Klasa 3c
Wielomiany i funkcja wymierna 2
Powtórzenie
1. Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli wiesz, że jej miejscem zerowym jest –2, a wykresem jest linia
prosta nachylona do osi OX pod kątem rozwartym
α takim, że
3
sin
5
α
= .
2. Rozwiąż graficznie nierówność
2
1
2
1
x
x
x
− <
− − .
3. Wyznacz współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego
2
y
ax
bx
c
=
+
+ wiedząc, że iloczyn miejsc
zerowych tego trójmianu jest równy ich sumie, współczynnik a jest równy kwadratowi współczynnika b,
a najmniejszą wartością tego trójmianu jest –4.
4. Dany jest wielomian
( )
3
2
9
W x
x
mx
nx
=
+
+
− . Wyznacz współczynniki m i n jeśli wiadomo, że
( )
( )
2
76
2
W
W
−
=
− oraz że jednym z miejsc zerowych wielomianu jest liczba 1. Dla
6,
2
m
n
=
=
wyznacz wszystkie pierwiastki tego wielomianu.
5. Wyznacz wszystkie wartości parametru, dla których funkcja
( )
2
2
3
f x
mx
mx
=
+
− przyjmuje tylko
wartości ujemne.
6. Rozwiąż równanie
2
4
6
9
6
4
x
x
x
x
−
+
+ +
=
−
.
7. Wiedząc, że ,
x y
∈ N wyznacz wszystkie pary
(
)
,
x y spełniające równanie
(
)
(
)
2
1
10
x
x
y
+
− =
.
8. Dany jest wielomian
( )
(
)
(
)(
)
2
4
1
2
P x
x
m
x
m
x
m
=
−
+
−
+
. Podaj pierwiastki tego wielomianu.
Wyznacz wartość parametru m tak, aby suma tych pierwiastków była najmniejsza i wyznacz tę sumę.
9. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań
2
4
4
7
y
x
y
x
⎧ =
−
⎨
=
−
⎩
.
10. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(
)
2
1
1
4
0
4
4
mx
m
x
m
−
+
+
+ = ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste takie, że iloraz ich sumy i iloczynu jest liczbą mniejszą niż 2.
11. Narysuj wykres funkcji
( )
2
f x
x
= . Przesuń wykres funkcji f o wektor
[
]
2, 3
u
= −
G
i napisz wzór funkcji g,
której wykresem jest przesunięty wykres funkcji f. Narysuj wykres funkcji
( )
( )
( )
h x
f x
f x
=
+
.
12. Rozwiązaniem nierówności
3
2
8
12 0
x
x
x
−
−
+
≥ jest przedział A, rozwiązaniem nierówności 2
1 7
x
− <
jest przedział B. Wyznacz A B
− .
13. Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania
3
2
2
10
0
x
x
x
m
+
−
+ = , gdzie m jest liczbą całkowitą, jest
liczba
( )
1, 2
a
∈
. Wyznacz liczbę m. Znajdź inne pierwiastki tego wielomianu.
14. Sprawdź czy dziedziny funkcji
( )
2
3
4
x
f x
x
−
=
+
i
( )
(
)(
)
2
3
4
g x
x
x
=
−
+
są równe. Wyznacz
dopełnienie dziedziny funkcji g w zbiorze liczb rzeczywistych.
15. Grupa 12 przyjaciół podzieliła się na dwie grupy, by każdy mógł kupić pozostałym osobom ze swojej
grupy upominek na mikołajki. Po ile osób znalazło się w każdej grupie, jeśli liczba upominków była
najmniejsza? Ile było w sumie tych upominków?
16. Rozwiąż nierówność
2
2 2
x
x
x
+ >
+ .
17. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których reszta z dzielenia wielomianu
( )
3
2
2
3
W x
x
x
x
m
=
−
+
+ przez wielomian
( )
G x
x
m
= − wynosi 8. Dla
2
m
= wyznacz zbiór wartości
funkcji
( )
( )
3
f x
W x
x
=
− .
18. Dany jest wielomian
( ) (
)(
)(
)
2
5
6
20
P x
x
x
m
x
m
=
−
− −
−
−
. Podaj pierwiastki tego wielomianu.
Wyznacz parametr m tak, aby wielomian miał dokładnie dwa pierwiastki.
19. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których układ równań
2
2
2
4
0
x
y
x
y
y
x
m
⎧ +
−
−
=
⎨
= +
⎩
ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
