1
00503 Kinematyka D
TEORIA
00503
Podstawy kinematyki D
Część 3
Przyspieszenie.
Droga i prędkość w ruchu jednostajnym.
Wektorowy charakter prędkości
i przyspieszenia.
Twierdzenie o prędkości i drodze
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Kwiecień
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 9 Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym.
1.
Wszyscy w jakościowy sposób rozumiemy co to jest przyspieszenie. MoŜemy wywołać
przyspieszenie samochodu naciskając pedał gazu. Im więcej pedał ten naciskamy, tym
większe jest przyspieszenie. Gdy trwa przyspieszenie prędkość rośnie, a oparcia siedzeń
popychają plecy pasaŜerów. Ta ilość popychania jest ilościową miarą przyspieszenia. Na-
ciśniecie na pedał hamulca daje ten sam efekt, tyle tylko, Ŝe teraz mamy ujemne przyspie-
szenie (nazywane opóźnieniem). Przyspieszenie jest miarą zmiany prędkości.
2.
Przyspieszenie jednostajne. Z definicji ciało porusza się z jednostajnym, czyli stałym
przyspieszeniem, gdy jego prędkość rośnie jednostajnie z czasem. Przyspieszenie a jest
stałe, gdy:
(1)
v v
0
= a·t, czyli:
(2) a
v
v
t
=
−
0
, gdzie v - v
0
jest przyrostem prędkości
w czasie t.
3.
Przyspieszenie chwilowe. JeŜeli przyspieszenie zmienia się z czasem, musimy wtedy
mierzyć zmianę prędkości
∆
v w ciągu krótkiego czasu
∆
t. Wtedy:
(3) a
v
t
dv
dt
t
=
=
→
∆
∆
∆
0
lim
4.
Przyspieszenie grawitacyjne. Jest godnym uwagi faktem doświadczalnym, Ŝe w pobliŜu
powierzchni Ziemi kaŜdy przedmiot upuszczony swobodnie spada ku środkowi Ziemi z
przyspieszeniem równym:
g
m
s
=
9 81
2
,
Zadziwiające jest, Ŝe to przyspieszenie jest niezaleŜne od masy ciała, jego składu ani prędko-
ś
ci (chyba, Ŝe jest znaczny opór powietrza, wtedy przyspieszenie będzie mniejsze).
Suplement*:
Wartość 9 81
2
,
m
s
jest wartością przybliŜoną.
Przy uwzględnianiu dalszych cyfr znaczących ujawnia się zaleŜność g od szerokości geogra-
ficznej i wysokości punktu nad poziomem morza, w szczególności dla Nowego Jorku
g
m
s
=
9 82067
2
,
, dla Warszawy g
m
s
=
9 8123
2
,
.Będziemy zawsze przyjmować wielkość g jako
dodatnią. JeŜeli więc oś x skierujemy w górę, to przyspieszenie będzie równe a = -g.
3
00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 10
Droga i prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym.
1.
JeŜeli punkt materialny porusza się po linii prostej ruchem jednostajnym , to droga poko-
nywana w dowolnym czasie t, liczonym od chwili rozpoczęcia obserwacji (t
0
= 0), jest
wprost proporcjonalna do czasu trwania ruchu, co oznacza, Ŝe w równych, dowolnie ma-
łych odstępach czasu, punkt materialny przebywa równe drogi .
2.
Wiemy juŜ, Ŝe stosunek dwóch wielkości, które są do siebie wprost proporcjonalne ma
wartość stałą. A więc i stosunek drogi s do odpowiadającego jej czasu t w ruchu jedno-
stajnym prostoliniowym ma wartość stałą. Zatem ruch jednostajny prostoliniowy, to ruch
odbywający się ze stałą prędkością (v = const. )
(1)
v
s
t
=
3.
JeŜeli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v
w czasie t, to wartość przebytej drogi wyraŜa równanie:
(2)
s = v·t
zwane
równaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego.
4.
JeŜeli obserwację ciała poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym rozpoczę-
to w chwili t
0
, w której znajdowało się ono w odległości s
0
od przyjętego punktu odnie-
sienia (rys. 1), to wartość prędkości określamy wzorem (3):
0
s
0
s droga [metr]
(3)
v
s
s
t
t
s
t
=
−
−
=
0
0
∆
∆
0
t
0
t czas [sekunda]
Rys. 1
5.
Ze wzoru (3) otrzymujemy bardziej ogólne równanie ruchu jednostajnego prostoliniowe-
go:
(4)
s
s
v t
t
= +
−
0
0
(
)
4
00503 Kinematyka D
TEORIA
6.
Ruchy punktów materialnych mogą być ilustrowane graficznie za pomocą wykresów.
Najczęściej są stosowane wykresy prędkości w układzie współrzędnych v,t oraz drogi w
układzie współrzędnych s,t co przedstawiono na rysunkach 2 i 3.
S v
α
s = v·t
0 t 0 t
v
s
t
==
= tg
α
Rys. 2 rys. 3
Temat: 11
Ruch jednostajnie przyspieszony.
1.
Dotychczas korzystaliśmy ze związku, który określał nam jaka jest prędkość, gdy znamy
przyspieszenie i czas. Często jednak chcemy znać połoŜenie punktu materialnego, a nie
jego prędkość. Chcemy więc uzyskać równanie, które wyraŜa drogę s przez przyspiesze-
nie a i czas t, a takŜe przez prędkość początkową v
0
.
2.
Drogę przebytą ruchem prostoliniowym jednostajnie zmiennym w czasie t moŜna wyrazić
graficznie jako pole trapezu OABC (rys. 1) Pole to ma wartość:
(1) s
v
v
t
=
+
0
2
Podstawiając zamiast v wyraŜenie
(2)
v
v
a t
= + ⋅
0
,
mamy
(3)
s
v t
a t
= ⋅ +
⋅
0
2
2
3.
JeŜeli w chwili rozpoczęcia obserwacji punkt materialny przebył juŜ drogę s
0
, wtedy
równanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego przyjmuje postać:
(4)
s
s
v t
a t
= + ⋅ +
⋅
0
0
2
2
5
00503 Kinematyka D
TEORIA
Widzimy, Ŝe droga przebyta przez punkt materialny, który na początku był w spoczynku
i który ulega stałemu przyspieszeniu, rośnie jak kwadrat czasu.
v
v
0
Ruch jednostajnie przyspieszony,
to ruch, w którym w jednakowych
odstępach czasu punkt materialny
doznaje jednakowych przyrostów
prędkości.
0 t
Rys. 1
4.
Na rysunku 2 wykreślono równanie (4), na rysunku 3 - równanie (2), wreszcie na rysunku
4 przedstawiono zaleŜność przyspieszenia od czasu w opisywanym rodzaju ruchu.
s v a
s
0
v
0
a
0
0 t 0 t 0 t
Rys. 2 Rys. 3 Rys. 4
O ile rysunki 2, 3 i 4 opisują graficznie
ruch jednostajnie przyspieszony, tak za pomocą
rysunków 5, 6 i 7 moŜna zilustrować
ruch jednostajnie opóźniony:
s v a
v
0
0
t
s
0
-a
0 t 0 t
Rys. 5 Rys. 6 Rys. 7
5.
Związek między prędkością a odległością. Wygodnie jest nieraz znać zaleŜność między
odległością i prędkością. MoŜna to uzyskać rozwiązując równanie
(5)
a
v
v
t
=
−
0
6
00503 Kinematyka D
TEORIA
względem czasu t i podstawiając wynik do równania (4):
(6)
s
s
v
v
v
a
a
v
v
a
s
v
v
a
= + ⋅
−
+
⋅
−
= +
−
0
0
0
0
2
0
2
0
2
1
2
2
.
Zatem przy stałym a mamy:
(7)
v
v
a s
s
2
0
2
0
2
−
=
⋅ −
(
)
Często stawiać będziemy s
0
= 0
(8)
v
v
as
2
0
2
2
−
=
To warto wiedzieć:
⇒
ruch po linii prostej ze stałą prędkością opisuje równanie
s
s
v t
= + ⋅
0
,
⇒
*prędkość chwilowa wynosi
v
ds
dt
=
,
⇒
*przyspieszenie określamy według wzoru a
dv
dt
d s
dt
=
=
2
2
,
⇒
przy stałym przyspieszeniu, czyli a = const., mamy:
s
s
v t
at
o
= + ⋅ +
0
2
2
oraz
v
v
a s
s
2
0
2
0
2
−
=
⋅ −
(
) ,
7
00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat:12 Wektorowy charakter prędkości i przyspieszenia.
1.
Wektor prędkości w ruchu prostoliniowym. RozwaŜając takie wielkości jak prędkość i
przyspieszenie naleŜy pamiętać, Ŝe są to wielkości wektorowe. W ruchu prostoliniowym
prędkość jest oczywiście skierowana wzdłuŜ toru (rys. 1).
a A
r
v
B
Rys. 1
Prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnym jest stała zarówno co do wartości jak i
kierunku i zwrotu. W ruchu prostoliniowym zmiennym kierunek i zwrot wektora prędkości
jest stały, ale jego wartość ulega zmianie.
2.
Prędkość w ruchu krzywoliniowym. Stopniując trudności w rozwaŜaniach kinematycz-
nych przejdziemy od ruchu prostoliniowego do krzywoliniowego płaskiego. Rozpatrzmy
ruch krzywoliniowy płaski przedstawiony na rysunku 2.
y
A
∆
s
B
r
r
1
Rys. 2
r
r
2
v
O
x
Niech wektory
r
r
1
i
r
r
2
przedstawiają promienie wodzące odpowiednio w chwilach t
1
i t
2.
Wektor
∆
r
r
r
r
r
r
= −
2
1
jest przyrostem wektora promienia wodzącego w czasie
∆
t = t
2
- t
1
.
Długość tego wektora tym mniej róŜni się od długości przebytej drogi s, im krótszy jest
czas obserwacji
∆
t (rys. 2). WyraŜenie:
(1)
r
r
v
r
t
=
∆
∆
przedstawia wektor prędkości średniej zgodny co do kierunku z wektorem
∆
r
r
.
Analogicznie jak poprzednio, wektor prędkości chwilowej w ruchu krzywoliniowym
( i w kaŜdym innym ruchu) wyraŜamy jako:
(2)
r
r
v
dr
dt
ch
=
8
00503 Kinematyka D
TEORIA
Zatem wektor prędkości chwilowej w danym punkcie toru jest wektorem stycznym z krzywą
określającą tor w tym punkcie (rys. 3).
r
v
1
Rys. 3
r
v
2
3.
Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym. W ruchu prostoliniowym zmiennym występuje
przyspieszenie mające zwrot zgodny ze zwrotem prędkości w ruchu przyspieszonym, a
przeciwny w ruchu opóźnionym. Tak na przykład w rzucie pionowym do góry prędkość
jest stale skierowana pionowo w górę, a przyspieszenie (grawitacyjne) - stale pionowo w
dół. Podczas swobodnego spadku ciała prędkość i przyspieszenie są skierowane zgodnie
w dół (rys. 4).
r
v
a) b)
Ciało porusza się zaczyna spadać
pionowo do góry pionowo w dół.
i ...
r
g
r
v
r
g
Rys. 4
Powierzchnia Ziemi
4.
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. W ruchu krzywoliniowym jednostajnym dłu-
gości wektorów prędkości w róŜnych punktach toru są jednakowe, kierunki ich jednak
ciągle zmieniają się, czyli nawet w ruchu krzywoliniowym jednostajnym wektor prędko-
ś
ci nie jest stały.
Zatem w kaŜdym ruchu krzywoliniowym (jednostajnym i niejedno-
stajnym) moŜna wyznaczyć wektorowy przyrost prędkości, a co za tym idzie przy-
spieszenie. Sposób określania graficznego przyspieszenia pokazuje rysunek 5. Widać, Ŝe
wektor przyspieszenia średniego róŜni się od przyspieszenia chwilowego zarówno warto-
ś
cią, kierunkiem, jak i zwrotem.
9
00503 Kinematyka D
TEORIA
Wniosek:
Prędkość stała oznacza, Ŝe przyspieszenie jest równe zeru, lecz stała wartość
prędkości moŜe lub nie odpowiadać przyspieszeniu równemu zeru .Prędkość ciała poruszają-
cego się po krzywej ze stałą co do wartości prędkością zmienia jednak kierunek i zwrot, a
więc ma ono przyspieszenie. Działanie przyspieszenia odczuwamy, np. gdy samochód mija
szybko zakręt.
v
1
A
∆
v
v
2
B
v
2
∆
v
r
a
∆
v = v
2
- v
1
Rys. 5
WyraŜenie:
(3)
r
r
a
v
t
=
∆
∆
przedstawia wektor przyspieszenia średniego zgodny co do kierunku z wektorem
∆
r
v
.
Z kolei wektor przyspieszenia chwilowego wyrazimy za pomocą wzoru (4):
(4)
r
r
a
dv
dt
=
Koniec
10
00503 Kinematyka D
TEORIA
Notatki