1
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
ustalone przewodzenie
ustalone przewodzenie
ciep
ciep
ł
ł
a, rozwi
a, rozwi
ą
ą
zania analityczne
zania analityczne
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Redukcja wymiarowo
Redukcja wymiarowo
ś
ś
ci zagadnienia przewodzenia ciep
ci zagadnienia przewodzenia ciep
ł
ł
a
a
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku dominuje
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku dominuje
nad przep
nad przep
ł
ł
ywem energii w innych kierunkach. Pozwala to
ywem energii w innych kierunkach. Pozwala to
zredukowa
zredukowa
ć
ć
wymiar geometryczny zagadnienia, przez pomini
wymiar geometryczny zagadnienia, przez pomini
ę
ę
cie
cie
sk
sk
ł
ł
adnika strumienia ciep
adnika strumienia ciep
ł
ł
a w nieistotnych kierunkach.
a w nieistotnych kierunkach.
Najcz
Najcz
ęś
ęś
ciej uproszcze
ciej uproszcze
ń
ń
takich mo
takich mo
Ŝ
Ŝ
na dokona
na dokona
ć
ć
w obszarach o
w obszarach o
kszta
kszta
ł
ł
tach wyd
tach wyd
ł
ł
u
u
Ŝ
Ŝ
onych w jednym lub kierunkach. Zadanie
onych w jednym lub kierunkach. Zadanie
tr
tr
ó
ó
jwymiarowe sprowadza si
jwymiarowe sprowadza si
ę
ę
wtedy odpowiednio do dwu lub
wtedy odpowiednio do dwu lub
jednowymiarowego.
jednowymiarowego.
Aby zastosowa
Aby zastosowa
ć
ć
takie uproszczenie, warunki brzegowe wzd
takie uproszczenie, warunki brzegowe wzd
ł
ł
u
u
Ŝ
Ŝ
kierunk
kierunk
ó
ó
w wyd
w wyd
ł
ł
u
u
Ŝ
Ŝ
onych musz
onych musz
ą
ą
by
by
ć
ć
sta
sta
ł
ł
e. Zadania ch
e. Zadania ch
ę
ę
tnie
tnie
upraszcza si
upraszcza si
ę
ę
do 1D, bowiem dla takich przypadk
do 1D, bowiem dla takich przypadk
ó
ó
w znane s
w znane s
ą
ą
proste
proste
rozwi
rozwi
ą
ą
zania analityczne.
zania analityczne.
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
2
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
(
)
r
q
T
T
∞
= α
−
(
)
l
q
T
T
∞
= α
−
b
T
T
=
u
q
q
=
izolacja
0
q
=
izolacja
0
q
=
przykład zadania dwuwymiarowego
pole temperatury w ka
Ŝ
dym przekroju
x y
jest
identyczne (nie zale
Ŝ
y od
z
).
z
y
x
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
b
T
T
=
u
q
q
=
izolacja
0
q
=
izolacja
0
q
=
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłu
Ŝ
ka
Ŝ
dej linii równoległej do osi
y
jest
identyczne (nie zale
Ŝ
y ani od
z
ani od
x
).
z
y
izolacja
0
q
=
izolacja
0
q
=
x
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
3
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
(
)
e
e
q
T
T
∞
= α
−
(
)
i
i
q
T
T
∞
= α
−
izolacja
0
q
=
izolacja
z
r
φ
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłu
Ŝ
ka
Ŝ
dego promienia
r
jest
identyczne (nie zale
Ŝ
y ani od
z
ani od k
ą
ta
φ
).
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
ś
ci
ś
le rzecz bior
ą
c, redukcja zadania 3D do 2D
wymaga aby na powierzchniach prostopadłych do
wynikowego pola 2D, panowały warunki adiabatyczne.
W praktyce, je
ś
li warunki w tych przekrojach nie ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
znacznie, zadanie mo
Ŝ
na i tak traktowa
ć
jak 2 wymiarowe,
bowiem zakłócenia pola 2D koncentruj
ą
si
ę
tylko w okolicach
tych powierzchni.
Podobnie rzecz si
ę
ma przy redukcji zada
ń
2D do 1D.
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
4
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
2
50(
300)
/
q
T
W m
=
−
2
1200 /
q
W m
=
400
T
K
=
2
50(
300)
/
q
T
W m
=
−
warunki brzegowe na czołowych (kwadratowych)
powierzchniach zmieniaj
ą
si
ę
od izolacji do
intensywnej wymiany konwekcyjnej
przykład redukcji wymiarowo
ś
ci zagadnienia
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe zaizolowane. Zadanie 2D
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
5
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe słabo wymieniaj
ą
ce ciepło przez
konwekcj
ę
αααα
=20 W/m
2
K temperatura płynu 300K.
Wpływ wnikania z tych powierzchni ogranicza si
ę
do
bardzo małego obszaru w ich s
ą
siedztwie
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe wymieniaj
ą
ce ciepło przez konwekcj
ę
ze
ś
redni
ą
intensywno
ś
ci
ą
αααα
=50 W/m
2
K temperatura płynu 300K.
Wpływ wnikania z tych powierzchni nadal w niewielkim obszarze
w s
ą
siedztwie powierzchni czołowych
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
6
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
powierzchnie czołowe wymieniaj
ą
ce ciepło przez konwekcj
ę
z du
Ŝą
intensywno
ś
ci
ą
αααα
=100 W/m
2
K,temperatura płynu 300K.
Wpływ wnikania z tych powierzchni jest jeszcze wi
ę
kszy ni
Ŝ
poprzednio. W
ś
rodku obszaru pole jest nadal dwuwymiarowe
redukcja wymiarowo
redukcja wymiarowo
ś
ś
ci
ci
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
Ustalone zadania jednowymiarowe
Ustalone zadania jednowymiarowe
P
P
ł
ł
aska niesko
aska niesko
ń
ń
czona p
czona p
ł
ł
yta
yta
wektor strumienia ciepła
normalny do powierzchni
q=q
x
y
z
q
q
x
obiekt 3D
obiekt 3D
model 1D
model 1D
2
2
2
2
2
2
0
v
T
T
T
q
x
y
z
∂
∂
∂
λ
+
+
+ =
∂
∂
∂
2
2
0
v
d T
q
dx
λ
+ =
q=q
x=0
x=
δ
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
7
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
2
2
0
d T
dx
=
Sta
Sta
ł
ł
y wsp
y wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik przewodzenia ciep
czynnik przewodzenia ciep
ł
ł
a.
a.
P
P
ł
ł
aska niesko
aska niesko
ń
ń
czona p
czona p
ł
ł
yta, pole bez
yta, pole bez
ź
ź
r
r
ó
ó
d
d
ł
ł
owe
owe
pole bez
ź
ródłowe
0
v
q
=
rozwi
ą
zanie (całka ogólna)
1
2
( )
T x
C x C
=
+
stałe
C
1
i
C
2
wyznacza si
ę
z warunków brzegowych
x
R
R
dT
dT
q
d
dx
= −λ
= −λ
n
R
n
L
n
L
L
dT
dT
q
d
dx
= −λ
= +λ
n
strumienie na skrajnych powierzchniach maja przeciwne znaki.
W praktyce u
Ŝ
ywa si
ę
jednego ze strumieni (zwykle dodatniego)
0
0
x
x
q
q
=δ
=
+
=
notka o kierunku strumienia ciepła
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
(0)
( )
L
R
T
T
T
T
=
δ =
znane obie temperatury skrajne
R
L
L
T
T
T
x T
−
=
+
δ
( )
L
R
T
T
dT
q x
dx
−
= −λ
= λ
δ
x
0
δ
L
T
R
T
rozwi
ą
zanie
x
0
δ
T
R
T
L
T
1
2
R
L
L
T
T
C
C
T
−
=
δ
=
1
2
T
C x C
=
+
przebieg temperatury
λ
A
L
R
T
T
dT
Q
qA
A
A
dx
−
=
= − λ
= λ
δ
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
8
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
( )
L
x
R
dT
q
dx
T
T
=
λ
=
δ =
znana temperatura i strumie
ń
ciepła
(
)
L
R
q
T
T
x
=
−
δ −
λ
( )
L
dT
q x
q
dx
= −λ
= −
x
0
δ
L
q
R
T
x
0
δ
T
R
T
1
2
L
L
R
q
C
q
C
T
=
λ
=
−
δ
λ
1
2
T
C x C
=
+
rozwi
ą
zanie
λ
przebieg temperatury
A
L
dT
Q
qA
A
q A
dx
=
= −λ
= −
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
0
(
)
(
)
L
fL
x
R
fR
x
dT
T
T
dx
dT
T
T
dx
=
=δ
+ λ
= α
−
−λ
= α
−
konwekcyjna wymiana ciepła na obu powierzchniach
x
0
δ
,
L
fL
T
α
x
0
δ
,
R
fR
T
α
1
2
1
1
1
1
(
)
1
1
fR
fL
L
R
fR
fL
R
L
L
R
T
T
C
T
T
C
−
=
δ
λ
+ +
α
λ α
δ +
+
λ α
α
=
δ
+ +
α
λ α
1
1
1
1
1
fR
fL
fL
fR
R
L
L
R
T
T
T
x
T
T
−
δ
=
+
+
+
δ
λ
α
λ
α
+ +
α λ α
1
1
fL
fR
L
R
T
T
dT
q
dx
−
= −λ
=
δ
+ +
α
λ α
λ
1
2
T
C x C
=
+
rozwi
ą
zanie
T
fL
T
fR
T
płyn
ciepły
płyn
chłodny
przebieg temperatury
A
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
9
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 1
znany strumie
ń
ciepła i temperatura na brzegu. Idealny styk warstw
L
T
R
q
1
x
2
x
1
1 1
2
T
C x
C
=
+
2
3 2
4
T
C x
C
=
+
1
λ
2
λ
1
δ
2
δ
0
0
2
2
1
1
2
2
2
(
0)
L
R
x
T x
T
dT
q
dx
=δ
= =
−λ
=
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
0
(
)
(
0)
x
x
T x
T x
dT
dT
dx
dx
=δ
=
= δ =
=
−λ
= −λ
rozwi
ą
zanie w ka
Ŝ
dej z warstw
nieznane stałe wyznacza si
ę
z warunków brzegowych
brzegi
zewn
ę
trzne
styk
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 2
podej
ś
cie uniwersalne, wymaga do
ść Ŝ
mudnych rachunków
1
1
1
2
3
4
1
2
2
;
;
;
R
R
L
R
L
q
q
T
q
C
C
T C
C
λ
− δ
=
=
= −
=
λ
λ
λ
mo
Ŝ
e by
ć
stosowane do zada
ń
o
• dowolnej liczbie warstw,
• dowolnych liniowych warunków brzegowych
• zale
Ŝ
nych od współrz
ę
dnej
ź
ródeł ciepła
lub
•zale
Ŝ
nych od temperatury współczynnikach przewodzenia ciepła
1
1
1
1
2
2
1
2
1
;
R
R
L
R
L
q
q
T
q
T
x
T
T
x
λ
− δ
=
+
= −
+
λ
λ
λ
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
10
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
płyta dwuwarstwowa 3
L
T
1
λ
2
λ
L
T
1
λ
2
λ
1
2
λ < λ
1
2
λ > λ
przebieg temperatury
bardziej strome przebiegi w gorszych przewodnikach ciepła
p
p
ł
ł
aska p
aska p
ł
ł
yta
yta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
• jednowymiarowych
• ustalonych
• bez
ź
ródłowych
• o stałym współczynniku przewodzenia ciepła
Rachunki mo
Ŝ
na znacznie upro
ś
ci
ć
, je
ś
li zamiast wyznaczania
rozkładu temperatury, okre
ś
la si
ę
wpierw strumie
ń
ciepła.
Wykorzystuje si
ę
stało
ść
strumienia ciepła w czasie
(stan
ustalony i pole bez
ź
ródłowe). Zwi
ą
zek mi
ę
dzy temperaturami
na powierzchni płyty a g
ę
sto
ś
ci
ą
strumienia ciepła
(niezale
Ŝ
nie od zadanych warunków brzegowych)
analogia elektryczna.
Szybka metoda rozwi
ą
zywania zada
ń
(
)
L
R
q
T
T
λ
=
−
δ
L
T
δ
R
T
λ
q
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
11
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
…
…
ś
cianka płaska, wielowarstwowa, idealny kontakt cieplny
konwekcyjna wymiana ciepła z obu stron
ś
cianki
przenikanie ciepła
Dane:
L
T
1,2
T
2,3
T
1,
i
i
T
−
, 1
i i
T
+
2,
1
n
n
T
−
−
1,
n
n
T
−
R
T
temperatury granic warstw s
ą
nieznane
1
δ
2
δ
i
δ
1
n
−
δ
n
δ
,
1, 2,...
i
i
n
δ =
grubo
ś
ci warstw
1
λ
2
λ
i
λ
1
n
−
λ
n
λ
,
1, 2,...
i
i
n
λ =
współczynniki przewodzenia ciepła warstw
,
fL
fR
T
T
fL
T
fR
T
temperatury płynów omywaj
ą
cych
ś
ciank
ę
L
α
R
α
,
L
R
α α
współczynniki wnikania ciepła
q
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
…
…
1
δ
2
δ
i
δ
1
n
−
δ
n
δ
1
λ
2
λ
i
λ
1
n
−
λ
n
λ
L
α
R
α
L
T
1,2
T
2,3
T
1,
i
i
T
−
, 1
i i
T
+
2,
1
n
n
T
−
−
1,
n
n
T
−
R
T
fL
T
fR
T
(
)
L
fL
L
q
T
T
= α
−
1
1,2
1
(
)
L
q
T
T
λ
=
−
δ
2
1,2
2,3
2
(
)
q
T
T
λ
=
−
δ
1,
, 1
(
)
i
i
i
i i
i
q
T
T
−
+
λ
=
−
δ
…
…
1
2,
1
1,
1
(
)
n
n
n
n
n
n
q
T
T
−
−
−
−
−
λ
=
−
δ
1,
(
)
n
n
n
R
n
q
T
T
−
λ
=
−
δ
(
)
R
R
fR
q
T
T
= α
−
wnikanie do lewej powierzchni
przewodzenie w 1. warstwie
przewodzenie w 2. warstwie
przewodzenie w i-tej warstwie
przewodzenie w n-1-szej warstwie
przewodzenie w n-tej warstwie
wnikanie do prawej powierzchni
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
12
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
1
fL
L
L
q
T
T
=
−
α
1
1,2
1
L
q
T
T
δ = −
λ
2
1,2
2,3
2
q
T
T
δ = −
λ
1,
, 1
i
i
i
i i
i
q
T
T
−
+
δ =
−
λ
1
2,
1
1,
1
n
n
n
n
n
n
q
T
T
−
−
−
−
−
δ
=
−
λ
1,
n
n
n
R
n
q
T
T
−
δ =
−
λ
z ka
Ŝ
dego z równa
ń
wyznacza si
ę
ró
Ŝ
nic
ę
temperatur
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
1
R
fR
R
q
T
T
=
−
α
dodawanie stronami eliminuje wszystkie
(
nieznane
)
po
ś
rednie temperatury
1
1
1
n
i
fL
fR
i
L
i
R
q
T
T
=
δ
+
+
=
−
α
λ
α
∑
1
1
1
fL
fR
n
i
i
L
i
R
T
T
q
=
−
=
δ
+
+
α
λ
α
∑
g
ę
sto
ść
strumienia ciepła wyznacza si
ę
z zale
Ŝ
no
ś
ci
znaj
ą
c g
ę
sto
ść
strumienia ciepła, temperatury na stykach
(je
ś
li s
ą
potrzebne) wyznacza si
ę
kolejno
1
L
fL
L
T
q
T
=
+
α
1
1,2
1
L
T
q
T
δ
=
+
λ
2
2,3
1,2
2
T
q
T
δ
=
+
λ
poniewa
Ŝ
temperatury w warstwach zmieniaj
ą
si
ę
liniowo,
wystarcza to do jednoznacznego wyznaczenia pełnego
pola temperatury w przegrodzie
itd
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
,
L
fL
T
α
,
R
fR
T
α
λ
δ
1
1 /
/
1 /
fL
fR
k
α
δ λ
α
=
+
+
(
)
fL
fR
q
k T
T
=
−
19.54
3909
200
0.005
30
20
1000
2
[
/
]
L
W m K
α
[ ]
m
δ
[ ]
fL
fR
T
T
K
−
2
[
/
]
k W m K
2
[
/
]
q W m
19.74
3947
200
30
20
2000
0.005
1000
40
30
0.005
200
38.22
7643
Cz
ę
sto zale
Ŝ
y nam na zintensyfikowaniu przenikania ciepła przez
przegrod
ę
. Je
ś
li zało
Ŝ
y
ć
,
Ŝ
e temperatury płynów i
ś
cianka nie mo
Ŝ
e by
ć
modyfikowana parametrami jakie mo
Ŝ
na zmienia
ć
pozostaj
ą
oba
współczynniki wnikania ciepła
nale
Ŝ
y zwi
ę
ksza
ć
mniejszy współczynnik
wnikania ciepła (zmniejsza
ć
wi
ę
kszy opór
cieplny)
2
[
/
]
R
W m K
α
[
/
]
W mK
λ
13
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
poj
ę
cie oporu cieplnego
U
i
R
∆
=
analogia mi
ę
dzy ustalonym przepływem pr
ą
du stałego
a ustalonym, jednowymiarowym przewodzeniem ciepła.
i
nat
ęŜ
enie pr
ą
du
∆∆∆∆
U
ró
Ŝ
nica potencjałów
R
opór elektryczny
Q
T
Q
R
∆
=
Q
strumie
ń
ciepła
∆∆∆∆
T
ró
Ŝ
nica temperatur
R
Q
opór cieplny
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
1
1
1
fL
fR
n
i
i
L
L
i
i
R
R
T
T
Q
A
A
A
=
−
=
δ
+
+
α
λ
α
∑
1
fL
fR
n
L
i
R
i
T
T
Q
R
R
R
α
λ
α
=
−
=
+
+
∑
1
R
A
α
=
α
opór wnikania
R
A
λ
δ
=
λ
opór przewodzenia
tak zdefiniowane opory cieplne mo
Ŝ
na ł
ą
czy
ć
tylko szeregowo
jednak
Ŝ
e dla pól zbli
Ŝ
onych do jednowymiarowych, ł
ą
czenie
równoległe i szeregowe oporów jest dopuszczalne, gdy
Ŝ
prowadzi do niewielkich bł
ę
dów
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
14
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
L
α
R
α
fL
T
a
δ
b
δ
R
α
fR
T
1
A
2
A
3
A
1
λ
2
λ
3
λ
4
λ
4
A
4
1
1
1
2
2
2
1
L
L
a
a
R
A
R
A
R
A
α
λ
λ
=
α
δ
=
λ
δ
=
λ
3
3
3
4
4
4
4
1
a
b
R
R
R
A
R
A
R
A
λ
λ
α
δ
=
λ
δ
=
λ
=
α
4
1
2
3
1
1
1
1
fL
fR
L
R
T
T
Q
R
R
R
R
R
R
α
λ
α
λ
λ
λ
−
=
+
+
+
+
+
współczynniki przewodzenia ciepła powinny by
ć
do siebie
zbli
Ŝ
one. W przeciwnym wypadku, zało
Ŝ
enie o
jednowymiarowo
ś
ci pola temperatury jest obarczone du
Ŝ
ym
bł
ę
dem
op
op
ó
ó
r cieplny
r cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
przewodzenie ciepła w układzie cylindrycznym.
Powłoka walcowa, pole bez
ź
ródłowe, jednowymiarowe.
Stały współczynnik przewodzenia ciepła
1
0
d
dT
r
r dr
dr
=
r
1
dT
r
C
dr
=
jednokrotne całkowanie daje
powtórne całkowanie
1
2
ln
T
C
r
C
=
+
stałe wyznacza si
ę
z warunków brzegowych na wewn
ę
trznej
i zewn
ę
trznej powierzchni powłoki.
cylinder
cylinder
15
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
zadane temperatury na obu powierzchniach
( )
( )
w
w
z
z
T r
T
T r
T
=
=
w
T
z
T
w
r
r
z
r
ln( / )
( )
(
)
ln( / )
w
w
z
w
z
w
r r
T r
T
T
T
r r
= +
−
rozwi
ą
zanie
g
ę
sto
ść
strumienia ciepła zale
Ŝ
y od promienia
krzywoliniowy przebieg temperatury!
1
( )
ln( / )
z
w
z
w
T
T
dT
q r
dr
r
r r
−
= λ
= λ
( )
2
2
ln( / )
z
w
l
z
w
T
T
dT
q r
r
dr
r r
−
= λ
π = πλ
strumie
ń
jednostkowy
odniesiony do jednostki
długo
ś
ci walca [W/m]
strumie
ń
jednostkowy jest stały (nie zale
Ŝ
y od promienia)
cylinder
cylinder
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
konwekcyjna wymiana ciepła na obu powierzchniach
2
(
)
l
w
w
fw
w
q
r
T
T
= π α
−
1
;
2
fw
w
w
l
l
w
l
w
w
T
T
q
R
R
r
α
α
−
=
=
π α
rozwi
ą
zanie metod
ą
oporu cieplnego
fw
T
fz
T
w
r
r
z
r
2
(
)
lz
z
z
z
fz
q
r
T
T
= π α
−
ln( /
)
;
2
w
z
z
w
l
l
l
T
T
r
r
q
R
R
λ
λ
−
=
=
πλ
1
;
2
z
fz
z
l
l
z
l
z
z
T
T
q
R
R
r
α
α
−
=
=
π α
eliminuj
ą
c po
ś
rednie temperatury
ln( / )
1
1
2
fw
fz
fw
fz
l
w
z
z
w
l
l
l
w
w
z
z
T
T
T
T
q
r r
R
R
R
d
d
α
λ
α
−
−
=
=
+
+
+
+
π α
πλ
π α
cylinder
cylinder
16
Transport ciepła i masy
©Ryszard A. Białecki
strumie
ń
ciepła z rury o długo
ś
ci
L
(
)
ln(
/
)
1
1
2
fw
fz
l
z
w
w
w
z
z
T
T L
Q q L
d
d
d
d
−
=
=
+
+
π α
πλ
π α
1
(
)
ln(
/
)
1
1
2
fw
fz
l
i
i
n
z
w
i
i
w
w
z
z
T
T L
Q q L
d
d
d
d
=
−
=
=
+
+
π α
πλ
π α
∑
wielowarstwowa przegroda cylindryczna
,
i
i
w
z
d d
wewn
ę
trzna i zewn
ę
trzna
ś
rednica i-tej warstwy
,
w
z
d d
wewn
ę
trzna i zewn
ę
trzna
ś
rednica przegrody
cylinder
cylinder