2010/2011
Semestr II
Kolokwium bę dzie się składało z 4 zadań . KaŜ de zadanie za 5 punktów. Czas trwania maksymalnie 60 minut.
PoniŜ ej przykładowe zadania z kolokwiów z poprzednich lat.
Zakres materiału:
1. Całki potrójne (współrzę dne walcowe i sferyczne,obję tość ) 2. Całki krzywoliniowe (niekierowane, skierowane, Twierdzenie Greena, niezaleŜ ność całki krzywoliniowej od drogi całkowania)
3. Całki powierzchniowe (niezorientowane, pole płata, zorientowane, Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego) y
4. Równania róŜ niczkowe zwyczajne(o zmiennych rozdzielonych, y' = f ( ), y' = f ( ax + by + c) , liniowe, x
Bernoulliego, zupełne, równania rzę du n o stałych współczynnikach)
Całki potrójne
2
2
2
2
Zadanie Wprowadzając współrzędne sferyczne napisać całkę ∫∫∫ z x + y + z dxdydz , gdzie V
V : 0
≤ z ≤ 4
2
2
− x − y x ≤ 0 i y ≥ x w postaci iterowanej.
5 π
π
4
2
2
5
2
Odpowiedź: ∫ ϕ
d ∫ dr∫ r sin ψ co ψ
s
ψ
d
π
0
0
2
Zadanie Za pomocą całki potrójnej napisać wzór (nie obliczać całki) na objętość bryły będącej częścią wspóln
2
2
2
2
2
2
ą powierzchni: x + y + z − 4 z ≤ 0 oraz x + y + z − 2 z − 3 ≤ 0 .
15
2π
2
+
1
4− 2
r
Odpowiedź: ∫ dϕ ∫ dr ∫ rdh
0
0
2− 4− 2
r
Całki krzywoliniowe
6 y
1 2
Zadanie a). Obliczyć całkę ∫
dl, gdzie L : y =
x , 0 ≤ x ≤ 1.
x
2
L
2
2
2
b). Obliczyć ∫ ( x + y + z ) dl , gdzie K jest łukiem linii śrubowej y = sin t, x = cos t ,
K
z = t, 0 ≤ t ≤ 2π .
1
3
Odpowiedź: a). 2 2 − 1, b). 2(2π + (2π ) )
3
x + y
Zadanie a). Obliczyć ∫
dl , gdzie L jest odcinkiem od punktu (
A ,
0 0) do B( ,
2 4) ,
x 2 + 3
L
b). Obliczyć ∫ − y( y + ) 1 dx + y( x + )
1 dy gdzie K jest górną częścią okręgu o środku w punkcie K
(− ,
1 − )
1 dla − 2 ≤ x ≤ −1 skierowaną przeciwnie do wzrostu zmiennej x .
Odpowiedź: a). 3
5(ln 7 − ln )
3 , b). −1 π
−
2
2
y
Zadanie ∫ 1
( + ln x +
d
) x − 1
( − ln x) dy , gdzie K jest dowolnym łukiem gładkim rozpiętym od punktu x
K
(
A ,
e 2) do B
)
1
,
1
(
, leŜącym w pasie x > ,
0
Odpowiedź: − 1 − e
Całki powierzchniowe
2
2
2
x + y
z
2
2
Zadanie Obliczyć ∫∫ x + y dS , gdzie S jest częścią powierzchni
=
dla 0 ≤ z ≤ 4 .
9
16
S
2π
3
5
2
Odpowiedź: ∫ ϕ
d ∫ r dr = 30
3
π
0
0
2 x
z
S = { 2
2
2
x + z = y , x < , 0 z > ,
0 a ≤ y ≤ b , a, b > }
Zadanie Obliczyć całkę ∫∫
+ dxdz , gdzie
0 .
y 2
S
b
π
Odpowiedź: ∫ dr∫ 2 cosϕ + sin d ϕ ϕ = a − b
a
π
2
Zadanie Obliczy
2
ć całkę powierzchniową zorientowaną ∫∫ x dydz + xdxdz + xzdxdy, jeŜeli S jest wewnętrzną S
2
stroną powierzchni S = {
2
y = x + z , x ≥ , 0 z ≥ ,
0 y = }
1 .
Równania róŜ niczkowe
2
y + 2 xy
Zadanie Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego: y' =
, y )
1
(
= 2
− .
2
x
y
Odpowiedź:
= 2 x
y +
x
Zadanie Obliczyć rozwiązanie zagadnienia: (ln y − 2 x) dx + ( x − 2 y) dy = 0 , y ) 1
( = e .
y
2
2
2
Odpowiedź: x ln y − x − y = 1 + e
Zadanie Wyznaczyć całkę ogólną równania: xy'+ y = −3 x ln x C
3
1
Odpowiedź: y =
− x(ln x − )
x
2
2
2
e − x
Zadanie Dane jest równanie: y' ' 4
+ y'+4 y =
. Wiedząc, Ŝe całka ogólna równania jednorodnego jest postaci 4 3
x + x
−2 x
2
− x
y ( x) = C e
+ C xe znaleźć całkę ogólną równania niejednorodnego 0
1
2
− x
x
x
x
x
2
−2
1
−2
−2
Odpowiedź: y( x) = C e
+ C xe
− e arctg 2 x + xe
ln
1
2
2
4 2
x + 1
(4)
3 x
Zadanie Rozwiązać równanie y
− y''= 8 x + 4 e metodą przewidywań.
− x
x
3 x
3
Odpowiedź:
4
4
y = C + C x + C e
+ C e + e − x
1
2
3
4
72
3