9. Rzutowanie ( projekcja)
Dane:
• !"#xyz.
• "! $ Π).
%!& '
Dwa sposoby rzutowania.
Π
′
′
Punkty i ! (
!"# )!"#
*!" " !"# ++
obrazami rzutowanych punktów.
Π
′
′
- ,",
Punkty i ! (
!"#",+"!"# ,!"
$- ,",.
*!" " !"# ++
obrazami rzutowanych punktów.
/ 0 )
1 (!(&!!2
• ",+ +
prostym (rzut pionowy),
• ",+ +
!(+ !$ -!.
9.2.1. Rzut pionowy
* ",+ +
prostym.
*!2
•
• rzutnia Πx-y)
y
(1,2,-2)
(2,2,-2)
(1,2,-1)
(2,2,-1)
(2,1,-2)
(1,1,-1)
(2,1,-1)
x
z
%- ",+ +
!3 !)+ ,+"
,+" + ! !
) ! ,)
!,,+ &
=
=
=
-" ) 2
•
!
•
punktami.
Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.
,+", "!!$x-y), (x-z), (y-z) ,
+4"!! "# )3 (!&
rzuty z przodu, z boku, z góry itd.
"#$#$#
* ",+ +!
(+ !
% & ) '
Π
z
α
x
Φ
! , " & +
) "+α & !
) -&5
6!&3( = + Φ
= + Φ
,+"
α = =
i dalej
=
!,
= + Φ
= + Φ
"+Φ ) -& = α .
0 -) (&(
!"#, !"#,
[ ]= [ ]⋅Φ
gdzie
Φ = Φ Φ
!-", ) (
&",
y
Π
Φ x
*!2
y
(1,2,2)
(2,2,2)
(1,2,1)
(2,2,1)
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
z
x
1.
= α =
α ≈
(rzut kawaleryjski)
Φ =
Φ =
2.
= α =
α ≈
(rzut gabinetowy)
Φ =
Φ =
7!! ,++ ",
! "!!+-"#
9.3. Rzutowanie perspektywiczne Albrecht Durer (1471- 1528)
%& '()$)#
! "#$
# $# %$%% ##
# % # %&% #
& " &$% $#
% $ ## ' $
% $ # $% # #
#
# & &%#
# &% % %
& &% $ ( %
&% $ )$ !&% #
% $ & &%
*# # % % $ %#
+ %# " & $% $
$ # $ $& &% #
## &, &
## % $% +$
% &% #
# % &% $#
#%# &#% &
&% - # %# %
# % %# # !
% . % %# & %& $%
& $ % $% #%#
. #/
przez Durera pokazuje rysunek.
drzwiczki
ucho
rama
)&
(xp ,yp)
(x,y,z)
krótkie
nici
" (
%!&+ ! !
(x, y, z), !,) (xp, yp) przy
"!8'
Π
z
x
′′′
d
−
rodek projekcji
′′′ , 8
parametrycznych
′ = −
′ = −
≤ ≤
′ = − +
! !"!&
(! " "!& u, dla którego
′ = − +
=
= +
* ,+" " u 8
!"!"# ,+"!"#
′′′ !, 3
=
+
=
+
=
,+ !"#
"!& !")
%!)+,+ !!"'
*!2
y
(1,2,2)
(2,2,2)
(1,2,1)
(2,2,1)
(2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
z
x
* , ) -&d.
d = 3
d = 20
Gdy → ∞ !"!,
pionowym.
9.4. Rzutowanie - przypadek ogólny
"# ("#(
"!4$x-y).
9 &)!,! ",'
% ! '
2
1. ! , +! !"#
!"# (world coordinates) i opisany w tym
2. !"# !"# !
, ) !"# +!"#
! $viewing coordinates).
obiekt
0 +2
• 6& !"#
obserwatora ( ),
• ! & $ !".
"! − .
!"# !"#( )do
!"# ( )
( & ! "! ",
[ ] = [ ]⋅
):,"+ ",
! !"!& " : 3 , "!
macierzy odpowiednich transformacji elementarnych
(!! &;
1. * "-
- !"# !"#
2. 7 )
3! - "!4
− .
3. 7 3! -
! + .
4. 7 , aby osie
i !! i .
7 +! ( !"!&
podobnie jak dla poprzednia omówionego zadania
,
%!)+,+ !!"(!"#
(8'
Klasyfikacja rzutów perspektywicznych:
!!",<"
!"# !"#( ), które
",+ − .
1. Perspektywa jedno-punktowa (rzutnia − (!
"!4 − ).
= !"! 3!"#(+
!!"# -"),+
,!"$ !( -".3
(vanishing point).
/ *!<
!"# !"#( )
",+ − .
= !"! -" ,!
!( -"
2. *!,< >!
!"# !"#( )
",+ − .
! ! ( !"!& !
!( -"