Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 18
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania
zadania odpowiedź
1.
C.
8 − a 5 = 3
− a 5 = −5
5
5 5
a =
=
= 5
5
5
2.
B.
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.
2 a = a + b
2 a − a − b = 0
a − b = 0
3.
B.
S = ,
1
(
)
0 – współrzędne środka okręgu.
Odległość punktu S od prostej x = 3 jest równa 2 .
Aby prosta i okrąg miały dwa punkty wspólne, r > 2.
4.
C.
Wzór funkcji: f ( x) = ( x + 4)( x − 6) + w = x 2 − 2 x − 24 + w .
− ( 2
− )
Pierwsza współrzędna wierzchołka:
= 1.
2
f
)
1
(
= −2 ⇒ 1− 2 − 24 + w = −2
w = 23
f ( x) = ( x + 4)( x − 6) + 23
5.
C.
2
1
1
1
−
−
−
2
a
− 5
2
a
+ 5 2
= a
− 25
1
= −
a
− 25
6.
A.
2 a + 3 > 1
2 a > −2 ⇒ a > −1
7.
B.
4
cos α
4
+ sin α
2
= (cos α
2
+ sin α 2
2
) − 2 cos α
2
sin α
2
= 1− 2sin α cos
1 − 2sin2 α cos2 α = 1 − 2 ⋅ (
)
5
,
0
2 = 5
,
0
8.
D.
Ze wszystkich dziesięciu cyfr moŜna utworzyć
8
10 numerów
telefonicznych ośmiocyfrowych. Ośmiocyfrowych numerów z dziewiątką na pierwszym miejscu jest
7
10 .
1
Numerów ośmiocyfrowych bez dziewiątki jest: 8
7
10 −10 .
9.
B.
1
1
−
1
−2
1 2
1
1
+ 2 −
= 2 + − = 2
2
16
4
4
1
33 % m = 2
3
100
1
⋅
m = 2
3
100
m = 6
10.
C.
Wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną.
x ≥ ,
0 x + 2 ≥ 0
Suma będzie miała najmniejszą wartość dla x = 0 i będzie równa 2 .
11.
B.
6 − 2 x = 1
6 − 2 x = 1 lub 6 − 2 x = −1
− 2 x = −5 lub − 2 x = 7
−
x =
5
,
2 lub x = 5
,
3
5
,
3 − 5
,
2
= 1
12.
A.
Największą wartość y = 3 funkcja osiąga dla x = 0 . Najmniejsza wartość to y = −1 dla x ∈ , 2 ∞) .
Zbiór wartości: − ,
1 3 .
13.
D.
(2 m − 4) x + 2 y + 1 = 0
2 y = −(2 m − )
4 x −1/ : 2
y = −( m − 2) x − 5
,
0
tg45 = 1
− ( m − )
2 = 1
− m + 2 = 1
− m = 1
−
m = 1
14.
B.
PEFG = 4 2
= k , k = 2 – skala podobieństwa PABC
2
16
EF = 32
15.
D.
Wielomian stopnia trzeciego, którego pierwiastkami są liczby a, b, c , moŜna zapisać w postaci: W ( x) = m( x − a)( x − b)( x − c) .
Jeśli m = ,
2 a = − ,
3 b = ,
1 c = 4 , to W ( x) = 2( x + ) 3 ( x − )
1 ( x − 4) .
16.
B.
2
r
π = 4π ⇒ r = 2 – promień koła
a − długość boku trójkąta
h – wysokość trójkąta
2
2
3
3
r =
h =
⋅
a =
a
3
3
2
3
3 a = 2
3
6
6 3
a =
=
= 2 3
3
3
17.
A.
AB – krótsza podstawa
AB = 10
CD – dłuŜsza podstawa
CD = 16
BE – wysokość poprowadzona z wierzchołka B
B
∆ EC prostokątny,
∠ EBC = 30
EC
sin 30 =
CB
1
3
=
⇒ CB = 6
2
CB
Obwód: 10 + 16 + 6 + 6 = 38 .
18.
B.
Pole figury jest równe 8 (jest to trójkąt), gdy ograniczone jest przez proste y = 2 x − ,
4 y = −2 x − ,
4 y = 0 .
Wykresy prostych y = 2 x − ,
4 y = −2 x − 4 leŜą powyŜej wykresu funkcji f ( x)
2
= x − 4 .
3
Zatem pole danej figury jest większe od 8 .
19.
B.
Prawdopodobieństwo wyboru kaŜdej z kapsuł jest takie samo, 1
zatem jest równe
.
2
1 1
1 2
1
1
9
P( )
A =
⋅ + ⋅ = + =
2 2
2 5
4
5
20
20.
C.
r – promień kuli
4 π 3 1
r =
π
3
6
3
1
r =
8
1
r =
2
Pole powierzchni kuli:
2
2
1
4π r = 4π ⋅ = π ≈ 1
,
3 4 – liczba niewymierna większa od 3 .
2
21.
C.
a – długość krawędzi sześcianu
Objętość sześcianu: 3
a .
3
a
2
Objętość czworościanu foremnego:
.
12
3
a
12
12 2
=
=
= 6 2
3
a
2
2
2
12
22.
C.
a,
5
,
0 a, 025 a – trzy pierwsze wyrazy ciągu a + 5
,
0 a + ,
0 25 a = − 5
,
3
a = 2
−
Czwarty wyraz: ( 2
− ) ⋅ ( )
5
,
0
3 = − ,
0 25 .
23.
A.
2
4log 5
2
= 22log 5
2
= (2log 52) = 52 = 25
24.
A.
3 x, 4 x – długości wysokości
a, b – długości boków
3 xa = 4 xb
3 ax = 4 bx = 24 ⇒ a = , 4 b = 3 , poniewaŜ długości boków wyraŜają się liczbami naturalnymi i 3 x > , 5 4 x > 5 .
4
D.
Kąty KEL i LAK są kątami wpisanymi w okrąg, opartymi na tym samym łuku, mają więc równe miary.
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązania
zadania
punktów
26.
Wyznaczenie róŜnicy ciągu:
1
a – pierwszy wyraz ciągu,
r – róŜnica ciągu,
− r = a − a = −2 ⇒ r = 2 .
3
4
Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciągu:
1
a + a = a + r + a + 2 r = 2 a + 3 r = , 0
2
3
2 a + 6 = ,
0
a = 3.
27.
Obliczenie wartości logarytmów:
1
3 x
log
8 = x ⇔ (2 2) x = 8 ⇔ 2
= 23
2
⇔ x = 2,
2 2
z
2
1
1
log
,
0 25 = z ⇔ = ⇔ z = 2 .
1
2
2
2
Obliczenie liczby a i uzasadnienie, Ŝe nie jest to liczba ani 1
pierwsza, ani złoŜona:
a = 2 − 2 = 0 ,
Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani złoŜoną.
28.
Przekształcenie równania:
1
2 cosα − 2 = 0 ,
2 cosα = 2 ,
2
cosα =
.
2
Podanie miary odpowiedniego kąta:
α = 45 .
1
29.
Przedstawienie wyraŜenia pod znakiem pierwiastka w postaci 1
wzoru skróconego mnoŜenia:
5
6 3 + 12 = 3 + 6 3 + 9 =
3
( + 3) .
Wykorzystanie własności wartości bezwzględnej: 1
3
( + 3)2 = 3 + 3 = 3 + 3 , bo 3 + 3 > 0 ,
3 + 3 > 3 + 1 = 4 , bo 3 > 1 .
30.
Podniesienie obu stron równości do kwadratu:
1
1 + a = 2 – obie strony są liczbami dodatnimi, a
2
1
2
+ a = 2 ,
a
1
2
+ a + 2 = 4 ,
2
a
1
2
+ a = 2 .
2
a
Zapisanie odpowiedniej równości:
1
1 + 2
1
a = 2 =
+ a .
a 2
a
31.
Zapisanie i przekształcenie równania do najprostszej postaci: 1
n( n − )
3
[za to zadanie
= 35,
przewidziano
2
łącznie 4 pkt, a tu
2
n − 3 n − 70 = 0 .
tylko 2,
dwóch
brakuje!!! ]
Obliczenie wyróŜnika i podanie liczby boków:
1
∆ = 9 − 4 ⋅ (−70) = 289 ,
3 + 17
n =
= 10 ( n > 0) .
2
32.
Rozwiązanie nierówności:
1
x − 3
x −1
−
< 0 ,
2
3
(
3 x − )
3 − (
2 x − )
1 < ,0
6
x < 7.
Wypisanie liczb naturalnych naleŜących do zbioru rozwiązań 1
nierówności: ,
0 ,
1 ,
2 ,
3
,
4
,
5 6 .
6
Wypisanie par sprzyjających zdarzeniu: 1
( ,
0 4), ,
1
(
)
5 , ( ,
2 6) i określenie ich liczby: 3.
Określenie liczby zdarzeń elementarnych: 6 ⋅ 7 = 42 .
1
3
1
Obliczenie prawdopodobieństwa: P( )
A =
.
42
33.
Zapisanie równań wynikających z treści zadania: 1
a – długość jednej z krawędzi,
q – iloraz ciągu,
a > ,
0 q > 0 ,
aq – długość drugiej krawędzi,
2
aq – długość trzeciej krawędzi,
2
a ⋅ aq ⋅ aq = 2 ,
7
2
a + aq + aq = 1 .
3
Wyznaczenie q z pierwszego równania: 1
3
3
a q = 2 ,
7
3
aq = 27,
aq = ,
3
3
q =
.
a
3
1
Podstawienie q =
do drugiego równania i zapisanie równania w
a
najprostszej postaci:
9
a + 3 +
= 1 ,
3
a
2
a + 3 a + 9 = 13 a,
2
a −10 a + 9 = 0.
Obliczenie wyróŜnika: ∆ = 100 − 36 = 64 i obliczenie 1
pierwiastków równania kwadratowego: a = 1 lub a = 9 .
Obliczenie długości krawędzi: ,
1 ,
3 9 .
1
Wskazanie najkrótszej krawędzi: 1.
1
7