Przykład do zadania 1.
Określić dopuszczalną wartość obciążenia q z warunku wytrzymałościowego dla stalowej belki podanej na rysunku.
przekrój
belka
P = λqa
q
B
A
M = µqa2
βa
γa
β = 2,0; γ = 1,0; λ = 0,5; µ = 0,5; y1
z
a = 2 m; K
1
g = 215 MPa; E = 205 GPa;
Kształtownik 1: C260; Kształtownik 2: L100x100x6; Dane dla kształtowników:
C260 :
A = 48,3 cm2
ey = 2,36 cm
L100x100x6 :
A = 11,8 cm2
Jy = 4820 cm4
Jz = 317 cm4
ey = ez = 2,64 cm
s = 90 mm
Jy = Jz = 111 cm4
Jyz = 65 cm4
1. Charakterystyki geometryczne 1.1. Środek ciężkości
Współrzędne środków ciężkości kształtowników w początkowym układzie współrzędnych y1z1
yC = 2,36 cm
1
zC = −13,0 cm
1
zL = −2,64 cm
1
yL = −2,64 cm
1
AL · yL + AC · yC
y
1
1
c =
=
AL + AC
y0
11,8 · (−2,64) + 48,3 · 2,36
=
= 1,38 cm
11,8 + 48,3
AL · zL + AC · zC
z
1
1
c =
=
AL + AC
y1
z0
11,8 · (−2,64) + 48,3 · (−13,0) z
=
= −10,97 cm
1
11,8 + 48,3
1
1.2. Centralne momenty bezwładności Współrzędne środków ciężkości kształtowników w centralnym układzie współrzędnych y0z0
yC = yC − y
0
1
c = 2,36 − 1,38 = 0,98 cm
zC = zC − z
0
1
c = −13,0 − (−10,97) = −2,03 cm yL = yL − y
0
1
c = −2,64 − 1,38 = −4,02 cm
zL = zL − z
0
1
c = −2,64 − (−10,97) = 8,33 cm Jy = 4820 + 48,3 · (−2,03)2 + 111 + 11,8 · (8,33)2 = 5949 cm4
0
Jz = 317 + 48,3 · (0,98)2 + 111 + 11,8 · (−4,02)2 = 665 cm4
0
Jy
= 0 + 48,3 · (−2,03) · (0,98) + (−65) + 11,8 · (8,33) · (−4,02) = −556 cm4
0 z0
1.3. Główne centralne momenty bezwładności 2 · J
2 · (−556)
tan (2ϕ
y0z0
0) = −
= −
= 0,211
Jy − J
5949 − 665
0
z0
2ϕ0 = arctan (0,211) = 11,9◦
ϕ0 = 5,95◦
1
1 q
J1 =
(J + J ) +
(J − J )2 + 4 · J2
=
2
y0
z0
2
y0
z0
y0z0
1
1 q
=
(5949 + 665) +
(5949 − 665)2 + 4 · (−556)2 =
2
2
= 3307 + 2700 = 6007 cm4
ϕ y0
1
1q
J2 =
(J + J ) −
(J − J )2 + 4 · J2
=
y (1)
2
y0
z0
2
y0
z0
y0z0
= 3307 − 2700 = 607 cm4
Jy > J =⇒ J
0
z0
y = J1
z0
Jz = J2
z (2)
2
2. Dopuszczalne obciążenie
2.1. Moment zginający
P = 0,5 · qa
q
M = 0,5 · qa2
My0max = q · a2
qa2
My 0
My = My · cos ϕ
0
0
−qa2
−0,5 · qa2
Mz = −My · sin ϕ
0
0
2.2. Oś obojętna σx = 0
2
M
J
z = y ·
z · y
My
Jz
J
= − tan ϕ
y
0 ·
· y
Jz
oś obojętna
6007
= − tan (5,95) ·
· y
My
ϕ y0
607
M
M
y
z
0
z = −1,03 · y
y (1)
1
z0
z (2)
2.3. Naprężenia normalne
2.3.1. Dla punktu ➀
y1 = 9 cm
z1 = 0 cm
y0 = y1 − yC = 9 − 1,38 = 7,62 cm z0 = z1 − zC = 0 − (−10,97) = 10,97 cm y = y0 · cos ϕ0 + z0 · sin ϕ0 = 8,72 cm z = −y0 · sin ϕ0 + z0 · cos ϕ0 = 10,12 cm M
M
cos ϕ
0
sin ϕ0
1
σ➀ =
y · z −
z · y = M ·
· z +
· y = M · 3,162 · 103 ·
x
J
y0
y0
y
Jz
Jy
Jz
m3
3
2.3.2. Dla punktu ➁
y1 = 0 cm
z1 = −26 cm
y0 = 0 − 1,38 = −1,38 cm
z0 = −26 − (−10,97) = −15,03 cm y = −2,93 cm
z = −14,81 cm
1
σ➁ = M · −2,952 · 103 ·
x
y0
m3
2.4. Wyznaczenie qdop
Największe naprężenia występują w punkcie ➀
|σx| 6 Kg
σmax = M · 3,162 · 103 = qa2 · 3,162 · 103 6 K
x
y0
g
215 · 106 · N
N
kN
q
m2
dop =
= 17,0 · 103
= 17,0
22 · m2 · 3,162 · 103 · 1
m
m
m3
4