Microsoft Word - KrzywaWoehlera

1. WSTĘP- CEL ĆWICZENIA

Zjawisko zmęczenia materiałów jest znane od ponad stu lat. Jednakże nadal nie został

rozstrzygnięty problem istoty zmęczenia. Istniejące hipotezy nie dają odpowiedzi na pytanie,
jakie  są  fizyczne  przyczyny,  źródła  i  mechanizmy  rozwoju  procesu  zmęczenia.  Notuje  się
miast  wiele  prób  formalnego  opisu  matematycznego  tego  zjawiska.  Podstawą  tego  opisu  są
ilościowe  wyniki  klasycznego  aparatu  poznawczego,  jakim  są  metody  eksperymentalne.
Stosowane są one nie tylko do badań podstawowych, lecz również jako weryfikacja założeń
konstrukcyjnych projektanta i to zarówno w wersji laboratoryjnej jak poligonowej.

Proces pękania zmęczeniowego jest bardzo złożony i można wydzielić w nim kilka faz.

Z punktu widzenia projektanta najważniejsze są dwie główne fazy: inicjacji oraz stabilnego
wzrostu pęknięcia. Współcześnie istnieją metody badań umożliwiające wyznaczenie
charakterystyk trwałości dla każdej z w/w faz rozwoju pęknięcia zmęczeniowego, jak również
metody prognozowania trwałości konstrukcji oparte o te charakterystyki.

W wielu przypadkach wykorzystuje się jednak charakterystykę zmęczeniową, która

obejmuje zwykle te dwie fazy rozwoju pęknięć zmęczeniowych. Jest to krzywa  Woehlera,
będąca  nadal  podstawową  charakterystyką  zmęczeniową,  wykorzystywaną  w
projektowaniu  elementów  maszyn  oraz  konstrukcji  nośnych  narażonych  na  pękanie
zmęczeniowe.

Współczesne konstrukcje charakteryzują się, ze względów ekonomicznych,

ograniczonym  okresem  eksploatacji.  Stawia  to  przed  konstruktorem  określone
wymagania  z  tytułu  oceny  trwałości  zmęczeniowej.  Tak  więc  już  na  etapie
projektowania  musi  on  posiadać  możliwie  pełną  informację  o  własnościach
zmęczeniowych  materiału,  czy  też  wręcz  tzw.  potencjalnego  słabego  ogniwa  (PSO),  tj.
krytycznego miejsca, decydującego o trwałości konstrukcji.

Zasadniczym celem ćwiczenia jest określenie parametrów charakterystyki

zmęczeniowej stosowanej w procesie wymiarowania konstrukcji nośnej, oraz
oszacowanie na tej podstawie trwałości dla wymaganych warunków eksploatacji. W
ć

wiczeniu przedstawione zostały podstawowe metody wyznaczania charakterystyk

trwałości oraz statystycznego opracowania wyników eksperymentu.

2. WPROWADZENIE TEORETYCZNE

2.1. Podstawowe wiadomości o charakterystykach trwałości zmęczeniowej

Pojęcie wytrzymałości zmęczeniowej i krzywej Woehlera, jako podstawowe, w

wytrzymałości materiałów, są powszechnie znane. Istnieje na ten temat znaczna
liczba publikacji np. [l], [2], [3]. Jednakże dla porządku zostaną one zdefiniowane.

Wytrzymałość zmęczeniowa rozumiana jest jako naprężenie

(dla określonego

cyklu naprężeń), przy którym element badany nie ulegnie zniszczeniu po osiągnięciu
umownej, bazowej liczby cykli N

(rys. 1). Krzywa Woehlera (KW) jest niejako zbiorem

wytrzymałości zmęczeniowych dla różnych liczb cykli i powstaje w efekcie
doświadczenia przeprowadzonego w ściśle określonych warunkach.

Naprężenie

jest naprężeniem nominalnym (globalnym), wyznaczonym zwykle

w punkcie, w którym następuje inicjacja pęknięcia zmęczeniowego i może być
definiowane jako: amplituda –

, zakres –

∆

. = 2

, bądź też jako naprężenie

maksymalne cyklu obciążeń –

max

log N

log

Próbka gładka

Próbka z karbem

Rys. 1 Parametry opisujące krzywą Woehlera

Krzywa Woehlera jest przedstawiana jako prosta w układzie współrzędnych

log

– log N w zakresie liczby cykli N

– N

i jest opisywana równaniem:

const

(1)

gdzie

jest wykładnikiem KW, a jego odwrotność opisuje kąt nachylenia krzywej.

Jako bazową liczbę cykli przyjmuje się dla stali zwykle

= 2E+6 cykli,

jednakże często ta granica jest obecnie przesuwana do 5 lub 10 mln. cykli.

liczba cykli, która wyznacza początek krzywej Wohlera, wynosi ona około

10E+3 do 10E+4 cykli.

Wytrzymałość zmęczeniowa elementu z karbem,

jest mniejsza od

wytrzymałości elementu gładkiego,

, a ich związek opisuje współczynnik działania

karbu

, obliczany jako stosunek

. Warto podkreślić, że wartość

odnosi

się do

, natomiast dla

obserwuje się zwykle mniejsze wartości stosunku

naprężeń

. Dla uproszczenia przyjmuje się często dwie skrajne koncepcje:

1. KW zbiegające się w punkcie

2. KW równolegle, tj. o stałym stosunku

. (taka koncepcja

została przyjęta w normach dotyczących KW dla konstrukcji spawanych).

Współczynnik działania karbu jest związany ze współczynnikiem koncentracji

naprężeń,

zależnym od geometrii karbu poprzez tzw. współczynnik wrażliwości

materiału na działanie karbu,

)

(

−

(2)

którego warto

ść

zale

y zarówno od wytrzymało

ci materiału, R

, jak równie

promienia karbu,

(im mniejszy promie

, tym mniejsza warto

ść

q).

Nale

y pami

e wytrzymało

ść

czeniowa zale

y równie

od takich

czynników, jak:

•

stan warstwy powierzchniowej, opisywany współczynnikiem

•

współczynnik asymetrii cyklu, r =

min

max

•

wielko

ść

elementu, opisywana współczynnikiem

, i inne.

min

max

czas

Krzywa Woehlera charakteryzuje zdolno

ść

elementu badanego do przenoszenia

napr

ęż

zmiennych jednak

e tylko dla konkretnego sposobu (cyklu) obci

ąż

enia.

Zwi

zek

pomi

dzy

warto

wytrzymało

rodzajem

obci

ąż

enia,

reprezentowanym przez współczynnik asymetrii cyklu r wyznaczaj

tzw. wykresy

zbiorcze. Nale

żą

do nich znane krzywe np. Smitha, Haigha.

2.2 Prognozowanie trwałości zmęczeniowej

Prognozowanie trwało

ci zm

czeniowej elementów konstrukcyjnych jest procesem do

ść

zło

onym i wymaga starannego okre

lenia wszystkich danych, niezb

dnych dla osi

gni

cia

poprawnego wyniku. Składa si

ono z nast

puj

cych kroków (rys. 2):

wyznaczenie potencjalnych miejsc (PSO), w których mog

zainicjowa

kni

cia

czeniowe (s

to zwykle karby).

dobór KW, najbardziej odpowiedniej do analizowanego PSO (sposób obci

ąż

enia i

kania),

okre

lenie obci

ąż

eksploatacyjnych, okre

lonych zwykle na podstawie pomiarów

tensometrycznych,

obliczenie trwało

ci zm

czeniowej przy wykorzystaniu wybranej hipotezy kumulacji

uszkodze

czeniowych.

ELEMENT KONSTRUKCJI

PSO

ELEMENT KONSTRUKCJI

PSO

MATERIAŁ

∆σ

MATERIAŁ

∆σ

OBCIĄŻENIE

TRWAŁOŚĆ

ANALIZA TRWAŁOŚCI

Rys. 2 Schemat oceny trwało

ci zm

czeniowej.

Obliczanie trwało

ci zm

czeniowej dla obci

ąż

eksploatacyjnych, opisanych widmem

obci

ąż

jest przedstawiona na rys. 3.

∆σ

cykle

∆σ

max

rę

’

∆σ

cykle

∆σ

max

rę

’

Rys. 3 Schemat obliczania uszkodze

czeniowych

Przy oznaczeniach przedstawionych na rys. 3 trwało

ść

czeniowa, obliczona z

zastosowaniem liniowej hipotezy kumulacji uszkodze

czeniowych (Palmgrena-Minera –

[4]), wyra

ona poprzez liczb

powtórze

zarejestrowanego bloku obci

ąż

eksploatacyjnych

jest wyra

ona nast

puj

cym wzorem:

∑













max

)

(

BLK

∆

(3)

gdzie n

jest liczb

cykli za

∆σ

max

– napr

ęż

eniem wzgl

dnym dla i-tego stopnia

widma napr

ęż

, za

d jest krytyczn

warto

uszkodzenia zm

czeniowego (zwykle

przyjmuje si

d = 1).

Liczb

cykli zmian napr

ęż

N otrzymuje si

przez pomno

enie liczby powtórze

bloku

obci

ąż

enia, BLK przez liczb

cykli w bloku, n

Według klasycznej hipotezy P-M napr

ęż

enia poni

ej wytrzymało

ci zm

czeniowej

nie powoduj

adnych uszkodze

czeniowych, jednak

e zasada ta dotyczy tylko obci

ąż

o stałej amplitudzie. W przypadku obci

ąż

o zmiennej amplitudzie, wyst

puj

cych zwykle w

eksploatacji, krzyw

Woehlera przedłu

a si

poprzez obni

enie wytrzymało

ci zm

czeniowej

do warto

= (0.3 – 0.5)

2.3 Krzywa trwałości

Wymiarowanie trwało

ciowe konstrukcji oparte na prognozowaniu trwało

ci w

powy

szy sposób jest bardzo proste, jednak

e ma kilka wad, z których najwa

niejsze

to:
1.

trudno

ść

w odniesieniu p

kni

cia próbki do elementu konstrukcyjnego przy

znacznej ró

nicy wymiarów

brak mo

liwo

ci uwzgl

dniania wpływu historii obci

ąż

na trwało

ść

przy

stosowaniu hipotezy P-M.

Druga z tych niedoskonało

ci mo

e by

wyeliminowana w znacznym stopniu

poprzez zast

pienie KW przez krzyw

trwało

ci. W tym przypadku próbki, słu

żą

zbudowaniu krzywej obci

ąż

one s

widmem napr

ęż

, reprezentuj

cym powtarzalny blok

obci

ąż

eksploatacyjnych).

Wytrzymało

ść

eksploatacyjn

definiuje si

jako maksymalne napr

ęż

enie w widmie,

ale z uwzgl

dnieniem pozostałych napr

ęż

wraz z ich cz

sto

wyst

powania (czyli

form

widma), przy której element badany nie ulegnie zniszczeniu po przekroczeniu

umownej, bazowej liczby cykli N

Na rys. 4 przedstawione zostały do

wiadczalnie otrzymane krzywe trwało

ci dla

ró

nych widm eksploatacyjnych. S

one równoległe do KW i znacznie przesuni

te w

kierunku wi

kszych trwało

ci. Im mniej wypełnione jest widmo, mniej intensywne

obci

ąż

tym wi

ksze przesuni

cie wykresu. Dla krzywych trwało

ci stosuje si

podobnego typu idealizacj

wykresu w układzie podwójnie logarytmicznym jak dla

krzywej Woehlera. Równie

zale

ść

napr

ęż

od liczby cykli ma ten sam charakter jak

w KW.

Krzywa trwało

ci odzwierciedla wi

c jak gdyby do

wiadczalnie uzyskan

liczb

powtórze

bloku obci

ąż

, reprezentatywnego dla okre

lonych warunków eksploatacji.

Symbole z indeksem "i" oznaczaj

parametry dowolnego i-tego stopnia widma

indeks "l" dotyczy pierwszego stopnia o najwi

kszym obci

ąż

eniu.

Próby wytrzymało

ci eksploatacyjnej mog

prowadzone dla ró

nych warunków

obci

ąż

enia (np. w bloku gassnerowskim):

•

napr

ęż

enie

rednie jest stałe we wszystkich stopniach widma.

const,

•

współczynnik, asymetrii cyklu jest stały we wszystkich stopniach widma r

= r

const,

•

napr

ęż

enie

rednie i współczynnik asymetrii cyklu s

ró

ne dla ka

dego stopnia

widma

≠

const, r

≠

const,

•

stała warto

ść

napr

ęż

enia minimalnego b

maksymalnego w ka

dym stopniu

widma

min

min1

max

max1

Wybór jednej z powy

szych opcji zale

głównie od rzeczywistego przebiegu obci

ąż

eksploatacyjnych, którego uproszczony opis stanowi widmo obci

ąż

W celu uwzgl

dnienia wpływu historii obci

ąż

na trwało

ść

(tu na krzyw

trwało

ci)

program obci

ąż

nie jest dokładnym powtarzaniem widma, lecz mo

e wygl

tak, jak

przedstawiona rys. 6. Niekiedy stosuje si

równie

losowe rozmieszczanie kolejnych stopni

widma.

Rys. 6 Program obci

ąż

w próbie wytrzymało

ci eksploatacyjnej (wg Gassnera)

2.4. Technika eksperymentalnego otrzymywania krzywych Woehlera i

trwałości.

Przy zadanym sposobie wprowadzania obci

ąż

metodyka przeprowadzania

eksperymentu w celu otrzymania KW i KT jest identyczna. Kształt oraz wielko

ść

próbek wymaganych do bada

czeniowych okre

lone s

normami podobnie jak

wymagania dotycz

ce sposobu prowadzenia prób.

Badania zm

czeniowe próbek rozpoczyna si

od obci

ąż

enia wywołuj

cego

najwi

ksz

warto

ść

napr

ęż

enia maksymalnego (

max

< R

) notuj

c ilo

ść

cykli, które

doprowadziły do zniszczenia próbki (na ogół jako zniszczenie traktuje si

całkowite

kni

cie

próbki).

Nast

pne

próbki

podlegaj

obci

ąż

eniu

odpowiednio

zmniejszonemu. Prób

prowadzi si

tak długo, a

dla kolejnej próbki rejestruje si

ilo

ść

cykli wi

ksz

równ

bazowej N

. Wszystkie badania prowadzi si

przy

zachowaniu stałej warto

ci współczynnika asymetrii cyklu r = const.

Dopuszcza si

, aby ka

dy poziom pomiarowy reprezentowany był tylko przez

jeden wynik, jednak powtarzanie bada

na ka

dym poziomie pomiarowym napr

ęż

enia

3 wyników) znacznie poprawia dokładno

ść

parametrów wyznaczanych KW. Zwykle

badania próbek wykazuj

cych znaczny rozrzut wyników (np. zł

cza spawane) prowadzi

przy wi

kszej liczbie powtórze

dla tego samego poziomu napr

ęż

(nawet do 5), a

dla krzywych trwało

ci przyjmuje si

liczba ta jest jeszcze wi

ksza. Minimalna ilo

ść

próbek dla tej procedury badawczej wynosi 8

12.

Opracowanie wyników bada

polega na wyznaczeniu głównych parametrów,

opisuj

cych KW:

i m w analizie statystycznej. Dokonuje si

równie

oszacowania

rozrzutu wyników przedziałami ufno

ci dla prawdopodobie

stw przetrwania P

= 90;

50; 10% (rys. 7). Niekiedy zakłada si

z góry okre

lon

, stał

warto

ść

wykładnika

krzywej m, np. dla zł

czy spawanych przyjmuje si

e wynosi ona 3 lub 3.5.

log N

log

D,50%

D,10%

D,90%

= 10%

= 50%

Rys.7. Krzywe Woehlera otrzymane wg procedury Woehlera.

Dla krzywych Woehlera przyjmuje si

bazow

liczb

cykli N

= 2*10

, natomiast

dla krzywych trwało

ci baza uzale

niona jest bezpo

rednio od formy widma i musi by

dorazowo ustalona w do

wiadczeniu. Podobnie wygl

da sytuacja z lewostronn

granic

liczby. To ograniczenie wynika

e z warto

ci granicy plastyczno

ci materiału i nie jest to

bynajmniej przypadek hipotetyczny. Zdarza si

bowiem,

e obliczona wytrzymało

ść

eksploatacyjna jest równa b

ksza granicy plastyczno

ci. Oznacza to,

e o trwało

konstrukcji decyduj

„obci

ąż

enia dora

ne" a nie "zm

czeniowe".

2.4. Opracowanie statystyczne wyników eksperymentu

Jak ju

wspomniano wyznaczenie zale

ci log

- log N dokonuje si

poprzez

statystyczne opracowanie wyników bada

, oparte o analiz

regresji i metod

najmniejszych kwadratów.

Wyniki bada

czeniowych mo

na przedstawi

w postaci wektora W

= [N

]

(i = l,..,n), gdzie współrz

dna N

ma charakter losowy. W zwi

zku z tym,

e KW jest

opisana równaniem (1) i w układzie podwójnie logarytmicznym tworzy lini

prost

(ln C = ln

+ 1/m ln N), wektor W

lepiej jest zast

wektorem W’

= [X

, Y

], którego

składowe s

okre

lone jako: Y

= ln

, X

= ln N

Poszukiwana jest liniowa funkcja postaci Y = a + bX, która w zakresie

ograniczonej wytrzymało

ci zm

czeniowej w sposób "najlepszy" wi

ąż

e ze sob

współrz

dne wektora W

. Zadanie sprowadza si

do znalezienia takich warto

współczynników a i b, dla których warto

ci bezwzgl

dne sumy kwadratów „bł

dów” s

najmniejsze. Bł

dy s

okre

lane jako ró

nice odległo

ci punktów eksperymentu od linii

redniej i mog

‘mierzone’ wzdłu

osi pionowej (RRY) lub poziomej (RRX) -

rys. 8,

Rys. 8. Regresja liniowa wzgl

dem osi Y (RRY) i X (RRX)

odpowiednie równania minimalizowanej sumy bł

dów s

nast

puj

ce:

∑

−

)

min(

)

(

(RRY)

(4)

∑

−

)

min(

)

(

(RRX)

(5)

Wzory do obliczania parametrów KW za pomoc

regresji liniowej s

zestawione w

Tabeli 1. W tabeli zawarte s

równie

wzory do obliczania

redniej warto

ci granicy

czenia dla przyj

tej warto

ci bazowej liczby cykli N

, np. N

= 2E+6.

Tabela 1. Wzory do obliczenia parametrów KW

RRY

RRX













−

∑













−

∑

−

∑

−

( )

[

]

exp

( )













−

exp

Rozrzut danych wzgl

dem linii

redniej KW mo

na oszacowa

poprzez współczynnik

korelacji

, obliczany z zale

ci (warto

ść

współczynnika korelacji le

y zawsze w

przedziale



< l):

∑

−

)

(

)

(

)

)(

(

(6)

gdzie

∑

(7)

lub poprzez odchylenie standardowe warto

ci Y:

∑

−

)

(

(8)

gdzie Y

warto

ciami

rednimi (le

żą

cymi na

redniej KW), obliczonymi według

zale

ci:

(9)

Na ogół rozrzut punktów do

wiadczalnych Y

wokół

redniej KW podlega rozkładowi

normalnemu, co oznacza,

e rozrzut wytrzymało

ci zm

czeniowej

podlega rozkładowi

log-normalnemu.

W przypadku, gdy ilo

ść

wyników jest du

a (n > 6), nale

y dokona

sprawdzenia czy

skrajne z nich nie s

obarczone du

ymi bł

dami oraz czy podlegaj

one prawu rozkładu

normalnego.

Nale

y zauwa

e dla oszacowanej warto

redniej wytrzymało

ci zm

czeniowej,

wyznaczonej na podstawie ograniczonej liczby próbek, wyznacza si

warto

ść

redni

populacji (populacja oznacza wszystkie mo

liwe próbki). Dokonuje si

tego poprzez

okre

lenie przedziałów ufno

ci na poziomie istotno

ci 10%, którego warto

ść

jest

standardowa, w opracowaniu wyników bada

czeniowych.

3. Wykonanie ćwiczenia

Zadaniem ka

dego ze studentów w oparciu o otrzymane wyniki próby zm

czeniowej jest:

•

przedstawi

wyniki próby zm

czeniowej graficznie,

•

obliczy

parametry

rednie KW (m,

) oraz odchylenie standardowe s

•

otrzymane wyniki nanie

ść

na wykres, wyznaczaj

c przedział +/- 3 s

Wykorzystuj

c wyznaczon

KW obliczy

trwało

ść

czeniow

dla zadanego widma

obci

ąż

eksploatacyjnych.

Napisa

wnioski.