A. Zaborski, No no graniczna przekroju Graniczna no no spr ysta i plastyczna przekroju Przykład 1

Okre li stosunek wska nika plastycznego do wska nika spr ystego dla przekroju: s = W W

pl

spr .

3

1

3

1.5

2

4

Rozwi zanie:

pole powierzchni: F = 15.5 cm2

rodek ci ko ci: z c = 2.60 cm główny centralny moment bezwładno ci: 4× 23

3

3

×

×

J y =

+ 4× 2×( .

2 6 − )2

.

1 5 3

1 +

+ .

1 5×3× ( .

2 6 − .

3 5)2 3 1

+

+ 3×( 6

.

2 − 5

.

5 )2 = 5 .

5 65 cm4

12

12

12

wska nik spr ysty:

J y

55 6

. 5

Wspr =

=

= 16 3

. 7 cm3

z

3 4

.

max

poło enie osi oboj tnej w stanie granicznym plastycznym (o przechodzi przez doln półk ): 0 5

. ×15.5

z 0 =

− 2 6

. = − 6

.

0 625 cm

4

wska nik plastyczny:

.

1 9375

W pl = 2 1

S y = 2× .

1 9375× 4× 2 6

. −

= 2 .

5 28 cm3

2

wynik ko cowy:

W

s =

pl = .1544

Wspr

Podobne wyniki uzyskujemy z programu „przekrój” ( A. Zaborski) Przykład – obci enie dwuparametrowe Okre li no no graniczn spr yst i plastyczn belki jak na rysunku: q

P

7a

a

2 l

l

l

10a a

M1

a

5a

M

M3

2

Rozwi zanie:

poło enie osi centralnej i osi oboj tnej: z = 6 5

. a, z = 7 a, W = 90 a 3 R

c

0

A. Zaborski, No no graniczna przekroju ekstremalne momenty zginaj ce: 2

P

P

P

M 1 = l

2 ( P − ql), M ( x 2

= ) =

, (dla 0 ≤

≤ l

2 ), M 3 = − Pl

q

2 q

q

belka zamieni si w mechanizm, je li utworzy si jeden przegub plastyczny - zakładamy jego istnienie w kolejnych przekrojach ekstremalnych momentów, otrzymuj c: M

,

1 ≤ M

l

2 ( P − ql) ≤ WRe 1a

3a

P 2

P

M

2a

2 ≤ M

≤ W e

R , je li ponadto 0 ≤

≤ l

2 ,

s

2 q

q

1b

M

2b

0.5

3 ≤ M

Pl ≤ WRe

Po wprowadzeniu bezwymiarowych parametrów obci e :

-1 -0.5

p

Pl

ql 2

0.5 1

p ≡

, s ≡

,

WR

WR

e

e

ograniczenia mo emy zapisa :

3b

p − s ≤ 5

.

0 , sk d:

p − s ≤ 0. ,

5

p ≥ s, (1a)

oraz:

− p + s ≤ 0 , 5

.

s > p, (1b), 2

p ≤

P

2 , (2a), gdy 0 ≤

≤ 2 , (2b)

s

s

p ≤ 1

p ≤ ,

1

p ≥ −1 , (3).

Ograniczenia przedstawiono na wykresie. Warunek (2b), istnienia ekstremum momentu w przekroju (2), oraz warunek (2a), przekroczenia no no ci w tym przekroju, daj ograniczenia poza zaznaczonym obszarem: (2a) ma zastosowanie jedynie dla spełnionego (2b), tj. wtedy gdy linia (2a) jest "ponad" (2b) - na lewo i na prawo od zaznaczonego obszaru. Tak wi c oba warunki (2) ł cznie nie wnosz dodatkowego ograniczenia na rozwi zanie i obszar zakreskowany na wykresie wyznacza zakres dopuszczalnych obci e .