WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

1

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

Z10/8.1. Zadanie 8

Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/8.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.

Ciężar własny wody wynosi

kN

 =10,0

.

W

(Z10/8.1)

m 3

Ciężar własny betonu zwykłego wynosi

kN

 =25,0

.

B

(Z10/8.2)

m 3

2,0

H O

2

6,0

5,5

A

A

[m]

2,9

Rys. Z10/8.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/8.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/8.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wyznaczać będziemy ze wzoru

p= ⋅ h .

(Z10/8.3)

W

Jak więc widać ciśnienie rośnie liniowo wraz ze wzrostem głębokości. Na dnie zbiornika na głębokości 5,5

metra ciśnienie wody wynosi więc

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

2

1,0

[m]

Rys. Z10/8.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,0

H O

2

1,0

1,0

N k

6,0

00,0

5,5

N

3

k

= 1Q

7,5

=6 2Q

0,6

0,3

p =55,0 kPa

h

[m]

2,9

Rys. Z10/8.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika kN

p =10,0⋅5,5=55,0

=55,0 kPa .

h

(Z10/8.4)

m 2

Przekrój ściany betonowej, który ma kształt trapezu, rozłożymy na prostokąt i trójkąt prostokątny. Przedstawia to rysunek Z10/8.3. Ciężar części ściany o przekroju prostokątnym wynosi Q =25,0⋅2,0⋅6,0⋅1,0=300,0 kN .

(Z10/8.5)

1

Ciężar części ściany o przekroju trójkątnym wynosi 1

Q =25,0⋅ ⋅0,9⋅6,0⋅1,0=67,5 kN .

(Z10/8.6)

2

2

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

3

Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-

tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/8.3 siła ta wynosi

1

W = ⋅55,0⋅5,5⋅1,0=151,3 kN .

(Z10/8.7)

2

Jej położenie przedstawia rysunek Z10/8.4.

2,0

H O

2

1,0

1,0

kN

⋅5,5

kN

,3

2

3

6,0

0,0

151

5,5

30

=

kN

=

W

1

Q

7,5

=6 2

5,5

Q

1 ⋅ 3

p =55,0 kPa

h

[m]

0,6

0,3

2,9

Rys. Z10/8.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika Rysunek Z10/8.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyznaczać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/8.5

zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.

Siła normalna wynosi

N =−300,0−67,5=−367,5 kN .

(Z10/8.8)

Moment zginający MY wynosi

1

M =151,3⋅ ⋅5,5−300,0⋅1,45−1,0 67,5⋅1,45−0,6=199,8 kNm .

(Z10/8.9)

Y

3

Rysunek Z10/8.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

4

2,0

1,0

1,0

N

⋅5,5

0

k

2

3

6,

0,6

0,3

0,0

55,

30

N

= 1

5 k

Q

W=151,3 kN

67, =

5,5⋅

2

1

3

Q

Z=Z

M

gl

Y

N

[m]

X

1,45

1,45

Rys. Z10/8.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 2,0

1,0

1,0

N

⋅5,5

0

k

2

3

6,

0,6

0,3

0,0

55,

30

N

= 1

5 k

Q

W=151,3 kN

67, =

5,5⋅

2

1

3

Q

Z=Zgl

199,8 kNm

367,5 kN

[m]

X

1,45

1,45

X

367,5 kN

199,8 kNm

Z=Zgl

Y=Ygl

Rys. Z10/8.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

5

367,5 kN

199,8 kNm

Z=Zgl

1,0

Y=Y gl

[m]

2,9

Rys. Z10/8.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A 0,9063

0,5437

367,5 kN

Z=Zgl

1,0

Y=Y gl

[m]

2,9

Rys. Z10/8.8. Siła normalna na mimośrodzie Rysunek Z10/8.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi

199,8

z =

=−0,5437 m .

(Z10/8.10)

N

−367,5

Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/8.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi

2,9 =0,4833 m .

(Z10/8.11)

6

Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/8.10) jest większa niż (Z10/8.11) więc siła normalna znajduje się poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego wynosi

2,9

c=

−0,5437=0,9063 m .

(Z10/8.12)

2

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

6

Długość wykresu naprężeń normalnych σX wynosi L=3⋅0,9063=2,719 m .

(Z10/8.13)

Naprężenie normalne σ0 zgodnie z (10.45) wynosi 2⋅−367,5

kN

 =

=−270,3

=−270,3 kPa .

(Z10/8.14)

0

3⋅0,9063⋅1,0

m 2

Rysunek Z10/8.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego σX w przekroju prostokątnym.

Z=Zgl

0

1,

aP

3 k

Y=Y gl

[m]

270,

2,719

2,9

aP

3 k

270,

2,719

2,9

Rys. Z10/8.9. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać będziemy ze wzoru (10.16). Aby wyznaczyć funkcję naprężenia normalnego musimy najpierw wyznaczyć charakterystyki geometryczne przekroju. Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,9⋅1,0=2,9 m 2 .

(Z10/8.15)

Główny moment bezwładności względem osi Y=Ygl wynosi 1,0⋅2,93

J = J =

=2,032 m 4 .

(Z10/8.16)

Y

Ygl

12

Funkcja naprężenia normalnego ma postać Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

7

Z=Zgl

A

B

1,0

Y=Y gl

[m]

1,289

2,9

Rys. Z10/8.10. Oś obojętna

Z=Zgl

A

B

1,0

a

a

P

kP

3 k

[m]

,88

1,289

269,

15

Y=Y gl

2,9

aP

a

8 k

P k

15,8

9,326

Rys. Z10/8.11. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie

−367,5

199,8

 =



⋅ z=−126,798,33⋅ z .

(Z10/8.17)

X

2,9

2,032

Oś obojętna ma postać

−126,798,33⋅ z=0 ,

(Z10/8.18)

którą możemy ostatecznie zapisać jako z=1,289 m .

(Z10/8.19)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/8.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z10/8. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 8

8

kN

 A=−126,798,33⋅−1,45=−269,3

=−269,3 kPa

X

,

(Z10/8.20)

m 2

kN

 B=−126,798,33⋅1,45=15,88

=15,88 kPa

X

.

(Z10/8.21)

m 2

Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/8.11.

Dr inż. Janusz Dębiński

Document Outline

• Z10/8.1. Zadanie 8
• Z10/8.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A