definiujemy następująco:
( )
(
)
( )
=
⇒
+∞
=
∞
+
∈
∀
⇔
=
∞
→
∞
→
+∞
→
g
x
f
x
S
x
x
g
x
f
n
n
n
n
n
n
x
lim
lim
,
)
(
lim
Analogicznie definiujemy granicę właściwą funkcji f w ∞
−
.
102
Rys.4. Granica właściwa funkcji w nieskończoności wg Heinego
Przykłady granic właściwych funkcji w nieskończoności:
a)
{
}
2
)
arctg(
arctg
lim
π
=
+∞
=
+∞
→
x
x
b)
4
1
0
4
0
0
1
3
4
4
2
1
lim
3
4
4
2
1
lim
3
4
4
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c)
(
)
[
]
=
−
+
+
=
−
+
+
+
−
+
=
∞
−
∞
=
−
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
6
lim
4
2
4
2
lim
4
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
6
4
1
2
1
6
lim
4
1
2
1
6
lim
4
1
2
1
6
lim
2
2
=
+
=
−
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Def.7.5. (granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
(
)
∞
+
S
.
Wówczas granicę niewłaściwą
∞
+
funkcji f w
∞
+
definiujemy następująco:
( )
(
)
( )
+∞
=
⇒
+∞
=
∞
+
∈
∀
⇔
+∞
=
∞
→
∞
→
+∞
→
n
n
n
n
n
n
x
x
f
x
S
x
x
x
f
lim
lim
,
)
(
lim
Analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą ∞
−
funkcji f w ∞
−
.
Rys.5. Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności wg Heinego
Przykłady granic niewłaściwych w nieskończoności:
a)
(
)
(
)
{
}
+∞
=
∞
+
=
+
+∞
→
ln
6
ln
lim
2
x
x
b)
(
)
{
}
−∞
=
∞
−
=
−
−∞
→
10
10
lim
5
x
x
c)
[ ]
+∞
=
=
=
∞
+
−∞
+
−∞
→
5
5
1
5
1
lim
9
2x
x
103
Uwaga: Oprócz definicji granicy funkcji według Heinego istnieje definicja według Cauchy’ego.
Wówczas przy tych samych założeniach co do funkcji f jak w poszczególnych definicjach wg Heinego
mamy:
•
(
)
(
)
[
]
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
⇔
=
→
g
x
f
x
x
x
S
x
g
x
f
x
x
)
(
)
(
0
0
)
(
lim
0
0
0
•
(
)
(
)
[
]
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
+
<
<
∈
∀
>
∃
>
∀
⇔
=
+
→
+
g
x
f
x
x
x
x
S
x
g
x
f
x
x
)
(
)
(
0
0
)
(
lim
0
0
0
0
•
(
)
(
)
[
]
ε
δ
δ
ε
<
−
⇒
<
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
⇔
=
−
→
−
g
x
f
x
x
x
x
S
x
g
x
f
x
x
)
(
)
(
0
0
)
(
lim
0
0
0
0
•
(
)
(
)
[
]
ε
δ
δ
ε
>
⇒
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
⇔
+∞
=
→
)
(
)
(
0
0
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
x
x
S
x
x
f
x
x
•
(
)
(
)
[
]
ε
δ
δ
ε
−
<
⇒
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
⇔
−∞
=
→
)
(
)
(
0
0
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
x
x
S
x
x
f
x
x
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
<
−
⇒
∆
>
+∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
=
+∞
→
g
x
f
x
S
x
g
x
f
x
)
(
)
(
0
)
(
lim
R
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
<
−
⇒
∆
<
−∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
=
−∞
→
g
x
f
x
S
x
g
x
f
x
)
(
)
(
0
)
(
lim
R
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
>
⇒
∆
>
+∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
+∞
=
+∞
→
)
(
)
(
0
)
(
lim
x
f
x
S
x
x
f
x
R
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
−
<
⇒
∆
>
+∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
−∞
=
+∞
→
)
(
)
(
0
)
(
lim
x
f
x
S
x
x
f
x
R
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
>
⇒
∆
<
−∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
+∞
=
−∞
→
)
(
)
(
0
)
(
lim
x
f
x
S
x
x
f
x
R
•
(
)
(
)
[
]
ε
ε
−
<
⇒
∆
<
−∞
∈
∀
∈
∆
∃
>
∀
⇔
−∞
=
−∞
→
)
(
)
(
0
)
(
lim
x
f
x
S
x
x
f
x
R
Poniższe rysunki przedstawiają interpretacje geometryczne niektórych granic funkcji wg Cauchy’ego.
a)
b)
c)
d)
e)
Rys.6. Granice funkcji wg definicji Cauchy’ego:
a) granica właściwa funkcji w punkcie, b) granica właściwa lewostronna funkcji w punkcie,
c) granica niewłaściwa funkcji w punkcie, d) granica właściwa w nieskończoności,
e) granica niewłaściwa w nieskończoności
104
Tw.7.2. (o działaniach arytmetycznych na granicach właściwych funkcji)
Jeżeli
q
x
g
p
x
f
x
x
x
x
=
=
→
→
)
(
lim
,
)
(
lim
0
0
to:
1.
(
)
q
p
x
g
x
f
x
x
±
=
±
→
)
(
)
(
lim
0
;
2.
q
p
x
g
x
f
x
x
⋅
=
⋅
→
)
(
)
(
lim
0
3.
p
x
f
x
x
⋅
α
=
⋅
α
→
)
(
lim
0
,
R
∈
α
(stała);
4.
( )
0
,
dla
0
)
(
,
)
(
)
(
lim
0
0
≠
∈
≠
=
→
q
x
S
x
x
g
q
p
x
g
x
f
x
x
GRANICE PODSTAWOWYCH WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH
1)
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
2)
1
tg
lim
0
=
→
x
x
x
3)
0
,
ln
1
lim
0
>
=
−
→
a
a
x
a
x
x
4)
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
5)
(
)
1
,
0
,
log
1
log
lim
0
≠
>
=
+
→
a
a
e
x
x
a
a
x
6)
(
)
1
1
ln
lim
0
=
+
→
x
x
x
7)
e
x
x
x
=
+
±∞
→
1
1
lim
8)
R
∈
=
+
±∞
→
a
e
x
a
a
x
x
,
1
lim
9)
e
x
x
x
=
+
→
1
0
)
1
(
lim
10)
(
)
R
∈
=
−
+
→
a
a
x
x
a
x
,
1
1
lim
0
11)
1
arcsin
lim
0
=
→
x
x
x
12)
1
arctg
lim
0
=
→
x
x
x
Tw.7.3. (o granicy funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1)
0
)
(
lim
0
y
x
f
x
x
=
→
;
2)
0
)
(
y
x
f
≠
dla każdego
( )
0
x
S
x ∈
,
3)
g
y
g
y
y
=
→
)
(
lim
0
to
[
]
g
x
f
g
x
x
=
→
)
(
lim
0
.
Przykład: Wykorzystując twierdzenie o granicy funkcji złożonej obliczyć:
a)
(
)
2
4
1
1
lim
−
→
x
x
b)
)
2
(
3
)
2
sin(
lim
2
+
+
−
→
x
x
x
.
Rozwiązanie:
a)
(
)
=
−
→
2
4
1
1
lim x
x
{wykonujemy podstawienie}
=
→
→
=
−
=
0
to
1
1
4
y
x
y
x
0
lim
2
0
=
→
y
y
105
b)
=
+
+
−
→
)
2
(
3
)
2
sin(
lim
2
x
x
x
{wykonujemy podstawienie}
3
1
1
3
1
sin
lim
3
1
0
to
2
2
0
=
⋅
=
=
→
−
→
=
+
=
→
t
t
t
x
t
x
t
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Def.7.6. (ciągłość funkcji w punkcie)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym otoczeniu punktu
R
∈
0
x
, tj.
( )
0
x
U
.
Funkcję
)
(x
f
nazywamy funkcją ciągłą w punkcie
0
x
, jeśli istnieje jej granica w tym punkcie oraz
zachodzi równość:
( )
0
)
(
lim
0
x
f
x
f
x
x
=
→
Tw.7.4. (o ciągłości sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie
0
x
, to:
1)
funkcje
)
(
)
(
),
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
−
+
są ciągłe w punkcie
0
x
2)
funkcja
)
(
)
(
x
g
x
f
⋅
jest ciągła w punkcie
0
x
3)
funkcja
)
(
)
(
x
g
x
f
jest ciągła w punkcie
0
x
, o ile
( )
0
0
≠
x
g
.
Def.7.7. (ciągłość lewostronna i prawostronna)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu
R
∈
0
x
, tj.
( )
0
x
U
−
.
Funkcję
)
(x
f
nazywamy funkcją lewostronnie ciągłą w punkcie
0
x
, jeśli istnieje granica lewostronna w
tym punkcie oraz zachodzi równość:
( )
0
)
(
lim
0
x
f
x
f
x
x
=
−
→
Niech funkcja f będzie określona na pewnym prawostronnym otoczeniu punktu
R
∈
0
x
, tj.
( )
0
x
U
+
.
Funkcję
)
(x
f
nazywamy funkcją prawostronnie ciągłą w punkcie
0
x
, jeśli istnieje granica
prawostronna w tym punkcie oraz zachodzi równość:
( )
0
)
(
lim
0
x
f
x
f
x
x
=
+
→
Def.7.8. (ciągłość funkcji na przedziale)
Funkcja
)
(x
f
jest funkcją ciągłą na przedziale
(
)
b
a
,
, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego
przedziału (tj. w każdym punkcie
)
,
(
0
b
a
x ∈
).
Uwaga: Powyższa definicja pozostaje prawdziwa dla przedziałów:
(
) (
) (
)
+∞
∞
−
+∞
∞
−
,
,
,
,
,
a
a
.
Funkcja
)
(x
f
jest funkcją ciągłą na przedziale
b
a
,
, jeżeli jest ciągła na przedziale
)
,
( b
a
oraz
prawostronnie ciągła w punkcie a i lewostronnie ciągła w punkcie b .
Tw.7.5. (warunek konieczny i dostateczny ciągłości funkcji)
Funkcja
)
(x
f
jest funkcją ciągłą w punkcie
0
x
, wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i
prawostronnie ciągła w punkcie
0
x
.
106
Tw.7.6. (o ciągłości funkcji elementarnych)
Funkcje elementarne są funkcjami ciągłymi na swoich dziedzinach.
Uwaga: Funkcję, która nie jest funkcją ciągłą w punkcie nazywamy funkcją nieciągłą w tym punkcie.
Natomiast punkt ten nazywamy punktem nieciągłości.
Def.7.9. (punkt nieciągłości I – go rodzaju)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym otoczeniu punktu
R
∈
0
x
, tj.
( )
0
x
U
.
Funkcja ma w punkcie
0
x
nieciągłość I – go rodzaju, jeżeli istnieją jednostronne granice właściwe
)
(
lim
0
x
f
x
x
+
→
,
)
(
lim
0
x
f
x
x
−
→
oraz
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
≠
−
→
lub
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
≠
+
→
.
Przy czym, jeśli zachodzi warunek:
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
+
−
→
→
≠
to mamy do czynienia z punktem nieciągłości I – go rodzaju typu ”skok”;
( )
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
≠
=
+
−
→
→
to mamy do czynienia z punktem nieciągłości I – go rodzaju typu
”luka”.
a)
b)
Rys.7. Punkty nieciągłości I – go rodzaju
a) punkt nieciągłości typu „skok”, b) punkt nieciągłości typu „luka”
Def.7.10. (punkt nieciągłości II – go rodzaju)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym otoczeniu punktu
( )
0
x
U
.
Funkcja ma w punkcie
0
x
nieciągłość II – go rodzaju, jeżeli przynajmniej jedna z granic jednostronnych
)
(
lim
0
x
f
x
x
+
→
,
)
(
lim
0
x
f
x
x
−
→
jest niewłaściwa lub nie istnieje.
a)
b)
Rys.8. Punkty nieciągłości II – go rodzaju
a) niewłaściwe granice jednostronne funkcji w punkcie, b) nie istnieje lewostronna granica funkcji
0
x
x
y
( )
0
x
f
( )
0
x
f
x
0
x
y
107
Przykład: Dana jest funkcja:
>
−
−
≤
<
+
≤
<
−
+
−
=
−
<
<
−
−
≤
−
=
2
3
3
2
2
2
3
0
2
1
log
0
2
1
2
1
2
7
2
3
5
3
2
)
(
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
. Zbadać ciągłość podanej funkcji
oraz określić rodzaj ewentualnych punktów nieciągłości.
Rozwiązanie:
Podana funkcja jest ciągła na zbiorze
−
−
2
3
,
0
,
2
,
3
\
R
na podstawie Tw.7.4 oraz Tw.7.6.
Badamy ciągłość w punktach, w których „zmienia” się wykres funkcji:
1)
3
0
−
=
x
{
}
5
5
lim
)
(
lim
5
)
3
(
2
)
2
(
lim
)
(
lim
3
3
3
3
=
=
=
−
−
=
−
=
+
+
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
x
x
x
x
x
f
x
x
f
czyli
)
(
lim
)
(
lim
3
3
x
f
x
f
x
x
+
−
−
→
−
→
=
więc istnieje
5
)
(
lim
3
=
−
→
x
f
x
5
)
3
(
2
)
3
(
=
−
−
=
−
f
Zatem
)
3
(
)
(
lim
3
−
=
−
→
f
x
f
x
, czyli funkcja jest ciągła w punkcie
3
0
−
=
x
.
2)
2
0
−
=
x
5
1
2
1
1
2
1
lim
)
(
lim
5
5
lim
)
(
lim
2
2
2
2
2
=
+
=
+
=
=
=
−
−
→
−
→
−
→
−
→
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
f
x
f
czyli
)
(
lim
)
(
lim
2
2
x
f
x
f
x
x
+
−
−
→
−
→
=
więc istnieje
5
)
(
lim
2
=
−
→
x
f
x
7
)
2
(
=
−
f
Zatem
)
2
(
)
(
lim
2
−
≠
−
→
f
x
f
x
, czyli w punkcie
2
0
−
=
x
funkcja ma punkt nieciągłości I – go rodzaju typu
„luka”.
3)
0
0
=
x
1
2
1
log
2
1
0
log
2
1
log
lim
)
(
lim
2
1
2
1
1
2
1
lim
)
(
lim
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
=
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
+
−
−
→
→
→
→
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
czyli
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
+
−
→
→
≠
więc nie istnieje
)
(
lim
0
x
f
x
→
108
2
1
2
1
)
0
(
0
=
+
=
f
Zatem w punkcie
0
0
=
x
funkcja ma punkt nieciągłości I – go rodzaju typu „skok”. Przy czym skok
funkcji w punkcie wynosi:
1
2
1
)
(
lim
)
(
lim
0
0
−
=
−
=
−
=
−
+
→
→
x
f
x
f
s
x
x
4)
2
3
0
=
x
−∞
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=
+
=
+
=
+
+
+
→
→
→
→
+
+
−
−
0
2
0
2
3
3
2
3
2
2
lim
)
(
lim
1
2
log
2
1
2
3
log
2
1
log
lim
)
(
lim
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
więc nie istnieje
)
(
lim
2
3
x
f
x→
1
2
1
2
3
log
3
3
2
1
−
=
+
=
f
Zatem w punkcie
2
3
0
=
x
funkcja ma punkt nieciągłości II – go rodzaju.
Ostatecznie podana funkcja jest ciągła na zbiorze
−
2
3
,
0
,
2
\
R
.
POCHODNA FUNKCJI
Def.7.11. (pochodna funkcji w punkcie)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym otoczeniu punktu
R
∈
0
x
, tj.
( )
0
x
U
.
Pochodną właściwą funkcji
w punkcie
0
x
, co oznaczamy
( )
0
x
f ′
, nazywamy granicę właściwą:
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
h
0
0
0
lim
−
+
→
czyli
( )
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
h
0
0
0
0
lim
−
+
=
′
→
.
Uwaga: Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie to mówimy, że jest różniczkowalna w tym punkcie.
Przykład: Na podstawie definicji obliczyć pochodną funkcji
2
2
)
(
x
x
f
=
w punkcie
0
x
.
Rozwiązanie:
Dziedzina tej funkcji to cały zbiór liczb rzeczywistych.
Dla
R
∈
0
x
mamy:
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
4
)
2
4
(
lim
)
2
4
(
lim
2
2
4
2
lim
2
2
lim
lim
x
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
x
h
x
h
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
h
h
h
=
+
=
=
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
+
=
′
→
→
→
→
→
109
W interpretacji geometrycznej pochodna funkcji w punkcie
0
x
jest równa tangensowi kąta między
styczną do wykresu funkcji w tym punkcie a dodatnią półosią OX, czyli
α
tg
)
(
0
=
′ x
f
.
Rys.9. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Def.7.12. (pochodne jednostronne funkcji w punkcie)
Niech funkcja f będzie określona na pewnym lewostronnym otoczeniu
( )
0
x
U
−
.
Pochodną właściwą lewostronną
funkcji f w punkcie
0
x
, co oznaczamy
( )
0
x
f
−
′
, nazywamy granicę
właściwą:
( )
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
h
0
0
0
0
lim
−
+
=
′
−
→
−
Niech funkcja f będzie określona na pewnym prawostronnym otoczeniu
( )
0
x
U
+
.
Pochodną właściwą prawostronną
funkcji f w punkcie
0
x
, co oznaczamy
( )
0
x
f
+
′
, nazywamy granicę
właściwą:
( )
(
)
( )
h
x
f
h
x
f
x
f
h
0
0
0
0
lim
−
+
=
′
+
→
+
Tw.7.7. (warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej funkcji w punkcie)
Funkcja f ma pochodną w punkcie
0
x
wtedy i tylko wtedy, gdy
( )
( )
0
0
x
f
x
f
+
−
′
=
′
.
Tw.7.8. (warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie)
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, co ilustruje poniższy przykład.
Przykład: Funkcja
x
x
f
=
)
(
jest funkcją ciągłą w punkcie
0
0
=
x
(patrz poniższy rysunek), ale nie jest
różniczkowalna w tym punkcie.
Ponieważ
<
−
≥
=
0
0
)
(
x
x
x
x
x
f
, więc wykres przedstawia się następująco:
Obliczamy pochodne jednostronne:
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
1
lim
0
lim
0
0
lim
0
1
lim
0
lim
0
0
lim
0
0
0
0
0
0
0
=
=
−
=
−
+
=
′
−
=
−
=
−
−
=
−
+
=
′
+
+
+
−
−
−
→
→
→
+
→
→
→
−
h
h
h
h
h
f
h
f
f
h
h
h
h
h
f
h
f
f
h
h
h
h
h
h
Ponieważ
( )
( )
0
0
+
−
′
≠
′
f
f
, zatem nie istnieje pochodna
( )
0
f ′
.
y
x
x
y =
110
Def.7.13. (pochodna funkcji na zbiorze)
Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodną właściwą w każdym
punkcie zbioru.
Tw.7.9. (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji)
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie
0
x
,
R
∈
c
jest pewną stałą, to:
1)
( )
( )
[
]
( )
( )
0
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
′
±
′
=
′
±
2)
( )
[
]
( )
0
0
x
f
c
x
f
c
′
⋅
=
′
⋅
3)
( ) ( )
[
]
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
4)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
,
0
0
2
0
0
0
0
0
0
≠
′
⋅
−
⋅
′
=
′
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
POCHODNE WAŻNIEJSZYCH FUNKCJI ELEMENTARNYCH
1.
( )
R
∈
=
′
C
C
,
0
, C – const.
2.
( )
0
,
,
1
>
∈
α
α
=
′
−
α
α
x
x
x
R
Pochodne funkcji trygonometrycznych
3.
(
)
R
∈
=
′
x
x
x
,
cos
sin
4.
(
)
R
∈
−
=
′
x
x
x
,
sin
cos
5.
(
)
Z
∈
+
≠
=
′
k
k
x
x
x
,
2
,
cos
1
tg
2
π
π
6.
(
)
Z
∈
≠
−
=
′
k
k
x
x
x
,
,
sin
1
ctg
2
π
Pochodna funkcji wykładniczej
7.
( )
1
,
0
,
,
ln
≠
>
∈
=
′
a
a
x
a
a
a
x
x
R
8.
( )
R
∈
=
′
x
e
e
x
x
,
Pochodna funkcji logarytmicznej
9.
(
)
0
,
0
,
1
,
ln
1
log
>
>
≠
=
′
x
a
a
a
x
x
a
10.
(
)
0
,
1
ln
>
=
′
x
x
x
Pochodne funkcji cyklometrycznych
11.
(
)
1
,
1
1
arcsin
2
<
−
=
′
x
x
x
12.
(
)
1
,
1
1
arccos
2
<
−
−
=
′
x
x
x
13.
(
)
R
∈
+
=
′
x
x
x
,
1
1
arctg
2
14.
(
)
R
∈
+
−
=
′
x
x
x
,
1
1
arcctg
2
Pochodne funkcji hiperbolicznych
15.
(
)
R
∈
=
′
x
x
x
,
ch
sh
16.
(
)
R
∈
=
′
x
x
x
,
sh
ch
17.
(
)
R
∈
=
′
x
x
x
,
ch
1
th
2
18.
(
)
0
,
sh
1
cth
2
≠
−
=
′
x
x
x
111
Tw.7.10. (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie
0
x
, funkcja g ma pochodną w punkcie
( )
0
x
f
, to
( )
(
)
[
]
( )
(
)
( )
0
0
0
x
g
x
g
f
x
g
f
′
⋅
′
=
′
Przykład: Obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
R
∈
=
0
2
sin
)
(
x
x
x
h
Ponieważ
(
)
2
sin
)
(
x
x
h
=
, więc funkcją zewnętrzną jest funkcja kwadratowa
( )
(
)
[
]
2
)
(x
g
x
g
f
=
, natomiast
x
x
g
sin
)
( =
jest funkcją wewnętrzną.
Zatem
(
)
[
]
0
0
0
0
0
2
0
0
2
sin
cos
sin
2
)
(sin
sin
2
sin
)
(
x
x
x
x
x
x
x
h
=
=
′
⋅
=
′
=
′
b)
(
)
+∞
∈
=
,
0
)
(
0
cos
x
e
x
h
x
Mamy tutaj do czynienia z funkcją trzykrotnie złożoną: funkcją zewnętrzną jest funkcja eksponent,
następnie funkcją wewnętrzną – cosinus, a na końcu funkcja pierwiastkowa.
Obliczamy pochodną:
(
)
(
)
(
) (
)
0
cos
0
0
0
cos
0
cos
cos
0
2
1
sin
sin
cos
)
(
0
0
0
0
x
e
x
x
x
e
x
e
e
x
h
x
x
x
x
⋅
⋅
−
=
′
⋅
−
⋅
=
′
⋅
=
′
=
′
c)
4
2
2
1
1
)
(
+
−
=
x
x
x
h
,
R
∈
x
Wówczas
(
) (
) (
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
4
2
2
1
1
16
1
16
1
1
1
4
1
1
4
1
2
1
1
2
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
4
1
1
)
(
+
−
=
=
+
⋅
+
−
=
+
⋅
+
−
⋅
=
+
⋅
−
−
+
⋅
⋅
+
−
⋅
=
=
+
′
+
⋅
−
−
+
⋅
′
−
⋅
+
−
⋅
=
′
+
−
⋅
+
−
⋅
=
′
+
−
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h
Def.7.14. (pochodna właściwa n – tego rzędu funkcji)
Pochodną właściwą n – tego rzędu
funkcji f w punkcie
0
x
definiujemy następująco:
( )
( )
[
]
′
=
−
0
)
1
(
0
)
(
x
f
x
f
n
n
dla
2
≥
n
przy czym
( )
( )
0
0
)
1
(
x
f
x
f
′
=
;
( )
( )
0
0
)
0
(
x
f
x
f
=
Zatem np.
( )
( )
[
]
′
′
=
′′
0
0
x
f
x
f
;
( )
( )
[
]
′
′′
=
′′
′
0
0
x
f
x
f
; itd.
112
Przykład: Obliczyć y ′′′ , jeśli
x
x
y
ln
=
.
0
>
x
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodną pierwszego rzędu korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu:
(
)
(
)
1
ln
1
ln
1
ln
ln
ln
+
=
⋅
+
⋅
=
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Obliczamy pochodną drugiego rzędu:
( )
(
)
(
)
x
x
x
y
y
1
ln
0
ln
1
=
′
+
=
′
+
=
′
′
=
′′
Obliczamy pochodną trzeciego rzędu:
( )
2
1
1
x
x
y
y
−
=
′
=
′
′′
=
′′
′
Def.7.15. (różniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie
0
x
. Różniczką funkcji f w punkcie
0
x
ze względu na przyrost h
(
0
x
x
h
−
=
) nazywamy iloczyn
( )
h
x
f
⋅
′
0
i oznaczamy
( )
0
x
df
, tzn.:
( )
( )
h
x
f
x
df
⋅
′
=
0
0
Przykład: Różniczka funkcji
3
)
(
x
x
f
=
w punkcie
R
∈
x
dla przyrostu h zmiennej niezależnej wynosi:
h
x
dx
x
df
2
3
3
)
(
=
=
.
Natomiast dla funkcji
x
x
f
=
)
(
mamy
h
dx
x
df
=
=
)
(
, czyli różniczka zmiennej niezależnej jest równa
przyrostowi tej zmiennej.
Stąd otrzymujemy:
dx
x
f
x
df
)
(
)
(
′
=
, więc
dx
x
df
x
f
)
(
)
(
=
′
.
Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie
0
x
, to
h
x
f
x
f
h
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
′
+
≈
+
Przykład: Obliczyć przybliżoną wartość:
02
,
1
ln
.
Rozwiązanie:
x
x
f
ln
)
(
=
,
02
,
1
0
=
+ h
x
czyli
02
,
0
,
1
0
=
=
=
dx
h
x
.
Obliczamy
( )
0
1
ln
)
1
(
0
=
=
= f
x
f
oraz
( )
0
0
1
x
x
f
=
′
, czyli
( )
1
1 =
′
f
.
Zatem
02
,
0
1
0
02
,
1
ln
⋅
+
≈
, stąd
02
,
0
02
,
1
ln
≈
RÓWNANIE STYCZNEJ I NORMALNEJ
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(
)
)
(
,
0
0
0
x
f
x
P
ma postać:
)
)(
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
−
′
=
−
.
Równanie normalnej do wykresu funkcji f w punkcie
(
)
)
(
,
0
0
0
x
f
x
P
ma postać:
)
(
)
(
1
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
−
′
−
=
−
, gdzie
0
)
(
0
≠
′ x
f
.