Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1) PRZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
1. Niech S i T będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wykaż, że (a) Jeśli dim S = dim V , to S = V .
(b) Jeśli dim V = n oraz { v 1, . . . , vk} jest bazą S, to istnieją wektory vk+1, . . . , vn ∈ V takie, że { v 1, . . . , vn} jest bazą przestrzeni V .
(c) Jeśli { v 1, . . . , vk} jest bazą S zaś { vk+1, . . . , vn} jest bazą T , to { v 1, . . . , vn} jest bazą V wtedy i tylko wtedy, gdy V = S ⊕ T .
2. Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech { u 1, . . . , un} będzie bazą U , zaś { v 1, . . . , vn}
dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wykaż, że: (a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U → V takie, że f ( ui) = vi dla i = 1, . . . , n.
(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy { v 1, . . . , vn} jest bazą V .
(c) U ∼
= V wtedy i tylko wtedy, gdy dim U = dim V .
3. Niech K będzie ciałem, A = [ aij] ∈ Knm oraz b = [ bi] ∈ Kn. Oznaczmy, przez A u macierz, której początkowych n kolumn to kolumny macierzy A a ostatnią jest kolumna b = [ bi]. Rozważmy układ m równań liniowych o n niewiadomych.
X
1
.
A · . = b
(?)
.
Xn
Wykaż, że:
(a) Układ (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r( A) = r( A u).
(b) Jeśli n = m oraz det A 6= 0, to układ (?) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
(c) Jeśli b = 0, to zbiór rozwiązań układu (?) jest podprzestrzenią przestrzeni Kn o wymiarze równym n − r( A).
4. Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś { v 1, . . . , vn} bazą V . Wskaż naturalny izomorfizm V → Kn.
5. Niech V = R[ X] n = { f ∈ R[ X] : deg f ≤ n}, natomiast przekształcenie δ : V → V niech przyporządkowuje wielo-mianowi jego pochodną. Pokazać, że δ jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znaleźć macierz δ w bazie: (a) (1, X , X 2, . . . , X n), ( X − c)2
( X − c) n
(b) (1, X − c,
, . . . ,
), gdzie c jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
2!
n!
6. Macierz przekształcenia ϕ : K 3 → K 3 w bazie (ε1,ε2,ε3) ma postać
∗
∗
0
∗
∗
0
∗
∗
0
(a)
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0 ,
(b)
0 ,
(c)
0 .
∗
∗
1
∗
∗
0
0
0
∗
Jakie własności przekształcenia ϕ można stąd odczytać ?
7. Obliczyć wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci
− a
n−1
− an−2 · · ·
− a 1 − a 0
0
0
· · ·
0
− a 0
1
0
· · ·
0
0
1
0
· · ·
0
− a 1
0
1
· · ·
0
0
;
(b) 0
1
· · ·
0
− a 2 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
· · ·
1
0
0
0
· · ·
1
− an−1
Czy każdy wielomian unormowany, z dokładnością do znaku, może być wielomianem charakterystycznym jakiegoś endomorfizmu ?
8. Niech ϕ : R[ X]3 → R[ X]3 będzie przekształceniem danym wzorem ϕ( f ( X)) = (( X +3) f ( X))0. Sprawdzić, że ϕ jest przekształceniem liniowym i obliczyć jego wartości własne i wektory własne.
−3 0 2
9. Dana jest macierz A = −
4
1
2. Znaleźć taką macierz odwracalną C ∈ M 3(R) aby macierz C−1 AC była
−4
0
3
diagonalna. Obliczyć A 2001.
1