3U]\NáDGURGHNFL *NRFLILJXU\SáDVNLHM±]DGDQLH
=QDOH(üURGHNFL *NRFLILJXU\SU]HGVWDZLRQHMSRQL*HM
Rysunek 1
3RáR*HQLHURGNDFL *NRFLGRZROQHMILJXU\SáDVNLHMRNUHODVL QDSRGVWDZLHZ]RUyZ
6 \
6[
[ =
\ =
,
(1)
F
F
$
$
gdzie Sx i SyVVWDW\F]Q\PLPRPHQWDPLEH]ZáDGQRFLZ]JO GHPRVL[L\RGSRZLHGQLR$±
polem powierzchni figury.
'ODGRZROQHMILJXU\VWDW\F]QHPRPHQW\EH]ZáDGQRFLPR*QDREOLF]\ü]HZ]RUyZ
6
=
\ G$
6
= [ G$
∫
∫
.
(2)
[
\
$
$
'OD ILJXU\ VNáDGDMFHM VL ] ILJXU GOD NWyU\FK ]QDQH MHVW SRáR*HQLH URGNyZ FL *NRFL
VWDW\F]QHPRPHQW\EH]ZáDGQRFLPR*QDRNUHODüQDSRGVWDZLHZ]RUyZ
Q
Q
6 =
$ \
6
∑
=
$ [
∑
(3)
[
L
&
\
L
&
L=
L=
gdzie Ai, xCi oraz yCiR]QDF]DMSROHSRZLHU]FKQLLRGSRZLHGQLZVSyáU] GQURGNDFL *NRFL
LWHMILJXU\VNáDGRZHMZSU]\M W\PXNáDG]LHRVL
'OD SROLF]HQLD SRáR*HQLD URGND FL *NRFL ILJXU\ ] U\VXQNX ]DVWRVXMHP\ Z]RU\ L
JG\* ILJXU PR*QD SRG]LHOLü QD WU]\ ILJXU\ GOD NWyU\FK ]QDQH MHVW SRáR*HQLH URGNyZ
FL *NRFL NZDGUDW R SROX SRZLHU]FKQL EH] RGHMPRZDQLD RWZRUX ± WUyMNW ±
SURVWRNWQ\RWZyU
3U]\MPXMHP\ Z GRZROQ\P SXQNFLH NDUWH]MDVNL XNáDG ZVSyáU] GQ\FK [ \ &] VWR ZDUWR
SU]\Mü XNáDG ZVSyáU] GQ\FK Z WDNL VSRVyE DE\ FDáD UR]SDWU\ZDQD ILJXUD ]QDMGRZDáD VL Z
SLHUZV]HM üZLDUWFH WHJR XNáDGX G]L NL F]HPX ZVSyáU] GQH ZV]\VWNLFK URGNyZ FL *NRFL
ILJXU VNáDGRZ\FK Z RVLDFK XNáDGX E G GRGDWQLH 'UXJLP VSRVREHP XSURV]F]HQLD REOLF]H
MHVWXV\WXRZDQLHXNáDGXRVLZURGNXFL *NRFLMHGQHM]ILJXUVNáDGRZ\FK
1DU\VXQNXSU]HGVWDZLRQRSU]\M W\XNáDGRVLSRG]LDáFDáHMILJXU\QDILJXU\VNáDGRZHRUD]
SRáR*HQLDURGNyZFL *NRFLILJXUVNáDGRZ\FK
Rysunek 2
6WDW\F]QHPRPHQW\EH]ZáDGQRFLZ]JO GHPRVL[L\REOLF]DP\VXPXMFVWDW\F]QHPRPHQW\
EH]ZáDGQRFL ZV]\VWNLFK ILJXU VNáDGRZ\FK SU]\MPXMF GOD ILJXU E GF\FK RWZRUDPL SROH
powierzchni ze znakiem ujemnym:
6 = D D D
+ D D
D +
D
( DD) D D D
D
D
D
[
+ −
+
=
+
−
=
6
= D D D
+ D D
D + (− D
D) D +
D
D
D
D
D
\
=
+
−
=
3ROHSRZLHU]FKQLFDáHMILJXU\Z\QRVL
$ = D D +
D D
+ (− D
D) = D + D − D = D
:VSyáU] GQH URGND FL *NRFL FDáHM ILJXU\ Z SU]\M W\FK RVLDFK [ \ Z\QRV] ]DWHP
odpowiednio:
6
\
D
[ =
=
=
D ≅
D
F
$
D
6
D
[
\ =
=
=
D ≅ D
F
$
D
2EOLF]RQH ZDUWRFL ZVSyáU] GQ\FK URGND FL *NRFL ]QDMGXMHP\ QD U\VXQNX Z XNáDG]LH RVL
[\X]\VNXMFURGHNFL *NRFL±&SDWU]U\VXQHN3RáR*HQLHURGNDFL *NRFLILJXU\QLH
]DOH*\RGSU]\M WHJRZVW SQLHXNáDGXRVLDQLVSRVREXSRG]LDáXQDILJXU\VNáDGRZH
2
3