Egzamin dla Aktuariuszy z 11 października 2004 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
K [2000⋅ ,1003360 + 2000⋅ ,1002⋅ ,1003359 +...+ 2000⋅ ,1002179 ⋅ ,1003181]+
100
K +
+
5 [2000⋅ ,1003180 ,1002180 + 2000⋅ ,1003179 ,1002181 +...+ 2000⋅ ,1003⋅ ,1002359]=
100
360
é
180 ù
æ ,
1 002 ö
æ ,
1 002 ö
1 − ç
÷
ê
1 − ç
÷ ú
K
360
è ,
1 003 ø
ê
380
180
è ,
1 003 ø
ú
=
⋅ 2000 ⋅ ,1003
+ ,
0 05 ⋅ 2000 ,
1 003
,
1 002
= X
ê
ú
100
1 − ,
1 002
,
1 002
ê
1 −
ú
,
1 003
êë
,
1 003
úû
X = 1500 a
→ K ≈ 11
180;0,0015
Zadanie 2
5
7
23
I = 1000 v + 1500 v + ... + 5500 v 2
Iv = ...
18
1 − v
2
5
7
25
I 1
( − v ) = 1000 v + 500 v
− 5500 v
2
1 − v
100
ODP = ZAD
(2 )
5
150
+ ZAD (2 )
3
200
+ ZAD (2 )
1 + ...
550
+ ZAD (7) =
100
150
200
550
1
=
a +
a +
a + ... +
a
=
− v +
− v + +
− v
=
5
7
9
23
[1000 1( 5) 1500 1( 7) ... 5500 1( 23)]
a
a
a
a
a
30
30
30
30
30
é
− v
ù
5
7 1
18
ê
1000 v + 500 v
− 5500 25
v
ú
1
1000 + 5500
1
2
=
ê
−
10 −
v
ú ≈ 2640
a
ê
2
1
2
− v
ú
30 ê
ú
ë
û
Zadanie 3
5
( 0 + S )
S −
= 5
,
0 S − 25
2
6
,
0 3 [ 5
,
0 ⋅ ,
1 2350 − 2 ]
5 + 3 ⋅ 6
,
0 2 ,
0 [
4
5
,
0 ⋅ ,
1 22 9
,
0 ⋅ 50 − 2 ]
5
ODP :
≈ 3
,
5 5 NAJBLIśEJ A
1
,
1 3
A+B+C=1000000
ì ind ≤ 1000
0 1
000000
ï
Wypłata: í ind ∈ (10000 1
; 5000] 1
000000 + 100 k( ind −1000 ) 0
ïî ind >1500 0 1 000000 1(+ 5, 0 k)
ìï C⋅ 1,1 2 I
ïï A
Zabezpieczenie: í
( ind −1000 )
0 + C ⋅ 1
,
1
2 I
I
ï1200
ï A
B
ï
( ind −1000 )
0 +
( ind −1500 )
0 + C ⋅
î
1
,
1
2 I
II
1200
200
gd
y ind ≤ 10000 → C ⋅ 1
,
1 2 > 1000000
Szukamy maksymalnego k więc w wyŜszych przedziałach trzeba maksymalizować A+B bo A+B są wieksze od C dla duŜych ind Z tego wynika, Ŝe:
1000000
C =
1
,
1 2
ì A i( nd −1000 )0 >100 k i( nd −10000 ) d la i nd∈(10000;150 0
0 ]
ïïí1200
ï A
B
ï
i
( nd −1000 )
0 +
i
( nd −1500 )
0 > 1000000 ⋅
î
k
5
,
0
1200
200
Trzeba zmaksymalizować A z II przedziału ale jednocześnie funkcja A/1200*ind+B/200*ind musi być rosnąca bo inaczej moŜe być nieograniczona strata 1
A + B = 1000000 1
( −
)
1
,
1 2
Stąd
A
B
i f (
′ ind) =
+
> 0 → A + 6 B > 0
1200
200
1
1
Szukamy max A i takiego Ŝeby leŜał na prostej A+B=..... → A = 1000000 1
( + ) 1
( −
)
5
1
,
1 2
Wstawiamy A do II nierówności i stąd k<=1,07
Zadanie 5
X - kapitał
N 1
C =
1
5
,
1 05
N 2
C =
2
10
,
1 05
5
,
0 X - ilość obl. 1
C 1
5
,
0 X - ilość obl. 2
C 2
é 5
,
0 X
N
X
N
1
5
,
0
ù
ê
+
2
ú
ê C
r
C
1
1
( + ) 4
2
1
( + r) 9
ú
é
5
,
0 N
5
,
0 N
0
,
1 5 10
ù
E ê
− ú
1
2
1 = Eê
0
,
1 5 5 +
− ú
1 =
ê
X
ú
ê N 1
(
r
N
r
1
+ ) 4
1
(
2
+ ) 9
ú
ë
û
1.
ê
ú
ë
û
é 5
,
0 ⋅ 0
,
1 5 5
5
,
0 ⋅ 0
,
1 5 10
ù
= Eê
+
− ú
1
êë 1
( + r) 4
1
( + r) 9
úû
æ
1
ö
0,07
1
2.
ç
÷
E
=
4
ç
1
(
r)
dr
4 ÷
ò
−
+
è 1
( + r) ø
0,02
,
0 05
Z 1 i 2 wychodzi około 8,9%
Zadanie 6
∞
X −
k
∞
å a( i) kv
X = å[ a( i) ⋅ k + f ( i)] k k =
v → f ( i) =
k
1
1
v =
∞
å∞
i
k =1
å k
k =1
v
k =1
æ
ö
f ( i) = iç X − å
∞
a( i)
k
kv ÷ gdzie sumę oznaczamy przez N
è
k =1
ø
2
N = a( i) v + 2 a( i) v + ...
2
3
Nv = a( i) v + 2 a( i) v + ...
1
a( i)
a( i) 1
( + i)
i
N =
=
2
i
i
1 + i
é
a( i) 1
( + i) ù
é
1
( + 2
i) ù
f ( i) = i X −
=
ê
i X
2
ú
ê −
4
ú
ë
i
û
ë
i
û
Dalej łatwo przekształcić do postaci: (5) I łatwo wykazać Ŝe wszystkie inne są nierówne (5) Zadanie 7
Korzystamy z róŜniczkowania logarytmicznego: ( uv)′ væ
u
v ′ ö
= u ç v′ln u +
÷
è
u ø
S (
′ t) = 100 −ln(0,2 t) 1−
t
[ln t + ln( ,02 t)]= 0
,
0 2 2
t = 1 → t = 5
min d
l
a t = 5
100
Cena obligacji: = 3 a
+
4 ,
1
; 07 0,5 −1
2
,
1 07
ODP = CENAOBL ⋅1000 + 6000 ⋅ 5 5 ≈ 151600
ì r = 3⋅ 4⋅12
1
ïï r = 5⋅6⋅32
3
í
→ dla k
n
ieparzys y
t ch
.
ï ..
ïî rk = ( k + )2( k + )3 2 k 3
5
7
9
WOR = i = 1
,
0
= 12 v + 270 v +1400 v + 4410 v +10692 v +
11
13
15
17
19
+ 22022 v + 40560 v + 68850 v +109820 v +166782 v 12
æ
,
0 0957 ö
ç1+
÷ = 1+ r → r o
bliczamy
è
12
ø
X = r + r + r + r = 19 ⋅ 20 ⋅172 + 21⋅ 22 ⋅192 + 400
17
18
19
20
æ WOR ö
*
t
lnç
÷
æ 1 ö
è X ø
*
X ç
÷ = WOR → t =
≈ 11
3
, wszystk d
o ane
è1+ r ø
æ 1 ö
lnç
÷
è1+ r ø
Zadanie 9
Liczymy na piechotę w miarę szybko: STAN K
(0) = 100
STAN P )
1
(
= 110
K )
1
(
= 3 + ,
0 02 ⋅100 = 5
W )
1
(
= 4
STANK )
1
(
= 109
...
...
STANP(7) ≈ 197,20085
K (7) = 5
,
6 8547003
W (7) = 28
STANK (7) ≈ 21 ,
8 6153
STANP )
8
(
≈ 24 ,
0 4769
K
)
8
(
=
7 (
tu p
rzekracz j
a a)
W(8) = 0
STANK(8) = 233,47691 8
9
ODP = STANK )
8
(
⋅ 1
,
1 2 + 36 ⋅ 1
,
1 − 7 ⋅ 1
,
1 − 7 ≈ 30 ,
7 4
r - rata kredytu a)
RATA )
1
(
= 35000 + r ⋅105000 ⋅1
2
r ≅ J (
1
,
0
;
1
,
0
5
) jednostajny
RAT (
A )
2 = 35000 + r ⋅105000 ⋅
3
Er = 0,125
1
RATA )
3
(
= 35000 + r ⋅105000 3
OD( )
A = 2 r ⋅105000
K = 5
,
3 / US
D K ≅
5
,
3
(
+ 1,
0 i ,
0
; 4 + ,
0 2 i)
0
i
KWOTA KREDYTU = 30000 K = 105000
0
RATA )
1
(
= 10000 K + 0
,
0 5 ⋅ 30000 K ⋅1
1
1
2
RAT (
A )
2 = 10000 K + 0
,
0 5 ⋅ 30000 K
2
2 3
1
RATA )
3
(
= 10000 K + 0
,
0 5 ⋅ 30000 K
3
3 3
OD( B) = 11500 K + 11000 K + 10500 K −105000
1
2
3
E( )
A = A = 210000 ⋅ 1
,
0 25 = 26250
B = 11500 ⋅ ,
3 6 + 11000 ⋅ ,
3 7 + 10500 ⋅ 8
,
3 −105000 = 17000
B ≈ ,065
A