Algebra I
1. Niech P bedzie dowolnym pierścieniem przemiennym z 1. Podzbiór
,
S ⊂ P nazywamy systemem multiplikatywnym gdy 0 /
∈ S oraz S jest
zamkniety ze wzgledu na mnożenie.
,
,
• Zbuduj, naśladujac konstrukcje cia la u lamków, taki pierścień P
,
,
S
oraz homomorfizm τ : P → PS, że każdy element postaci τ (s), s ∈
S jest odwracalny w PS.
• Znajdź warunek na S, przy którym τ jest zanurzeniem.
• Opisz (Z21)S, gdy S sk lada sie z poteg liczby 7 oraz, gdy S sk lada
,
,
sie z poteg liczby 5.
,
,
• Opisz ZS jako podzbiór w Q, gdy S sk lada sie z liczb niepodziel-
,
nych przez 3.
• Opisz K[[x]]S oraz K[x]S, gdy S sk lada sie z elementów niepo-
,
dzielnych przez x.
,
2. Opisz cia lo u lamków dla K[[x]]. Wsk. Szeregi Laurenta.
3. Znajdź nieskończone cia lo charakterystyki p.
4. Pierścień nazywamy lokalnym, gdy ma tylko jeden idea l maksymalny.
Udowodnij, że K[[x]] jest lokalny. Wskaż te pierścienie skonstruowane w zadaniu 1, które sa lokalne.
,
5. Wskaż wszystkie pary izomorficznych pierścieni wśród: Q[x, y]/(x2, y), Q[x, y]/(x2, y2), Q, Q[x, y]/(x, y), Q[x, y]/(xy), Q[x, y]/(xy, y), Q[x]/(x2), Q[x]/(x(x + 1)), Q[x]/(x2(x + 1))
.
Które z tych pierścieni sa dziedzinami. W każdym z tych pierścieni
,
wskaż idea l maksymalny.
1
6. Opisz Z[i]/(1 + i), Z[i]/(2), Z[i]/(3), Z[i]/(5).
7. Niech I ⊂ P bedzie idea lem. Udowodnij, że podzbiór ˜
I w P , z lożony
,
z tych elementów a ∈ P , dla których istnieje n ∈ N, że an ∈ I, jest idea lem. Porównaj P/I oraz P/ ˜
I.
8. Opisz (6)+(15) ⊂ Z, (6)·(15) ⊂ Z, (x2)+(y3) ⊂ K[x, y], (x2)·(y3) ⊂
K[x, y]
9. Zbuduj taki pierścień, który zawiera ”wieże”idea lów z lożona z trzech
,
,
idea lów pierwszych.
10. Udowodnij, że P \ I jest systemem multyplikatywnym wtedy i tylko wtedy gdy I jest idea lem pierwszym.
2