 | Pobierz cały dokument 2003.10.11.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf Rozmiar 51 KB |
Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
10 ⋅ 5 !
4
10
P( X = )
1 =
=
5 !
5
55
9 ⋅ 5 !
4
9
P( X = 2) =
=
5 !
5
55
.......
5 !
4
1
P( X = 10) =
=
5 !
5
55
10
EX
∑ i 1(1−
=
i) = 1 (11⋅55 − ) = 220
385
= 4
i=
55
55
55
1
Zadanie 2
=
=
P( S = k A =
n
) P( AS k
n
) P( S k
n
)
P( )
A
n
n
!
P( A) = ∑ k n k n− k
k
n
k
n k
a
p 1
( − p)
= ∑
−
a
p 1
( − p)
=
n k
n k!( n
k)!
k =0
k =1
−
n
n−1
= ∑
( n − )
1 !
n 1
k
n−
a
p 1
( −
k
p)
= k −1 = l = ∑ − l+1
n− l−1
ap
a
p
1
( − p)
=
( k
)
1 !( n
k)!
l
1
p
k =1
−
−
l =0
−
2
1
1
1
E(
k
n
p
p
n
S A
a
p 1
(
p)
kp 1
(
p)
k
1
l
n
) n
n
= ∑
k
n− k
−
−
k
n k
−
=
∑ −
−
−
= − = =
n
k
ap
p
k
1
k =0
k =1
−
n−
1 −
1
=
p ∑ n −
1
l +1
n− l−1
1 − p
p
( l + )
1 p
1
( − p)
=
(( n − )1 p + )1 = np − p +1
p
l
p
p
l =
1
0
−
Zadanie 3
n
t
P( M ≤ t) =
θ
n
θ
1
100
20
n
n
P θ
( < aM ) = P M >
= 1− = ,
0 05 → a =
=
a
a
95
19
n
θ
1
n
n
P M <
= = ,
0 05 → b = 20 → b = 20
b
b
20
n
n
bM − aM = M 20 −
19
2
2
2
2
2
2
2
ES = var S + ( ES ) = d µ + σ
m
+ µ m
ES = m
µ
2
2
E( SN ) = cov( S, N ) + ESEN = d µ
+ m
µ
cov( S, N ) = E(cov( S, N N ) + cov( E( S N ), E( N N ) = cov( Nµ N ) 2
,
= d
µ
E( 2 2
a S + 2 abS − 2 aSN − 2 bN +
2
N ) =
2
= a ( 2 2
2
2
2
d µ + σ
m
+ µ m )+ 2 ab( m µ )
2
+ b − 2 a( 2
2
d
µ
+ m
µ
)−2
2
2
bm + d + m → min
∂ = 2( 2 2
2
2
2
d µ + σ
m
+ µ m ) a + 2 b m µ
− 2 2
d
µ
− 2
2
m
µ
= 0
∂ a
∂ = 2 a m
µ
+ 2 b − 2 m = 0
∂ b
b = m − a m
µ
(2 2 2
d µ + 2
2
σ
m
+ 2 2 2
µ m ) a + 2 m
µ ( m − a m
µ ) − 2
2
d
µ
− 2
2
m
µ
= 0
2
2
2
2
2 d
µ
+ 2 m
µ
− 2 m
µ
d
µ
a =
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 d µ + 2 σ
m
+ 2 µ m − 2 µ m
d µ + σ
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
µ
m
µ
md µ + m σ − µ d m m σ
b = m −
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d µ + σ
m
d µ + σ
m
d µ + σ
m
2
∂
2
2
2
2
2
= 2 d µ + 2 σ
m
+ 2 µ m
2
a
∂
2
∂ = 2
2
∂ b∂ =2 mµ
a
∂ b
∂
2 2 2
d µ + 2
2
σ
m
+ 2 2 2
µ m
2 m
µ
= 4 2 2
d µ + 4
2
σ
m
+ 4 2 2
µ m − 4 2 2
µ m > 0 bo m>0 bo N
2 m
µ
2
nieujemne
Z tego wynika, Ŝe jest to minimum Zadanie 5
10
L =
6
P ( X > 10 ⋅ ∏ 1
)
θ
i=1
θ −10
ln L = 6 ln
−10ln θ
θ
∂
6 θ
10
10
60 −10( θ −10)
ˆ
=
−
=
= 0 → θ = 16
 | Pobierz cały dokument 2003.10.11.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf rozmiar 51 KB |