Liczby zespolone
1. Działania na liczbach zespolonych.
2. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów.
3. Postać algebraicza oraz trygonometryczna liczby zespolonej.
Przykłady
Zadanie. Dane są dwie liczby zespolone z 1 = 3 + 2 i oraz z 2 = 1 − i. Oblicz: z 1 + z 2, z 1 − z 2, z 1 · z 2 oraz z 1 : z 2.
Rozwiązanie.
(3 + 2 i) + (1 − i) = (3 + 1) + (2 − 1) i = 4 + i, (3 + 2 i) − (1 − i) = (3 − 1) + (2 + 1) i = 2 + 3 i, (3 + 2 i)(1 − i) = 3 − 3 i + 2 i − 2 i 2 = 3 − 3 i + 2 i + 2 = 5 − i, 3 + 2 i
(3 + 2 i)(1 + i)
3 + 3 i + 2 i + 2 i 2
3 + 3 i + 2 i − 2
1 + 5 i
1
5
=
=
=
=
=
+
i.
1 − i
(1 − i)(1 + i)
12 − i 2
1 + 1
2
2
2
Odpowiedź. z 1 + z 2 = 4 + i, z 1 − z 2 = 2 + 3 i, z 1 · z 2 = 5 − i oraz z 1 : z 2 = 1 + 5 i.
2
2
Zadanie. Wyznacz pierwiastki równania stopnia drugiego x 2 − x + 1 = 0.
Rozwiązanie. Ponieważ ∆ = b 2 − 4 ac = − 3, więc rozważane równanie nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Wyznaczymy zatem pierwiastki zespolone. Skoro
√
√
√
∆ =
− 3 = i 3 ,
to
√
√
√
√
1 − i 3
1
3
1 + i 3
1
3
x 1 =
=
−
i,
x 2 =
=
+
i.
2
2
2
2
2
2
Odpowiedź. Równanie x 2 − x + 1 = 0 posiada dwa pierwiastki zespolone:
√
√
1
3
1
3
x 1 =
−
i
oraz
x 2 =
+
i.
2
2
2
2
Liczby zespolone
2
Zadanie. Wyznacz pierwiastki wielomianu W ( x) = x 3 + 3 x 2 + 4 x + 2.
Rozwiązanie. W celu wyznaczenia pierwiastków wielomianu W skorzystamy z twierdzenia Bézouta. Ponieważ W ( − 1) = − 1 + 3 − 4 + 2 = 0, więc x 1 = − 1. Dzieląc wielomian W przez dwumian x + 1, otrzymujemy wielomian P ( x) = x 2 + 2 x + 2, którego wyróżnik ∆ P = − 4.
√
A zatem
∆ P = 2 i oraz
− 2 − 2 i
− 2 + 2 i
x 2 =
= − 1 − i,
x 3 =
= − 1 + i.
2
2
Odpowiedź. Wielomian W ( x) = x 3 + 3 x 2 + 4 x + 2 posiada trzy pierwiastki: jeden rzeczywisty x 1 = − 1 oraz dwa zespolone x 2 = − 1 − i oraz x 3 = − 1 + i.
Zadanie. Zapisz liczbę zespoloną z = − 1 + i w postaci trygonometrycznej.
Rozwiązanie. Mamy
√
q
y
x = − 1 ,
y = 1 ,
r =
x 2 + y 2 =
2 ,
tg θ =
= − 1 .
x
3 π
Ponieważ liczba z = − 1 + i leży w drugiej ćwiartce płaszczyzny zespolonej, więc θ =
.
4
Zatem
√
3 π
3 π
z =
2 cos
+ i sin
.
4
4
y
z = − 1 + i
3 π
√
θ = 4
2
x
√
3 π
3 π
Odpowiedź. Postać trygonometryczna liczby − 1 + i jest równa 2 cos
+ i sin
.
4
4
π
π
Zadanie. Zapisz liczbę zespoloną z = 2 cos
+ i sin
w postaci algebraicznej.
3
3
Rozwiązanie. Ponieważ
√
π
3
π
1
sin
=
oraz
cos
=
,
3
2
3
2
√
to z = 1 + i 3.
√
π
π
Odpowiedź. Postać algebraiczna liczby zespolonej 2 cos
+ i sin
jest równa 1 + i 3.
3
3
Liczby zespolone
3
Zadania
Zadanie 1. Dane są dwie liczby zespolone z 1 = 1 + 3 i oraz z 2 = 2 − 4 i. Oblicz: (a) z 1 + z 2;
(b) z 1 − z 2;
(c) z 1 · z 2;
z 1
(d)
.
z 2
Zadanie 2. Wykonaj następujące działania na liczbach zespolonych: (a) (4 − i) + ( − 5 + 2 i) =
(b)
1 + 1 i 6 − 18 i − 0 , 25 · ( − 4 + 8 i) =
2
3
√
(c) (2 + i)2 + (1 − i)( − 1 + i 3) =
5
1 − i
(d)
+
=
i
1 + i
Zadanie 3. Wyznacz pierwiastki następujących wielomianów: (a) W ( x) = x 2 + 2 x + 5; (b) W ( x) = x 3 − 2 x 2 + 10 x; (c) W ( x) = x 3 − x 2 + x − 1; (d) W ( x) = x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1; Zadanie 4. Zapisz podane liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: (a) z = − 2 i;
√
(b) z = − 3 + i;
√
(c) z = − 3 − 3 3 i; (d) z = 2 − 2 i.
Liczby zespolone
4
Zadanie 5. Zapisz podane liczby zespolone w postaci algebraicznej:
π
π
(a) z = 2 cos
+ i sin
;
6
6
2 π
2 π
(b) z = 4 cos
+ i sin
;
3
3
√
5 π
5 π
(c) z =
3 cos
+ i sin
;
4
4
√
(d) z =
2(cos π + i sin π).
Odpowiedzi
Zadanie 1 (a) 3 − i; (b) − 1 + 7 i; (c) 14 + 2 i; (d) − 1 + 1 i.
2
2
√
√
Zadanie 2 (a) − 1 + i; (b) 10 − 9 i; (c) (2 +
3) + (5 +
3) i; (d) − 6 i.
Zadanie 3 (a) x 1 = − 1 + 2 i, x 2 = − 1 − 2 i; (b) x 1 = 0, x 2 = 1 + 3 i, x 3 = 1 − 3 i; (c) x 1 = 1, x 2 = i, x 3 = −i; (d) x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = i, x 4 = −i.
Zadanie 4 (a) 2(cos 3 π + i sin 3 π ); (b) 2(cos 5 π + i sin 5 π ); (c) 6(cos 4 π + i sin 4 π ); 2
2
6
6
3
3
√
(d) 2 2 cos 7 π + i sin 7 π ).
4
4
√
√
√
√
√
Zadanie 5 (a)
3 + i; (b) − 2 + 2 3 i; (c) − 6 −
6 i; (d) − 2.
2
2