1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Równania zupełne
Załóżmy, że funkcje P (x, y) i Q(x, y) mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w
obszarze D ⊂ R
2
(o zbiorze D zakładamy, że jest otwarty i jednospójny). Równanie różniczkowe
pierwszego rzędu postaci:
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, jeżeli spełniony jest warunek:
∀
(x,y)∈D
P
y
(x, y) = Q
x
(x, y).
Ponadto jeżeli spełniony jest powyższy warunek, to istnieje funkcja F = F (x, y) (określona w
obszarze D i posiadająca w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego) taka, że
∀
(x,y)∈D
P (x, y) = F
x
(x, y),
Q(x, y) = F
y
(x, y).
Tym samym wyrażenie P (x, y) dx + Q(x, y) dy = dF (x, y) jest różniczką zupełną funkcji F (x, y) ,
a równanie zupełne przyjmuje postać:
dF (x, y) = 0.
Całką ogólną takiego równania jest funkcja uwikłana (o ile istnieje) y = y(x) określona rónaniem:
F (x, y) = C,
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.
Rozwiązanie równania zupełnego polega więc na znalezieniu funkcji
F (x, y)
takiej, że
F
x
(x, y) = P (x, y) i F
y
(x, y) = Q(x, y) .
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania:
( y e
−x
+ e
x
)dx − e
−x
dy = 0.
Rozwiązanie:
Na poczatek sprawdzamy, czy jest to równanie zupełne:
P (x, y) = y e
−x
+ e
x
P
y
(x, y) = e
−x
Q(x, y) = − e
−x
Q
x
(x, y) = e
−x
Zatem P
y
(x, y) = Q
x
(x, y) , a tym samym równanie jest równaniem zupełnym.
W celu rozwiązania równania szukamy funkcji
F (x, y)
takiej, że
F
x
(x, y)
=
P (x, y)
i
F
y
(x, y) = Q(x, y) , czyli:
F
x
(x, y) = y e
−x
+ e
x
F
y
(x, y) = − e
−x
Skoro
F
x
(x, y) = y e
−x
+ e
x
,
