Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 16
1
Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 16
Z4/16.1. Zadanie 16
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na rysunku Z4/16.1. Wymiary belki podane są w metrach.
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
1,5
4,5
1,5
[m]
Rys. Z4/16.1. Belka prosta
Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z4/16.1 znajduje się w zadaniu 15. Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z4/16.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
50,0 kN
110,0 kN
1,5
4,5
1,5
[m]
Rys. Z4/16.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej Z4/16.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziale BC siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i C będą powodowały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o wartości 50,0 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc T =50,0 kN
A
.
(Z4/16.1)
W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz z lewej strony punktu B wartość stałą równą
T = T L=50,0 kN .
(Z4/16.2)
AB
B
W punkcie B nie działa żadna siła skupiona więc wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 16
2
T P=50,0 kN .
(Z4/16.3)
B
W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 32,0 kN/m w dół więc siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie C tego przedziału wynosi T L =50,0−32,0⋅4,5=−94,0 kN .
(Z4/16.4)
C
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału BC ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (4.125) jego odległość od punktu B wynosi 50,0
x =
=1,563 m
(Z4/16.5)
L
32,0
natomiast od punktu C, zgodnie ze wzorem (4.126) miejsce zerowe znajduje się w odległości 94,0
x =
=2,938 m .
(Z4/16.6)
P
32,0
W punkcie C działa reakcja o wartości 110,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C wynosi więc
T P=−94,0110,0=16,0 kN .
(Z4/16.7)
C
W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz w punkcie D wartość stałą równą
T = T =16,0 kN
CD
D
.
(Z4/16.8)
Rysunek Z4/16.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyznaczonego metodą punktów charakterystycznych.
Z4/16.3. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziale BC moment zginający będzie funkcją kwadratową natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły. W dalszej części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.
Rysunek Z4/16.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
A
.
(Z4/16.9)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 16
3
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
50,0 kN
110,0 kN
1,5
4,5
1,5
[m]
50,0
16,0
T(x) [kN]
,094
1,563
2,938
Rys. Z4/16.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej a)
b)
A
A
M
M (L)
50,0 kN
A
50,0 kN
B
1,5
[m]
Rys. Z4/16.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Rysunek Z4/16.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M L=50,0⋅1,5=75,0 kNm .
(Z4/16.10)
B
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
32,0 kN/m
a)
b)
A
A
B
B
M (P)
M (L)
50,0 kN
B
50,0 kN
C
[m]
1,5
[m]
1,5
4,5
Rys. Z4/16.5. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC
Rysunek Z4/16.5 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 16
4
M P=50,0⋅1,5=75,0 kNm .
(Z4/16.11)
B
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/16.10). Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Rysunek Z4/16.5 b) przedstawia moment zginający w punkcie C z lewej strony. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
1
M L=50,0⋅6,0−32,0⋅4,5⋅ ⋅4,5=−24,0 kNm .
(Z4/16.12)
C
2
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a)
32,0 kN/m
b)
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
M
M
50,0 kN
1
1
110,0 kN
1,5
1,563
[m]
2,938
1,5
[m]
Rys. Z4/16.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale BC
Rysunek Z4/16.6 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale BC. Zgodnie z rysunkiem Z4/16.6 a) wynosi on
1
M =50,0⋅ 1,51,563−32,0⋅1,563⋅ ⋅1,563=114,1 kNm (Z4/16.13)
1
2
Zgodnie z rysunkiem Z4/16.6 b) wynosi on
1
M =110,0⋅2,938−16,0⋅1,52,938−32,0⋅2,938⋅ ⋅2,938=114,1 kNm .
(Z4/16.14)
1
2
Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale BC obliczone dla lewej i prawej części belki są takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a)
b)
16,0 kN
16,0 kN
D
D
M (P)
M
C
[m]
D
1,5
Rys. Z4/16.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
Z4/16. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 16
5
Rysunek Z4/16.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M P=−16,0⋅1,5=−24,0 kNm .
(Z4/16.15)
C
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z4/16.12).Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Rysunek Z4/16.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie D. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
D
.
(Z4/16.16)
Rysunek Z4/16.8 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
32,0 kN/m
16,0 kN
A
C
D
B
50,0 kN
110,0 kN
1,5
4,5
1,5
[m]
50,0
16,0
T(x) [kN]
,094
1,563
2,938
M(x) [kNm]
0,0
24,0
0,0
75,0
114,1
1,563
2,938
Rys. Z4/16.8. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów charakterystycznych
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni