**.Metoda identyfikacji metodą momentów dla dowolnego u(t) NaleŜy wyznaczyć g( t) na podstawie znajomości u( t) i y( t) .
ZałoŜenia:
-
sygnały u( t) i y( t) określone są na przedziale czasu [0- T];
-
rozwaŜania przeprowadza się dla T → ∞
-
dla uproszczenia doboru funkcji aproksymujących wprowadza się funkcję wagi (
w t)
Transformata sygnału wejściowego z wagą (
w t) :
∞
U
−
= ∫
(1)
w ( s )
(
w t ) u( t) e stdt
0
Transformata sygnału wyjściowego z wagą (
w t) :
∞
Y
−
= ∫
(2)
w ( s )
(
w t ) y( t) e stdt
0
Oraz transformata odpowiedzi impulsowej g( t) z wagą (
w t) :
∞
G
−
= ∫
(3)
w ( s )
(
w t ) g( t) e stdt
0
Dla zerowych warunków początkowych:
Y
=
(4)
w ( s )
Gw( s) Uw( s)
Podstawiamy (1),(2) i (3) do (4):
∞
∞
∞
∫ (
w t ) y( t) e− st dt = ∫ (
w t ) g( t) e− st dt ⋅ ∫ (
w t ) u
( t) e− st
dt (5)
0
0
0
Rozwijając w szereg względem st funkcję st
e− otrzymamy:
∞
∞
∞
∞
ν
∞
∞
∫
ν
ν
∑ ( ) n t n
m
- 1
sn (
w t ) y( t) d
t = ∫∑( ) t
- 1
s (
w t ) g( t) d
t ⋅ ∫ ∑( ) m t
- 1
sm (
w t ) u
( t) d
t
=
!
ν =
ν
(6)
!
=
!
n
n
m
m
0
0
0
0
0
0
Definiujemy teraz momenty w postaci:
∞
µ = ∫ ν
ν
t
(
w t ) g( t) dt ν = 0,1,2,..... (7) 0
∞
a = ∫ tn
(8)
n
(
w t ) y( t) dt n = 0,1,2,... ..
0
∞
b = ∫ tm
(9)
m
(
w t ) u( t) dt m = 0,1,2,... ..
0
Momenty (8) i (9) moŜna obliczyć po wprowadzeniu stosownego w(t).
Uwzględniając (7),(8) i (9) w (6) mamy:
∞
∞
∞
∑(
ν µ
- ) a
ν ν
b
1 n n n
s = ∑ ( - )
1
s ⋅ ∑ ( - )
1 m m m
s (10)
n
ν
ν
m
n=
!
!
m
!
0
=0
=0
∞
∞
∑(
ν
µ
- ) a
b
1 n n n
s = ∑ ( - ) + m ν m ν +
1
m
s
(11)
n
ν
n=
!
ν m
!
0
, =0
podstawiając ν + m = n
∞
∞
∞
∑(
µ
- ) a
b
1 n n n
s = ∑ ∑ ( - ) n
ν n−ν
ν +
1
m
s
(12)
n
ν
ν n ν
n=
!
n
!
!
0
=0 =0
( − )
porównując współczynniki przy tych samych potęgach s : ( - )
∞
n a
n
n
µ b
1
= ∑( - )
ν n−
1
ν
(13)
n !
ν =
ν ! n ν !
0
( − )
ostatecznie:
∞ n
a
µ
(14)
n = ∑
ν n−
ν
b ν
= 01 , 2
, ,... . n = ,
1 ,
2 ....
ν =
ν
0
UŜywając równanie (9) moŜna obliczyć:
∞ n
a − ∑
µ b
n
ν n−ν
ν
ν =0
µ =
n
= 0 1
, 2
, ,... . (15) n
b 0
Czyli na tym etapie w oparciu o obliczone wcześniej a i b
moŜna wyliczyć µ .
n
n ν
−
n
Na obecnym etapie mamy policzone µ . Dalej zostanie przedstawione w jaki sposób w n
~
oparciu o znajomość momentów µ moŜna wyliczyć ~
g ( t
) o
ra
z G( s) będące aproksymacją
n
odpowiednio odpowiedzi impulsowej oraz transmitancji badanego obiektu.
Przy tej aproksymacji zadbamy o parę uŜytecznych szczegółów:
-aby funkcja aproksymująca ~
g ( t
) oraz aproksymowana g( t
) miały te same momenty przy
wadze (
w t
) :
∞
µ = ∫ tν
~
ν
(
w t ) g ( t) d
t ≤
0 ν ≤ n (16)
0
-aby funkcje tworzące bazę funkcji
n
g
~ t() = ∑ C ϕ t (17) i
i ( )
i=0
tworzyły ciąg funkcji ortonormalnych:
∞
0 dla i ≠ j
∫ϕ ϕ
(18)
i ( t )
j ( t )
(
w t ) dt =
1 dla i
j
0
=
-współczynniki C naleŜy tak dobrać aby osiągnąć minimum funkcjonału: i
∞
I = ∫ (
w t )[ g( t) g~
− ( t)]2 dt (19) 0
W tym celu wstawiamy do (19) (17) uwzględniając (18) otrzymujemy wyraŜenia na C po i
∂ I
Przyrównaniu
= 0
∂ Ci
∞
C
ϕ
(20)
i = ∫
(
w t ) g( t) i ( t) dt i =
,
1
,
0
,
2 ........ .
.
0
Czyli na tym etapie identyfikacji naleŜy:
Wyz
y n
z aczy
z ć
y ws
w p
s ółczy
z n
y niki C dla wyl
y iczo
z nyc
y h mom
o
entów
w µ
i
ν
dla wy
w b
y ranyc
y h ϕ ( t i
i
(
w t ) .
i
)
1.Aproksymacja wielomianami Laguerra.
Z definicji wielomiany te wyraŜają się wzorem:
i
α α d
ϕ t = L t =
e
α t e α− (21) i ( )
( )
t
i
i [
i
t ]
i !
d (α t ) (
)
po róŜniczkowaniu:
α α d
ϕ t = L t =
e
α t e α− (22) i ( )
( )
i
t
i
i [
i
t ]
i !
d (α t ) (
)
−
ϕ
=
=
∑
α
α
(23)
i (
i j
i
t ) Li ( t)
i (
t )
=
−
j
j
i
j
0
( )!
aby zachodziła ortonormalność funkcję wagi trzeba przyjąć (
w t ) w postaci:
( wt) −α t
= e (24) uwzględniając (23) w (20):
i
(−
−
∞
t
) i j i
C
i− j
=
∑ α
α
∫
= 01
(25)
i
=
−
0
!
j
( i j)
g( t) (
w t ) t dt
i
, ,....,n
j 0
podstawiając do (25) relację (7) otrzymujemy:
i
(−
−
α t ) i j i
C = α ∑
µ
= 01
(30)
i
=
−
0
!
j
( i j)
i
, ,....,n
j
i
Z (30) moŜemy wyliczyć kolejne współczynniki C kolejno jako: i
C = α µ
0
0
C = α µ
αµ
1
( -
0
1 )
2
α
C = α µ -
2αµ +
µ
2
0
1
!
2
2
3 2
3
α
α
C = α µ -
3αµ +
µ −
µ (31) 3
0
1
!
2
2
!
3
3
6 2
α
4 3
4
α
α
C = α µ -
4αµ +
µ −
µ +
µ
4
0
1
!
2
2
!
3
3
!
4
4
Dla tych zaleŜności spełniony jest warunek g( t) g~
≈ ( t).
Łącząc wzory (17) i (30) oraz (31):
i− j
n
i
−
g( t)
i (
t )
≈ ∑
α
C
α ∑
(32)
i
=
=
−
i
j
j
i
j
0
0
( )!
Transmitancję określa zatem wzór:
i
n
i
−
α
G( s)
i (− t) j
≈ ∑ C α
(33)
i
∑ i j
j
s
i=
j =
− +
0
0
1
2.Aproksymacja funkcjami Laguerra.
α
α
d
ϕ t = L t =
e
α t e α−
2
(34)
i ( )
i ( )
t
i
i [
i
t ]
i !
d (α t ) (
)
czyli:
α
−
−
−
ϕ
=
∑
α
α
(35)
i (
t
i j
i
t )
i
t
2
( )
e
=
−
j
j
i
j
0
( )!
i
(− −
∞
α
α ) i j i
t
C
i− j
=
−
α ∑
∫
2
= 01
(36)
i
=
−
0
!
j
( i j)
g( t) (
w t ) t e
dt
i
, ,....,n
j 0
i
(− −
α ) i j i
C = α ∑
µ
−
= 01
(37)
i
=
−
0
!
j
( i j)
i
, ,....,n
j
i j
α t
i− j
n
i
−
−
g( t)
i
t
2
( )
≈ ∑
α
C
α e ∑
(38)
i
=
=
−
i
j
j
i
j
0
0
( )!
i
1
1
s −
α
G( s)
n
2
≈ ∑ C α
(39)
i
i 1
+
i=0
1
1
s +
α
2
δ
α/2
jω
3. Aproksymacja funkcjami wykładniczymi: