WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Wykład 2.
1. Liczba Poissona
2. Uogólnione prawo Hooke’a
3. Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
4. Naprężenia własne
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Wykład 2.
1. Liczba Poissona
2. Uogólnione prawo Hooke’a
3. Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
4. Naprężenia własne
Prawo Hooke’a
dla równomiernego jednokierunkowego
rozciągania
N
L
0
(
σ
)
N
∆
l
(
ε
)
α
σ
b)
EF
NL
l
0
=
∆
∆
l –wydłużenie pręta, L
0
– długość
początkowa pręta
E
σ
ε
=
ε
=
l
l
∆
- wydłużenie względne
(odkształcenie liniowe)
E – moduł sprężystości Younga
(stała materiałowa)
Liczba Poissona
(współczynnik odkształcalności poprzecznej)
y
x
σ
x
a)
l
σ
x
∆
l
b
∆
b
wzd
poprz
ε
ε
ν
−
=
W pręcie rozciąganym
:
E
E
poprz
wzd
σ
ν
ε
σ
ε
−
=
=
,
.
Przedział zmienności liczby Poissona: 0
≤
ν
≤
0.5.
b
b
poprz
∆
=
ε
Ogólnie:
ε
wzd
=
l
l
∆
Uogólnione prawo Hooke’a
z
x
y
σ
y
σ
y
z
x
y
σ
z
z
x
y
σ
z
z
x
y
σ
x
σ
x
+
σ
z
z
x
y
σ
z
σ
x
σ
x
σ
y
σ
y
+
Uogólnione prawo Hooke’a
Prawo Hooke’a obowiązujące dla stanu jednokierunkowego
ściskania lub rozciągania możemy rozszerzyć na
trójkierunkowy stan naprężeń, gdzie
σ
x
,
σ
y
,
σ
z
są naprężeniami
normalnymi odpowiednio w kierunkach x,y, z.
)]
(
[
1
z
y
x
x
E
σ
σ
ν
σ
ε
+
−
=
)]
(
[
1
x
E
z
y
y
σ
σ
ν
σ
ε
+
−
=
)]
(
[
1
y
x
z
z
E
σ
σ
ν
σ
ε
+
−
=
Uogólnione prawo Hooke,a –
płaski stan naprężenia – σ
z
= 0
]
[
1
y
x
x
E
νσ
σ
ε
−
=
]
[
1
x
y
y
E
νσ
σ
ε
−
=
]
[
y
x
z
E
σ
σ
ν
ε
+
−
=
Odkształcenie w kierunku osi z:
Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
S
1
= S
3
S
2
+ 2S
1
cos
α
= P
Równania równowagi:
∆
l
1
=
∆
l
2
cos
α
Równanie ciągłości odkształceń:
Trzy niewiadome - dwa równania –
zagadnienie statycznie niewyznaczalne
Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
)
(
cos
)
cos(
)
cos(
2
2
1
2
1
α
α
α
S
S
EA
l
S
EA
l
S
=
⇒
=
)
(
cos
1
)]
(
cos
1
[
)
(
cos
3
2
3
2
1
α
α
α
+
=
+
=
P
S
P
S
Naprężenia własne
Naprężenia własne
naprężenia
montażowe
naprężenia cieplne
Naprężenia cieplne -
Obliczyć siłę
wewnętrzną w pręcie i naprężenia po
podgrzaniu.
Dane: E,
α
,
∆
t, l, D, d
∆
t
l/2
l/2
φ
D
φ
d
t
l
l
t
∆
⋅
⋅
=
∆
α
m
t
m
t
ca
l
l
l
l
l
∆
=
∆
⇒
=
∆
−
∆
=
∆
0
2
2
1
1
2
1
2
2
EF
Nl
l
EF
NL
l
l
l
l
m
=
∆
=
∆
∆
+
∆
=
∆
+
∆
=
⇒
⋅
+
⋅
=
∆
2
2
2
2
1
1
2
2
4
2
4
d
D
t
E
N
d
E
Nl
D
E
Nl
t
l
α
π
π
π
α
2
2
1
1
F
N
F
N
=
=
σ
σ
Wydłużenie cieplne (o tyle wydłużyłby się pręt,, gdyby był
swobodny):
Pręt
nie
może
zmienić
długości: