Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

rakter ś wiatła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długo-

ścią fali.

Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J

Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi

2 E

2

k

⋅ 6

.

1 ⋅10 1

− 7 J

v =

=

= 9

.

5 ⋅106 m s

m

1

.

9 ⋅10−31 kg

Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi

h

h

.

6 6 ⋅10 3

− 4 Js

λ = =

=

= 2

.

1 ⋅10 1

− 0 m = 12

.

0

nm

v

p

m

1

.

9 ⋅10−31⋅ 9

.

5 *106 kgm s

Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.

MoŜna więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie doświadczenie przepro-wadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku włókno

wiązka

detektor

padająca

ϕ

wiązka

kryształ

odbita

przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem.

Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem ϕ. NatęŜenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy róŜ-

nych napięciach przyspieszających. Okazuje się, Ŝe prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V.

JeŜeli skorzystamy z prawa Bragga moŜemy obliczymy wartość λ, dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach

34-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

λ = 2 d sinθ

Dla niklu d = 0.091 nm. PoniewaŜ ϕ = 50° więc

θ = 90° - ϕ/2 = 65° (rysunek obok). Długość fali ob-

liczona w oparciu o te dane wynosi:

ϕ

λ = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm

θ

Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV)

obliczymy długość fali de Broglie’a analogicznie jak

d

w przykładzie 1

= h

λ

= .

0

nm

165

p

Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, Ŝe w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.

Dzisiaj wiemy, Ŝe inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane, wykazują ce-chy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techni-ką eksperymentalną uŜywaną do badania struktury ciał stałych.

Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego ich charakteru.

34.2

Struktura atomu i fale stoją ce

JeŜeli na ruch fali nie ma Ŝadnych ograniczeń to fala moŜe mieć dowolną długość.

Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie ograniczony przez nałoŜenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na obu końcach (np. struna w skrzypcach).

Występują wtedy dwie waŜne róŜnice:

• ruch jest teraz opisywany przez falę sto-

j

n = 1

ą cą (a nie bieŜącą),

• mogą występować tylko pewne długo-

ści fal tzn. mamy do czynienia z kwan-

0

l

tyzacją długości fali wynikającą z ogra-

n = 2

niczeń nałoŜonych na falę (rysunki

obok).

0

l

Na rysunku tych widać trzy pierwsze stany

kwantowe dla drgającej struny.

JeŜeli więc ruch elektronów jest ograniczo-

ny w atomach to moŜemy się spodziewać

n = 3

przez analogię, Ŝe:

• ruch elektronów moŜe być opisany przez

0

l

stoją ce fale materii,

• ruch ten zostaje skwantowany.

34-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Rysunek obok przedstawia stojącą falę ma-

terii związaną z orbitą o promieniu r. Dłu-

gość fali de Broglie’a została dobrana tak,

aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą

liczbę n fal materii.

r

Wtedy otrzymujemy

π

2 r = n λ

czyli

h

π

2 r = n

p

Prowadzi to natychmiast do

L = pr =

h

n

n= ,

1

,

3

,

2

....

2π

Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, Ŝe elektron jest repre-zentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich warunków brzegowych.

34.3

Mechanika falowa

W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) min. w oparciu o załoŜenie, Ŝe stacjonarne stany w atomach odpo-wiadają stoją cym falom materii.

Dla fal w strunie zaburzenie moŜe być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y, dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natęŜenia pola elektrycznego E.

Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa ψ.

Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l (rysunek na następnej stronie).

Funkcję falową moŜna otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na obu końcach. Z warunków brzegowych wynika, Ŝe na obu końcach struny muszą wystę-

pować węzły. Oznacza to (przez to Ŝądanie) Ŝ e długość fali jest skwantowana: λ

2

l =

l

n

lub λ =

n = ,

1 .,

2 ..

2

n

Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)

y( x, t) = 2 A sin kx cosω t

dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez

y( x) = A sin kx

34-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie k = 2π/λ. PoniewaŜ λ jest skwantowane to k teŜ jest skwantowane.

Prowadzi to do warunku

π

y =

n x

A sin

, n = ,

1 ,

2 ......

l

Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-3.

RozwaŜmy teraz cząstkę poruszającą się

pomiędzy sztywnymi ściankami (rysunek

obok). PoniewaŜ ścianki są sztywne, cząst-

ka nie moŜe przeniknąć przez nie, tak więc

stojąca fala materii opisująca tę cząstkę ma

węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funk-

m

v

cja falowa ψ przyjmuje wartość zero w

punktach x = 0 i x = l.

W konsekwencji dopuszczalne fale materii

muszą mieć długość fal danych równaniem

l

λ

2

l =

l

n

lub λ =

, n =

.,

2

,

1

..

2

n

PoniewaŜ mówimy o fali materii (reprezentującej cząstkę) to jest to po prostu fala de Broglie’a, dla której moŜemy zastąpić λ przez h/ p.

Prowadzi to do związku

nh

p =

l

2

Widzimy, Ŝe pę d czą stki uwię zionej pomię dzy ś ciankami jest skwantowany.

Dla cząstki pęd p jest związany z energią kinetyczną Ek relacją m 2

p 2

E =

v

=

k

2

2 m

Zestawienie tego równania z równaniem na pęd cząstki prowadzi do warunku kwantyzacji energii

2

h

2

E = n

, n =

......

,

2

,

1

8

2

ml

Cząstka nie moŜe mieć dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale ściśle określo-ne wartości dane powyŜszym równaniem.

Amplituda fal materii zmienia się tak samo jak amplituda dla fali stojącej w strunie tzn.

jest dana analogicznym równaniem:

nπ x

ψ = A sin

, n = ,

1 ,

2 ......

(34.3)

l

34-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

34.4

Znaczenie funkcji ψ

Funkcję ψ skonstruowaliśmy przez analogię do funkcji opisującej amplitudę fali stojącej w strunie. Ale nie wyjaśniony jest jeszcze sposób w jaki ψ przedstawia ruch czą stki. Wiemy juŜ, Ŝe długość fali materii (de Broglie’a) wiąŜ e się bezpoś rednio z pę dem czą stki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąŜe się ψ.

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, Ŝe wielkość ψ 2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobień stwa, Ŝ e czą stka znajdzie się w pobliŜ u tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w prze-dziale x, x+ d x.

Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny zwią zek pomię dzy falą i zwią zaną z nią

czą stką . Nie mówimy gdzie czą stka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l nπ x

2

ψ = A sin2

, n =

,

2

,

1 ......

(34.4)

l

nie opisuje połoŜenia cząstki ale rozkład (gę stość ) prawdopodobień stwa.

Na rysunku przedstawiona jest za-

leŜność ψ2( x) dla trzech pierwszych

stanów ruchu cząstki.

Zwróćmy uwagę, Ŝe przykładowo

dla n = 1 cząsteczka ma większą

n = 1

tendencję (prawdopodobieństwo) do

E = h2 / 8ml2

1

przebywania w środku niŜ przy

ściankach. Jest to sprzeczne z fizyką

l

0

klasyczną,

która

przewiduje

kowe

prawdopodobieństwo

bywania

cząstki

gdziekolwiek

n = 2

między ściankami (linie poziome na

2 ψ

E = 4E

2

1

rysunku). Podobnie jest dla wyŜ-

szych n. Oczywiście całkowite

0

l

prawdopodobieństwo

znalezienia

cząstki pomiędzy ściankami jest

n = 3

równe jedności.

E = 9E

Zagadnienie cząstki poruszającej się

3

1

pomiędzy sztywnymi ściankami ma

0

l

mało realne zastosowanie w fizyce.

Dlatego poniŜej pokazane są wyniki

X

zastosowania mechaniki falowej do

problemu atomu wodoru.

Sam problem jest trudny matema-

tycznie. Dlatego pokazane są tylko wyniki zaleŜności ψ( r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozkład sferycznie symetryczny).

34-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Widać, Ŝe mamy ponownie do czynie-

nia z rozkładem prawdopodobieństwa.

Istnieje obszar w którym elektron moŜe

n =1

przebywać (z niezerowym prawdopo-

dobieństwem). Mówimy o orbitalach

zamiast o orbitach.

Linią przerywaną zaznaczono promie-

nie orbit przewidywane w modelu

Bohra.

n = 2

Są, jak widać orbity dla których ta war-

tość odpowiada maksimum prawdopo-

2

dobieństwa znalezienia elektronu.

ψ(r)

n = 3

0

5

10

15

20

25

r/r

Bohra

34.5

Zasada odpowiednioś ci

ChociaŜ teorie w fizyce mają ograniczenia to zazwyczaj w sposób ciągły dają wyniki coraz mniej zgodne od doświadczenia, tzn. nie „urywają” się nagle.

Np. mechanika Newtonowska staje się coraz mniej dokładna gdy prędkość zbliŜa się do prędkości światła.

Dla mechaniki kwantowej teŜ istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fizykę klasyczną dla duŜych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasadą odpowiednioś ci.

W przykładzie z wykładu 31 widzieliśmy, Ŝe dla makroskopowego wahadła nie uwi-dacznia się natura kwantowa podobnie jak w układach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cząsteczek, atomów, elektronów itp.).

Wyliczona wtedy względna zmiana energii wyniosła

∆ E/ E = 4.7·10-31 = hv/ nhv

Stąd otrzymujemy bardzo duŜą wartość liczby kwantowej n ≈ 2·1030; moŜe stosować mechanikę klasyczną.

34-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

34.6

Zasada nieoznaczonoś ci

W poprzednim paragrafie najbardziej szczegółową informacją jaką udało się uzy-skać o ruchu elektronów były krzywe prawdopodobieństwa. Czy musimy zadowolić się taką informacją czy teŜ jest moŜliwy pomiar, który da nam odpowiedź na temat ewentu-alnych orbit po których poruszają się elektrony?

Obserwacje przedmiotów opierają się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przed-mioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o duŜej masie praktycznie nie zaburza je-go ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj teŜ spodzie-wamy się, Ŝe zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego światło (tak jak widzimy np.

stół rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron w zderzeniu z fotonem dozna odrzutu, który całkowicie zmieni jego ruch (przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie moŜna uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego wolimy mówić o prawdopodobieństwie niŜ o orbitach.

Aby przetestować nasze moŜliwości pomiarowe rozwaŜmy wiązkę elektronów padających z prędkością v 0 na szczelinę o szerokości ∆ y, tak jak na rysunku.

JeŜeli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego połoŜenie z dokładnością ∆ x.

Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, Ŝe na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyj-ny. Oznacza to, Ŝe elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej takŜe składową w kierunku y (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości. Rozpa-trzmy np. elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt a na rysunku poniŜej). Pierwsze minimum jest dane równaniem

∆ y sinθ = λ

a dla małego kąta

∆ y θ ≅ λ

∆y

a

θ

v0

Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi mieć prędkość pionową ∆ vy taką, Ŝe

v

∆

sin

y

θ ≅ θ =

v 0

Korzystając z obu powyŜszych równań otrzymujemy

34-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

∆ v

λ

y =

v

y

0

∆

lub inaczej

∆ v ∆

y

y = λ v 0

Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/ p czyli h/ mv 0. Podstawiając to do ostatniego równania otrzymujemy

v

h 0

v

∆

y

∆ ≅

y

v

m 0

co moŜna zapisać

∆ p ∆

y

y ≅ h

JeŜeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć ∆ y) to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej mó-

wiąc zwiększone zostało ∆ py. Równani to przedstawia ograniczenie nałoŜone na do-kładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomiarowej).

Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczonoś ci.

W zastosowaniu do pomiaru pędu i połoŜenia głosi ona, Ŝe

p

∆

x

∆ ≥ h

x

p

∆

y

∆ ≥ h

(34.5)

y

p

∆

z

∆ ≥ h

z

Tak więc Ŝadna składowa ruchu elektronu nie moŜe być określona z nieograniczoną do-kładnością. Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.

34-9