Energia kinetyczna i potencjalna członu sztywnego
- Energia kinetyczna
Dla sformułowania równań Lagrange’a manipulatora jako układu wieloczłonowego, potrzebna jest prosta i wygodna postać lagrangianu zawierającego opis energii kinetycznej i potencjalnej układu. Traktując człon sztywny jako przestrzenny zbiór punktów posiadających masę i połączonych ze sobą nieodkształcalnymi bezmasowymi prętami zawarty w przestrzeni ograniczonej geometrią członu o gęstości rozkładu masy
(masie jednostkowej odniesionej do jednostki objętości), w obrębie przestrzeni B zajmowanej przez człon o objętości V można napisać:
x, y z dxdydz m
,
B
gdzie m jest masą członu. Należy zaznaczyć, że B jest obszarem przestrzeni trójwymiarowej zajmowanej przez człon i oznacza granice obszaru całkowania powyższego wyrażenia. W podobny sposób można wyrazić energię kinetyczną członu:
1
1
K
vT x, y, zv x,y,z x, y, z dxdydz v T x, y, zv x,y,z dm
2
2
B
B
gdzie dm opisuje elementarny element masowy w punkcie o współrzędnych x, y, z. Jeśli rozpatrywany człon pozostaje w ruchu ogólnym w przestrzeni, to jego różne punkty z całego obszaru B zazwyczaj poruszają się z różnymi prędkościami, jednak z zachowaniem wzajemnych relacji wynikających z faktu że człon jest sztywny tzn. nieodkształcalny. Chwilowy ruch ogólny ciała sztywnego w przestrzeni trójwymiarowej można rozpatrywać jako chwilowy ruch czystego obrotu względem pewnego chwilowego środka obrotu albo równoważne mu złożenie chwilowego ruchu translacyjnego i chwilowego obrotu względem środka masy członu. Opis matematyczny w tym drugim przypadku jest prostszy i łatwiejszy do interpretacji, gdyż sposób wyprowadzenia równań jest łatwiejszy a uzyskane równania mają prostszą postać i dają się łatwiej analizować.
Wyznaczmy środek masy członu
1
1
1
x
xdm
y
ydm
z
zdm
c
c
c
m
m
m
B
B
B
Co wobec r x,y,z można wyrazić w postaci: 1
r
d
r m
c
m B
Albo
r r
c
dm 0
B
Załóżmy że rozpatrywany człon pozostaje w ruchu dowolnym. Układ współrzędnych zwiążmy ze środkiem jego masy. W trakcie ruchu prędkość dowolnego punktu członu wyrażą się zależnością: v v r
c
Jest to zależność na prędkość punktu względem układu inercjalnego wyrażoną w układzie inercjalnym.
Układ współrzędnych związany ze środkiem masy członu porusza się wraz z członem, więc powyższy wzór należy wyrazić w tym ruchomym układzie współrzędnych. Oznaczając macierz obrotu przekształcenia wektora z tego układu ruchomego do inercjalnego przez R , prędkość punktu o współrzędnych r względem układu ruchomego można wyrazić: R T v r
T
T
T
c
R vc R
R r
Warto tu zauważyć, że przy wyznaczaniu energii kinetycznej nie ma znaczenia w jakim układzie został
wyrażony wektor prędkości, gdyż przy zmianie układu moduł (długość) wektora nie ulega zmianie.
Prędkość dowolnego punktu członu w obszarze B można wyrazić v v S
c
r
gdzie
0
z
y
S
0
z
x
0
y
x
jest skośniesymetryczną macierzą przekształcenia wektora prędkości kątowej między układami współrzędnych.
Energię kinetyczną można więc zapisać w postaci:
1
T
K
v S
c
r v
S
c
r dm
2 B
Rozwijając iloczyn wewnątrz całki dostaniemy cztery wyrażenia,
-
pierwsze
1
1
v T v dm
v T
m
v
c
c
c
c
2
2
B
gdyż prędkość v jest niezależna od zmiennej całkowania i może być wyłączona przed całkę. Wyrażenie c
to przedstawia energię kinetyczną punktu materialnego o masie m umieszczonego w punkcie środka masy C i poruszającego się z prędkością v . Jest to część energii kinetycznej członu dotyczącej jego translacji w c
ruchu z chwilową prędkością v ,
c
-
drugie
1
T
v S d
r m
v S
d
r m
c
1
T
c
0
2
2
B
B
ponieważ
dm
r
0
, gdyż początek układu współrzędnych przyjęto w środku ciężkości członu C.
B
-
trzecie
1
T
T
r S v
0
dm
2
c
B
-
czwarte
1
T
r ST S dm : K
4
r
2 B
Teraz wykorzystując związek, że dla dowolnych macierzy A i B zachodzi TrAB TrBA, gdzie Tr oznacza ślad macierzy, oraz dla dowolnych wektorów a i b zachodzi T
a b Tr T
ab . Wykorzystując te
zależności możemy przekształcić K :
4
1
1
1
K
T S
r
,
4
T T
rr S dm
TrS
T
T
rr dmS
TrS
T
JS
2
2
2
B
B
gdzie J jest macierzą o wymiarach 3 3 zdefiniowaną według zależności J rr T dm
B
Macierz J można przedstawić w postaci pełnej jako
x 2 dm
xydm
xzdm
J xydm
y 2 dm
yzdm
2
xzdm
yzdm
z dm
Wstawiając S w postaci
0
z
y
S
0
z
x
0
y
x
do zależności na K i wyznaczając ślad iloczynu trzech macierzy otrzymamy: 4
T
K
I
4
2
Wyrażenie to stanowi część energii kinetycznej członu dotyczącą jego obrotu w ruchu z chwilową prędkością kątową ,
gdzie I jest macierzą wymiarach 3 3 zdefiniowaną następująco:
y 2 z 2 dm
xydm
xzdm
I xydm
x 2 z 2 dm
yzdm
xzdm
yzdm
x 2 y 2
dm
Wobec tego całkowita energia kinetyczna członu wyraża się zależnością 1
1
K
v T
m
v T
I
c
c
2
2
Pierwszy składnik wzoru stanowi część translacyjną energii kinetycznej członu i jest to energia kinetyczna punktu materialnego o masie m umieszczonego w środku masy poruszającego się z chwilową prędkością v , natomiast drugi stanowi część obrotową energii kinetycznej członu obracającego się względem środka c
ciężkości z prędkością kątową , przy czym ponieważ iloczyn potrójny T I jest taki sam w dowolnym układzie, więc macierz bezwładności I najkorzystniej jest wyznaczać względem układu współrzędnych związanych z członem (jest wtedy niezależna od stanu ruchu), wtedy prędkość kątową
należy wyznaczać również w tym samym układzie współrzędnych związanych z członem. Jeśli więc człon ma w układzie inercjalnym prędkość kątową i R jest macierzą obrotu przekształcającą wektory z 0
układu współrzędnych członu do układu inercjalnego, to prędkość kątowa członu w układzie współrzędnych członu wyrazimy zależnością
T
R
0
Dla manipulatora o strukturze szeregowej (w tym przegubowego) składającego się z n członów prędkości liniowe i kątowe dowolnego punktu na dowolnym członie można wyrazić z wykorzystaniem jakobianu i pochodnych zmiennych przegubowych. Przyjmując jako współrzędne uogólnione zmienne przegubowe manipulatora i oznaczając odpowiednio macierze jakobianowe dotyczące wektorów prędkości liniowych środków ciężkości członów i ich prędkości kątowych przez J
i J
możemy zapisać:
vci
i
v
J
,
R T
i
i q J
i qq
ci
v ci q q
w ostatnim wyrażeniu macierz R T
zapewnia opis prędkości w odpowiednim układzie współrzędnych i q
związanych z członem. Znając masę m i-tego członu manipulatora oraz macierz bezwładności I tego i
i
członu wyznaczoną względem układu współrzędnych równoległego do układu i ale o początku w środku masy członu C całkowitą energię kinetyczną manipulatora można określić z zależności i
n
1
T
T
T
K
q T m
i J
vci q J vci q
J i q Ri qIi R i q J i q q 2
i 1
A więc energię kinetyczną manipulatora można przedstawić w postaci 1
q T
K
D qq
2
gdzie
D q jest macierzą symetryczną dodatnio określoną, zależna od konfiguracji. Macierz tę nazywamy macierzą bezwładności manipulatora.
- Energia potencjalna
Jeżeli rozpatrywać będziemy dynamikę manipulatora z członami nieodkształcalnymi, tj. sztywnymi w polu grawitacyjnym, to energia potencjalna jest zależna jedynie od siły ciężkości. Oznaczając przez g stałą grawitacji (wektor przyśpieszenia w polu grawitacyjnym) energię potencjalną punktu materialnego o masie elementarnej dm w punkcie opisanym wektorem r można opisać przez T
g
dm
r
. Człon o geometrii B
posiada więc energię potencjalną opisaną wzorem:
V
T
g
dm
T
r
g
dm
T
r
g
r m
c
B
B
Jak widzimy energia potencjalna członu o masie m jest zależna od masy i położenia środka ciężkości członu i jest identyczna jak punktu materialnego o takiej samej masie skupionego w środku masy członu.
Energia potencjalna zależy od q i nie zależy od q
, nie zależy więc bezpośrednio od stanu ruchu członu.
Równania ruchu
Załóżmy, że
- energia kinetyczna jest funkcją kwadratową wektora q
o postaci:
n
1
1
K
d
q q :
ij q
q T
i
j
D qq
2 i, j
2
gdzie macierz
D q jest macierzą bezwładności, symetryczną i dodatnio określoną o wymiarach n n dla każdego
n
q R , natomiast
- energia potencjalna V V q jest niezależna od q .
Mechanizmy manipulatorów robotów spełniają powyższe warunki.
Przy wprowadzonych założeniach lagrangian ma postać:
n
1
L K V
d
q q q
V q
i , j
i j
2 i, j
Wobec tego
L
d
q q
kj
j
q k
j
d
L
d
d
kj
d
q q
d
q q
d
q q
q q
kj
j
kj
j kj j
i
j
dt q
dt
,
q
k
j
j
j
i j
i
oraz
L
1
dij
V
q q
i
j
q
2 , q
q
k
i j
k
k
Teraz równania Lagrange’a można zapisać w postaci
d
1 d
kj
ij
V
d
q q
q
q
,
k ,
1 ..., n
kj
j
i
j
k
2
,
q
q
q
j
i j
i
k
k
Zmieniając kolejność sumowania i wykorzystując symetrię zachodzi związek:
d
1
d
kj
kj
d
q q
ki
q q
i
j
i j
2
,
q
,
q
q
i j i
i j
i
j
i stąd
d
1 d
1
d
d
d
kj
ij
kj
ij
q q
ki
q q
i
j
i j
2
2
,
q
q
,
q
q
q
i j
i
k
i j
i
j
k
W ostatniej zależności pod znakiem sumy po prawej stronie występują wyrażenia:
1 d
d
d
kj
ij
c
:
ki
ijk
2 q
q
q
i
j
k
które nazywamy symbolami Christoffela pierwszego rodzaju. Wartości tych symboli przy ustaleniu wskaźnika k spełniają zależność c
c , co zmniejsza nakład pracy przy ich wyznaczaniu. Jeśli ponadto ijk
jik
zdefiniujemy funkcję:
V
,
k
q
k
to równania Lagrange’a można zapisać w postaci:
d
q q
c
q q q
q
,
k ,
1 ..., n
kj
j ijk i j
k
k
j
i , j
Równanie to zawiera trzy rodzaje członów; pierwszy zawiera drugą pochodną współrzędnych uogólnionych, drugi jest formą kwadratową pierwszych pochodnych współrzędnych uogólnionych q której współczynniki mogą zależeć od wektora q, człony zawierające kwadraty współrzędnych uogólnionych są nazywane odśrodkowymi, a zawierające iloczyny różnych współrzędnych uogólnionych q q dla i j są i
j
nazywane składowymi Coriolisa. Trzeci typ członów jest zależny od wektora współrzędnych uogólnionych q ale nie od jego pochodnych. Powstają one przez różniczkowanie zależności na energię potencjalną.
Ostatnią postać równań Lagrange’a zapisujemy zwykle w postaci macierzowej:
D qq
C q, qq gq
w której elementy macierzy
C q, q są opisane zależnościami:
n
n
1 d
d
d
kj
ij
c
c
q q
q
kj
ijk
i
ki
i
2
1
1
q
q
q
i
i
i
j
k