Przygotowa la Joanna Grabowska na podstawie Szymański, Dróbka “Ma-tematyka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań”

1

Pochodna funkcji

Za lóżmy, że funkcja f jest określona na przedziale (a, b) oraz że xo ∈ (a, b), a ∆x jest liczba, dla której (xo + ∆x) ∈ (a, b). Liczbe ∆x nazywamy przy-rostem argumentu, natomiast różnice f (x0 + ∆x) − f(x0) nazywamy przy-rostem wartości funkcji F i oznaczamy ∆f . Stosunek ∆f = f(x0+∆x)−f(x0)

∆x

∆x

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadajacym przyrostowi argument o ∆x. Iloraz różnicowy ma prosta interpretacje geometryczna. Dla ustalonego x0 i ustalonego ∆x punkty A = (x0, f(x0)), B = (x0 +∆x, f(x0 +

∆x)) należa do wykresu funkcji f. Prosta przechodzaca przez e punkty jest tzw. sieczna.

Iloraz różnicowy ∆f jest równy tangensowi kata jaki sieczna tworzy z

∆x

osia x. Jesli funkcja f jest oreślona w przedziale (a, b) i x0 ∈ (a, b) i ist-nieje skończona granica lim

f (x0+∆x)−f (x0)

∆x→0

, to te granice nazywamy

∆x

pochodna funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f′(x0). W tym przypadku mówimy również, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0. Z definicji wynika, że pochodna funkcji w punkcie x0 jest liczba rzeczywista, równa granicy ∆f przy ∆x dażacym do zera. Czesto sadzi sie,że styczna do krzywej

∆x

jest to prosta, która ma z Ta krzywa dok ladnie jeden punkt wspó lny. Nie jest to poprawne określenie stycznej, gdyż np każda prosta równoleg la do osi symetrii paraboli ma z ta parabola dok ladnie jeden punkt wspólny, ale styczna do parboli nie jest. Styczna można określić w nastepujacy sposób: Jeśli funkcja f jest określona w punkcie x0 i w pewnym przedziale, którego środkiem jest x0, a także jest różniczkowalne w x0, to styczna do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)) nazywamy prosta o równaniu: y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0)

Za przyjeciem takiej definicji stycznej przemawia nastepujace rozumowa-nie. Jeśli ∆x daży do zera, to punkt B daży po wykresie funkcji do punktu A. Każdemu po lożeniu punktu B odpowiada sieczna przechodzaca przez B

i przez A. Zatem styczna do wykresu funkcji f w punkcie A = (x0, f(x0)) możemy traktować jako graniczne po lożenie siecznej AB, gdy B dazy po wykresie do A.

Stad wynika, że pochodna funkcji f w punkcie x0 można interpretować geometrycznie jako wspó lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji F

w punkcie A = (x0, f(x0)).

1

2

Pochodna jako funkcja

Niech D′ oznacza zbiór wszystkich argumentów x funkcji f, dla których ist-f

nieje pochodna f ′(x). Rozpatrzmy funkcje, która każdej liczbie x ∈ D′ przy-f

porzadkowuje f ′(x). Funkcje te nazywamy pochodna funkcji f i oznaczamy f’. W takim razie pochodna funkcji f jest funkcja, natomiast pochodna funkcji f w punkcie x0 jest liczba. Te dwa pojecia nalzeży odróżniać.

[cf (x)]′ = cf ′(x)

[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

[f(x) - g(x)]’ = f’(x) - g’(x)

[f(x) g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

f ′(x) = f′(x)g(x)−f(x)g′(x)

g′(x)

g2(x)

g(x) 6= 0

2.1

Pochodne niektórych funckji

1) (c)’ = 0, c - ustalona liczba rzeczywista 2) (xa)′ = axa−1; a ∈ R

3) (sin x)′ = cos x

4) (cos x)’ = -sin x

5) (tgx)′ =

1

cos2 x

6) (ctgx)′ = − 1

sin2 x

7) (ex)′ = ex

8) (ax)′ = axlna, a ∈ R+ − 1

9) (lnx)′ = 1x

10) (logax)′ = 1

xlna

2

3

Przyk ladowe zadania

3.1

Zadanie 1

Wyznaczyć pochodna funkcji f (x) = x2 + 2x − 1

Rozwiazanie: Aby roziwazać to zadanie wyznaczamy iloraz różnicowy funkcji.

f ′(x) = lim ∆x → 0 f(x+∆x)−f(x) =

∆x

= lim ∆x → 0 [(x+∆x)2+2(x+∆x)−1]−(x2+2x−1) =

∆x

lim ∆x → 0 [(∆x)2+2x∆x+2∆x) =

∆x

lim ∆x → 0(∆x + 2x + 2) = 2x + 2

Znaczy to, że pochodna rozpatrywnej funkcji f jest funkcja f’określona wzorem f ′(x) = 2x + 2. Inaczej (x2 + 2x − 1)′ = 2x + 2

W praktyce wyznaczajac pochodnafunkcji korzystamy z odpowiednich wzorów i twierdzeń u latwiajacych obliczenia, podanych powyżej.

3.2

Zadanie 2

Wyznaczyć pochodna funkcji f (x) = x2−2x+3

x2+x+1

Rozwiazanie:

f ′(x) = (x2−2x+3)′(x2+x+1)−(x2+x+1)′(x2−2x+3) =

(x2+x+1)2

= (2x−2)(x2+x+1)−(2x+1)(x2−2x+3) =

(x2+x+1)

= 3x2−4x−5

(x2+x+1)2

3.3

Zadanie 3

Wykazać, że (ex)′ = ex

Rozwiazanie: (ex)′ = lim

ex+∆x−ex

∆x→0

=

∆x

= lim∆x→0 ex e∆x−1 =

∆x

lim

e∆x−1

∆x→0 ex lim∆x→0

∆x

= ex lim

e∆x−1

∆x→0

∆x

Wyrażenie lim

e∆x−1

∆x→0

= 1.

∆x

3