I. ARYTMETYKA W MASZYNIE KOMPUTEROWEJ 

 

Zadanie 1.1. Przedstaw komputerową reprezentację liczb rzeczywistych. 
Wartość  liczby  zmiennopozycyjnej  określa  się  ze  wzoru  L=zmp^c,  gdzie  m-mantysa,  p-
podstawa,  c-cecha,  z-znak.  W  systemie  dwójkowym  podstawa  p  zawsze  jest  równa  2  zatem 
wzór  redukuje  się  do  postaci  L=zm2^c.  MoŜna  stwierdzić  iŜ  liczba  zmiennoprzecinkowa 
reprezentowana  jest  za  pomocą  dwóch  grup  bitów.  Wyznacza  się  określony  zakres  na 
mantysę oraz cechę, zatem liczba jest określona z pewną dokładnością i moŜe występować w 
określonym zakresie. JeŜeli mantysa jest stała a wykładnik się zmienia to wtedy przesuwa się 
przecinek.  W  maszynie  istnieje  najmniejsza  liczba,  która  jest  reprezentowana  dokładnie. 
Nazywa się ona epsilon maszynowy. 
Wzór na reprezentację liczb: 

Zakres liczbowy: 2(

β

-1)

β

t-1

(U-L+1)+1 

 
Zadanie 1.2. Opisz własności numeryczne operacji zmiennopozycyjnych. 
Arytmetyka  zmiennoprzecinkowa  nie  jest  łączna,  (x+y)+z  !=  (y+z)+x.  Kolejność 
wykonywanych 

operacji 

ma 

wpływ 

na 

wynik 

końcowy. 

Przy 

operacjach 

zmiennoprzecinkowych  występują  takie  problemy  jak:  zaokrąglenie,  przepełnienie, 
nieprawidłowe  operacje.  JeŜeli  liczby  mają  dwa  róŜne  wykładniki  to  podczas  odejmowania 
jedna z mantys musi zostać zdenormalizowana. KaŜda operacja zmiennopozycyjna opatrzona 
jest  błędem.  Dodawanie  i  odejmowanie:  (M1  +-  M2*B^(e1-e2))*B^e1,  mnoŜenie 
(M1*M2)*B^(e1+e2), dzielenie: (M1/M2)*B^(e1-e2). 
Główne cechy: 

1)

 

operacje zmiennopozycyjne: x,y

∈

F, x+y?

∈

F – raczej rzadko 

2)

 

maszynowe + i * nie są łączne i rozdzielne, są przemienne. 

3)

 

maszynowe 

ε

 - najmniejsza liczba zmiennoprzecinkowa, dla której jeszcze 

1+

ε

>1. 

 
Zadanie  1.3.  Podaj  definicję  i  objaśnij  na  przykładzie  pojęcia:  zadanie,  algorytm, 
realizacja zmiennoprzecinkowa algorytmu. 
Zadanie  –  jest  to  problem  polegający  na  wyznaczeniu  wektora  wyników  na  podstawie 
danych.  Mówimy,  Ŝe  zdanie  jest  dobrze  postawione  jeŜeli  wektor  jest  jednoznacznie 
określony dla przyjętego wektora danych. Np. obliczyć całkę z funkcji x^99. 
Algorytm – określenie ciągu działań, które trzeba wykonać nad wektorem danych i wynikami 
poprzednich  działań.  Liczba  działań  powinna  być  skończona.  Lub  teŜ  specyfikacja  ciągu 
elementarnych operacji, które zamieniają nasze dane wejściowe na oczekiwane wyniki. 
Realizacja  zmiennoprzecinkowa  algorytmu  –  zastąpienie  symboli  matematycznych 
odpowiednią  arytmetyką  komputerową.  Komputer  nie  jest  w  stanie  zinterpretować  symbolu 
całki  zatem  trzeba  przedstawić  go  w  formie  np.  dodawania  z  mnoŜeniem  (metoda 
prostokątów). 
 
Zadanie  1.4.  Podaj  definicję  i  objaśnij  na  przykładzie:  uwarunkowanie  zadania, 
poprawność numeryczna algorytmu, stabilność numeryczna algorytmu. 
Uwarunkowanie  zadania  –  czułość  na  zaburzenia  danych.  Charakteryzuje  go  równieŜ  tzw. 
wskaźnik  uwarunkowania,  który  charakteryzuje  wpływ  zaburzeń  danych  za  zaburzenie  jego 
rozwiązania. 

}

e

t

i

i

i

cecha

e

mantysa

t

t

d

d

d

d

x

β

β

β

β

β

β

⋅

±

=

⋅













+

+

+

±

=

∑

1

/

2

2

1

...

4

4

4

3

4

4

4

2

1

Poprawność  numeryczna  algorytmu  –  Alg.  num  popr.  ogranicza  zaburzenie  danych  oraz 
błędów reprezentacji. Jest to taki algorytm, który daje rozwiązania będące nieco zaburzonym 
dokładnym rozwiązaniem o nieco zaburzonych danych. Jest to algorytm najwyŜszej jakości. . 
Przykładem macierzy bardzo źle uwarunkowanej jest macierz Hilberta. H=[1/(i+j-1)]^n, ij=1. 
Poprawność: lepsza arytmetyka, uŜycie zadania równowaŜnego, Wilkinson (x-1)(x-2)..(x-20) 
Stabilność  numeryczna  algorytmu  –  algorytm  jest  numerycznie  stabilny  wtedy,  gdy 
zwiększając  dokładność  obliczeń  moŜna  wyznaczyć  z  dowolną  dokładnością  dowolne 
istniejące rozwiązanie zadania. Algorytm powinien być stabilny dla kaŜdej dostatecznie silnej 
arytmetyki. Np. licząc e^-5.5 lepiej zamienić dane wejściowe na postać 1/e^5.5 , gdyŜ wtedy 
błąd jest rzędu 0.007%. 
 
Zadanie 1.5 Przeprowadź porównanie: interpolacja lagrange`a i hermeita. 
Interpolacja  jest  procesem  odwrotnym  do  tablicowania  funkcji.  Polega  na  wyznaczeniu 
wielomianu, który przybliŜa funkcję na podstawie tzw. węzłów. Interpolacja Lagrange`a: 

a)

 

dla  pierwszego  węzła  f(x0)  znajduje  się  wielomian  który  w  tym  punkcie  przyjmuje 
wartość f(x0) a w pozostałych 0 

b)

 

Dla kolejnego węzła znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość 
f(xk)  a  w  pozostałych  0.  Wynik  tego  wielomianu  dodaje  się  do  wielomianu 
poprzedniego. 

c)

 

Wielomian  będący  sumą  wielomianów  obliczonych  dla  poszczególnych  węzłów  jest 
wielomianem interpolacyjnym 

Wzór: 

∑

=

−

n

j

j

n

j

n

x

x

x

x

yi

0

)

`(

)

(

)

(

ω

ω

 

Interpolacja Harmeit`a: 
Interpolacja  ta  pozwala  na  znalezienie  dla  danej  funkcji  f  (oraz  danych  wartości  liczbowych 
f

(j)

) wielomianu H

n

 stopnia <= n, takiego, Ŝe H

n

(j)

(x

i

) = f

(j)

(x

i

) dla i = 0, 1, ..., k; j = 0, 1, ..., m

i

-

1.  Czyli  jest  ona  stosowana  jeŜeli  oprócz  węzłów  interpolacji  znane  są  takŜe  wartości 
pochodnych  oraz  zachodzi  potrzeba  zarówno  interpolacji  funkcji  jak  i  jej  pochodnych.  W 
szczególnym  przypadku  jeśli  nie  ma  danych  pochodnych  funkcji  wzór  interpolacyjny 
Hermite’a jest równowaŜny wzorowi interpolacyjnemu Lagrang’e. MoŜna zatem powiedzieć, 
Ŝ

e interpolacja Lagrange’a jest szczególnym przypadkiem interpolacji Hermite’a.  

 
Zadanie 1.6 Objaśnij efekt Rungego – na czym polega i jakie są jego przyczyny 
Błąd  interpolacji  –  pogorszenie  wyników  interpolacji  mimo  zwiększania  ilości  węzłów. 
Początkowo  ze  wzrostem  liczby  węzłów  n  przybliŜenie  poprawia  się,  jednak  po  dalszym 
wzroście  n  zaczyna  się  pogarszać  zwłaszcza  na  końcach  przedziałów.  Takie  zachowanie  się 
wielomianu interpolującego  (najczęściej mowa tu o wielomianie  Lagrangea) jest zjawiskiem 
typowym  dla  interpolacji  za  pomocą  wielomianów  wysokich  stopni  przy  stałych 
odległościach  węzłów,  jest  to  najczęściej  przykład    źle  uwarunkowanego  zadania.  Efekt 
Rungego  moŜe  zostać  zminimalizowany  poprzez  optymalny  dobór  węzłów  interpolacji. 
Jednym z rozwiązań jest posłuŜenie się wielomianami Czebyszewa. 
 
Zadanie  1.7  Podaj  definicję  funkcji  sklejanych,  objaśnij  ją,  wyjaśnij  kiedy  i  funkcje 
sklejane dlaczego są uŜyteczne 
Funkcja  S(x)  jest  funkcją  sklejaną  stopnia  m  jeśli  wraz  z  węzłami  a=  x0  <x1<x2…<xn=b 
spełnia dwa warunki: 

1)

 

w 

kaŜdym 

przedziale 

(xi,xi+1) 

i=-1,0,1…n 

gdzie 

x

-1

=-nieskończoność, 

x

n+1

=+nieskończoność S(x) jest wielomianem stopnia co najwyŜej m 

2)

 

jest klasy C 

m-1

 na całej osi rzeczywistej. 

W najprostszym przypadku m=1 funkcja sklejana jest po prostu linią łamaną. W obliczeniach 
maszynowych  są  one  niezwykle  uŜyteczne,  gdyŜ  wartości  tych  funkcji  są  łatwe  do 
wyznaczenia oraz są one zbieŜne dla licznych klas funkcji. Są najbardziej uŜyteczne gdy: w 
przypadku wielomianowych metod interpolacji moŜe się zdarzyć Ŝe charakter interpolowanej 
funkcji uniemoŜliwia dobre odwzorowanie za pomocą wielomianu interpolującego. Zamiast 
stosować  wielomianów  duŜego  stopnia  lepiej  stosować  spline’y,  dzięki  którym  interpolacja 
jest  bezpieczniejsza,  metoda  ta  jest  szczególnie  przydatna  dla  węzłów  równoodległych, 
funkcji  sklejanej  moŜna  uŜywać  do  określania  n-tych  pochodnych  oraz  obliczania  całek. 
Stosowane są takŜe do wygładzania powierzchni. 
 
Zadanie 1.8 Porównaj interpolację wielomianową i funkcjami sklejanymi 
Interpolacja wielomianowa = interpolacji Lagrangea (opisana w 1.5j). 
Interpolacja  funkcjami  sklejanymi:  Szczególnie  popularnym  rodzajem  interpolacji  jest 
interpolacja  funkcjami  sklejanymi.  Główną  cechą  wyróŜniającą  ten  rodzaj  interpolacji,  jest 
podział  przedziału  na  którym  znajdują  się  węzły,  na  mniejsze  podprzedziały,  a  następnie 
uŜycie  na  kaŜdym  z  nich  wielomianu  interpolacyjnego  odpowiednio  niskiego  stopnia. 
Wyznaczenie  sklejanej  funkcji  interpolującej  nie  sprawia  problemu  (takŜe,  gdy  węzłów  jest 
bardzo duŜo), tak jak późniejsze obliczanie jej wartości, co na pewno wpłynęło znacząco na 
jej popularność. Gdy odstępy między węzłami wynoszą h, to moduł błędu metody jest rzędu 
O(h

4

).  Zalety  sklejanych  :     -   Są  zbieŜne  dla  wielu  róŜnych  klas  funkcji 

   -   Łatwo się je wyznacza, zalety lagrangea: przydatny w obliczeniach ręcznych 
 
Zadanie  1.9  Omów  warunki  brzegowe  stosowane  przy  wyznaczaniu  sześciennych 
funkcji sklejanych: 
Niech f(x)

∈

C([a,b]). Funkcję s(x)

∈

S

3

(

∆

n

) nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia 

trzeciego dla funkcji f(x), jeŜeli s(x

i

) = f(x

i

) = y

i

, i = 0, 1, ..., n; n>=2. Jak wiadomo, funkcja 

s(x) stopnia trzeciego zaleŜy od (n+3) parametrów. Tak więc interpolacyjne funkcje sklejane 
stopnia trzeciego mają dwa stopnie swobody, wobec czego nakłada się na nie dwa dodatkowe 
warunki. Wybór tych warunków zaleŜy zarówno od własności funkcji f(x), jak i od posiadanej 
informacji o tej funkcji. Najczęściej rozpatruje się następujące warunki: s’(a+0)=

α

1

 i s’(b-

0)=

β

1

 lub s’’(a+0)=

α

2

 i s’’(b-0)=

β

2

, gdzie 

α

1

, 

α

2

, 

β

1

, 

β

2

 są ustalonymi liczbami 

rzeczywistymi. JeŜeli funkcja f(x) ma pochodne w punktach a, b i są one znane, to moŜna je 
przyjąć jako liczby 

α

1

, 

α

2

, 

β

1

, 

β

2

. Na funkcję s(x) moŜna nakładać inne warunki. Na przykład, 

jeŜeli f(x) jest funkcją okresową, o okresie (b-a), to najczęściej Ŝąda się, aby funkcję sklejaną 
s(x) moŜna było przedłuŜyć na przedział (-

∞

; +

∞

) w taki sposób, Ŝe będzie ona funkcją 

okresową o okresie (b-a), róŜniczkowalną w sposób ciągły. W takiej sytuacji na funkcję 
sklejaną nakłada się warunki: s

(i)

=(a+0) = s

(i)

(b-0), i = 1, 2.  Inne sposoby: 

•

 

C

1

(x) – funkcja sześcienna przez pierwsze 4 punkty oraz C

n

(x) – 

funkcja sześcienna przez ostatnie 4 punkty co umoŜliwia: s

’’’

(x

1

) = C

1

’’’

, 

s

’’’

(x

n

) = C

n

’’’

, 

•

 

natural cubic spline: s

’’

(x

1

) = s

’’

(x

2

) = 0 (free boundary) 

•

 

complete spline: s’(x

1

) = y

1

’; s’(x

n

) = y

n

’ (clamped boundary) 

•

 

s’’(x

1

) = y

1

’’; s’’(x

n

) = y

n

’’ 

•

 

s’’’(x) ciągła od x

2

 do x

n-1

 (not-a-knot condition) 

 
 
 
 

KWWSQRWDWHNSOPHWRG\REOLF]HQLRZHLV\PXODFMDGULQ]PDU

LDQEXEDNS\WDQLDQDHJ]DPLQLRGSRZLHG]L"QRWDWND