Funkcja wykładnicza
Zakres rozszerzony
Zadanie 1.
Aby obliczyć wartość sumy 2
x
+ 2
–x
wiedząc, że 4
x
+ 4
–x
= 23, możemy postąpić następująco:
•
4
x
+ 4
–x
= 23
⇔
(2
x
+ 2
–x
)
2
– 2 = 23
⇔
(2
x
+ 2
–x
)
2
= 25
•
∧
∈
R
x
2
x
+ 2
–x
> 0 i (2
x
+ 2
–x
)
2
= 25, więc 2
x
+ 2
–x
= 5.
Postępując podobnie, oblicz wartość sumy 2
⋅
3
x
+ 3
–x
, jeśli wiadomo, że 4
⋅
9
x
+ 9
–x
= 60.
Zadanie 2.
Rozwiąż graficznie równanie:
2
x
8
x
3
3
2
1
2
x
−
−
=
+
−
.
Zadanie 3.
Rozwiąż równanie oraz nierówność:
a) 4
3x
– 7
⋅
4
x
+ 6 = 0,
b)
125
27
3
5
5
3
x
1
1
x
≥
⋅
−
+
.
Zadanie 4.
Dla jakich wartości parametru m
∈
R, równanie: 2
2x
+ 2
2x – 1
+ 2
2x – 2
+ ... = (3 – m)
⋅
2
x
– 2m
2
ma
dwa różne rozwiązania?
Zadanie 5.***
Rozwiąż równanie:
6
2
2
3
2
2
3
x
x
=
−
+
+
.
Zadanie 6.
Aby rozwiązać układ równań
=
⋅
=
⋅
18
3
2
12
3
2
x
y
y
x
możemy postąpić tak:
•
mnożymy równania układu stronami 2
x
⋅
3
y
⋅
2
y
⋅
3
x
= 12
⋅
18, a następnie po zastosowaniu
prawa przemienności i łączności mnożenia oraz praw działań na potęgach otrzymujemy
równanie 6
x+y
= 6
3
, skąd x + y = 3, czyli y = 3 – x
•
podstawiamy y = 3 – x do pierwszego równania 2
x
⋅
3
3–x
= 12, skąd mamy
27
12
3
2
x
=
, czyli
2
x
3
2
3
2
=
, czyli x = 2
•
obliczamy y dla x = 2, czyli y = 1.
Układ równań spełnia para (2, 1).
Postępując podobnie, rozwiąż układ równań:
=
⋅
=
⋅
4
5
2
25
2
5
y
x
y
x
.
Zadanie 7.
Dane są funkcje f(x) =
2
m
2
3
1
+
oraz g(x) =
m
7
x
4
x
2
3
−
+
−
, gdzie x
∈
R. Wyznacz te wartości
parametru m (m
∈
R), dla których wykresy funkcji przecinają się w punkcie o odciętej 2.
