Analiza matematyczna 2
Lista zadań ‡
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
∞
∞
∞
Z
dx
Z
dx
Z
(a)
;
(b)
√
;
(c)
x sin x dx;
( x + 2)2
3 3 x + 5
1
1
π
− 3
0
∞
Z
dx
Z
Z
π
dx
(d)
;
(e)
+ arc tg x dx;
(f)
.
x 2 − 4
2
x 2 − 4 x + 13
−∞
−∞
−∞
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
∞
∞
∞
Z
dx
Z
dx
Z
x( x + 1) dx
(a)
√
;
(b)
√
;
(c)
;
x ( x + 1)
x − 3
x 4 + x + 1
4
10
1
∞
∞
∞ √
Z
x 2 + 1 dx
Z
( x + sin x) dx
Z
2 + cos x dx
(d)
;
(e)
;
(f)
√
.
x 4 + x 2 + 1
x 3
x− 1
−∞
π
2
* 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
∞ √
∞
− 1
Z
( x + 1) dx
Z
x 2 dx
Z
( x + 1) dx
(a)
;
(b)
√
;
(c)
√
;
x ( x + 1)
x 5 − 3
1 − x 3
1
5
−∞
∞
∞
− 1
Z
Z
x 2 dx
Z
e 2 x + 1 dx
(d)
sin2 1 dx;
(e)
;
(f*)
.
x
x 3 − sin x
ex − 1
1
1
−∞
1
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
oraz osią Ox.
x 2 + 4
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = ( x, y) ∈ R 2 : x 0 , 0 ¬ y ¬ e−x .
1
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =
√ dla x 1 wokół osi Ox ma
x x
skończoną wartość.
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
0
π
3
Z
dx
Z
dx
Z
dx
(a)
√ ;
(b)
;
(c)
;
5 x 2
sin x
x( x − 3)
− 1
π
2
2
e
5
e
Z
ln x dx
Z
2 x dx
Z
sin ln x dx
(d)
;
(e)
;
(f*)
.
x
2 x − 8
x
0
3
0
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
√ 2
2
π
Z
1
1
Z
ex dx
Z
cos2 x dx
(a)
√ arc tg
dx;
(b)
;
(c)
√
;
x
x
x 3
3 x − π
0
0
0
4
2
3
Z
dx
Z
dx
Z
x 6 dx
(d)
√ ;
(e*)
√
;
(f*)
.
x 2 +
x
16 − x 4
( x − 1)2
0
0
1
‡ Zadania oznaczone gwiazdką są nieobowiązkowe. Nie należy ich przerabiać na ćwiczeniach. Przeznaczone są dla studentów, którzy chcą poszerzyć swoją wiedzę z analizy.
1
* 7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: π
1
π
Z
sin3 x dx
Z
e 2 x − 1 dx
Z
dx
(a)
;
(b)
√
;
(c)
√
;
x 4
3 x 4
3 cos x
0
0
π
2
1
0
π
Z
dx
Z
dx
Z
dx
(d)
;
(e*)
√
;
(f*)
;
(arc sin x)2
ex − e 2 x
x − sin x
0
− 1
0
2
1
2
Z
dx
Z
dx
Z
dx
(g*)
√ ;
(h*)
;
(i*)
.
x 2 − x
ex − cos x
2 x − x 2
1
0
1
* 8. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaściwymi pierwszego i drugiego rodzaju:
∞
∞
∞
Z
dx
Z
dx
Z
dx
(a)
;
(b)
;
(c)
√ ;
x 2 − 1
x + sin x
x 3 +
x
1
0
0
∞
∞
∞
Z
dx
Z
dx
Z
dx
(d)
;
(e)
;
(f)
√
.
3 x − 2 x
ln x
x 2 x − 2
0
1
2
9. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
∞
∞
∞
Z
x 3 cos x dx
Z
ex dx
Z
(a)
;
(b)
;
(c)
e−|x+5 | dx;
x 2 + 4
ex + 1
−∞
−∞
−∞
∞
9
1
Z
Z
dx
Z
sin x
(d
x 3 − x 2 dx;
(e
;
(f)
dx.
p |x|
x 2
−∞
− 4
− 1
Lista 2
10. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞ n
∞
∞
∞
X
5
X n − 1
X
1
X
1
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
√
√ .
6
n!
(2 n − 1)(2 n + 1)
n + 1 +
n
n=0
n=2
n=1
n=1
n
X
Uwaga. W przykładzie (b) przyjąć, że Sn =
ak, n 2 .
k=2
11. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
∞
X
1
X
n
X ln n
X
1
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
√
.
n 2 + n
n 2 + 4
n 2
n n + 1
n=1
n=1
n=2
n=1
12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
π
∞
∞
∞
∞ sin
X n 2 + n + 1
X
n + 1
X 2 n − 1
X
(a)
;
(b)
√
;
(c)
;
(d)
3 n .
2 n 3 − 1
n 3 + 1
3 n − 1
π
n=1
n=1
n=1
n=1 sin 2 n
13. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
X
3
X
n + 1
X
π
(a)
;
(b)
;
(c)
sin
;
n 2 + 2
n 2 + 1
2 n
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
X 2 n + sin n!
X 3 − 2 cos n 2
X
3 n + 1
(d)
;
(e)
√
;
(f)
.
3 n
n
n 3 n + 2 n
n=0
n=1
n=1
14. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
2
∞
∞
∞
X 100 n
X
π
X
n!
(a)
;
(b)
n 2 sin
;
(c)
;
n!
2 n
nn
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
X ( n!)2
X
nn
X 2 n + 1
(d)
;
(e)
;
(f)
.
(2 n)!
3 nn!
n 5 + 1
n=1
n=1
n=1
15. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
∞
X
( n + 1)2 n
X 2 n + 3 n
X
3 nnn 2
X
1
(a)
;
(c)
;
(d)
arc cos n
.
(2 n 2 + 1) n ;
(b)
3 n + 4 n
( n + 1) n 2
n 2
n=1
n=1
n=1
n=1
* 16. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
n 5
nn
nn
(3 n)!(4 n)!
(a) lim
= 0;
(b) lim
= 0;
(c) lim
= ∞;
(d*) lim
= 0 .
n→∞ 7 n
n→∞ ( n!)2
n→∞ n!
n→∞ (5 n)!(2 n)!
17. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:
∞
√
∞
∞
X
√
X
4 n
X
π
(a)
( − 1) n+1
n + 1 − n;
(b)
( − 1) n
;
(c)
tg
cos nπ;
4 n + 5 n
n
n=1
n=0
n=4
∞
∞
∞
X
X
ln2 n
X
( − 1) n
(d)
( − 1) n+1 3 n ;
(e)
( − 1) n
;
(f*)
ln 1 +
.
n!
n
n
n=1
n=2
n=2
* 18. Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:
∞
∞
X ( − 1) n+1
X
( − 1) n
(a)
, δ = 10 − 6;
(b)
, δ = 10 − 3.
n 10 n
(2 n + 1)!
n=1
n=0
Lista 3
19. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:
∞
∞
∞
n
X ( − 1) n+1
X ( − 1) nn
X
− 2 n
(a)
;
(b)
;
(c)
;
2 n + 1
n 2 + 1
3 n + 5
n=1
n=2
n=1
∞
√
∞
∞
⌊ n 2 ⌋
X
X ( − 2) n
X ( − 1)
(d)
( − 1) n n 3 − 1 ;
(e)
;
(f*)
.
3 n + 1
n + 1
n=2
n=0
n=0
20. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
∞
∞
∞
X
xn
X
X ( x + 3) n
(a)
;
(b)
n( x − 2) n;
(c)
;
n 2 n
n 3
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
X
xn
X
n
X n! xn
(d)
;
(e)
( x + 1) n;
(f*)
.
2 n + 3 n
n 2 + 1
nn
n=0
n=1
n=1
21. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2
x
(a)
;
(b) cos ;
(c) xe− 2 x;
1 − 3 x
2
x
(d)
;
(e) sinh x;
(f*) sin4 x.
9 + x 2
22. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:
x
(a) f (50)(0), f ( x) = x sin x;
(b) f (2014)(0), f ( x) =
;
ex
x 3
(c) f (21) (0), f ( x) =
;
(d) f (10)(0), f ( x) = sin2 3 x.
1 + x 2
x
Z
23. Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f ′( x) oraz
f ( t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
0
1
1
(a) f ( x) =
;
(b) f ( x) =
;
(c*) f ( x) = ex 2.
2 x − 1
1 + x 2
3
24. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:
∞
∞
∞
X
1
X 2 n − 1
X n( n + 1)
(a)
;
(b)
;
(c)
.
( n + 1)2 n
3 n
4 n
n=0
n=2
n=1
* 25. Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
1
1
Z
Z
(a)
ex 2 dx, δ = 0 . 001;
sin x 2 dx, δ = 0 . 0001.
0
0
Lista 4
26. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:
x
r x
x 2 y
x 2 + y 2 − 4
(a) f ( x, y) =
;
(b) f ( x, y) =
;
(c) f ( x, y) =
;
(d) f ( x, y) = ln
;
x − y 2
y
p x 2 + y 2 − 25
9 − x 2 − y 2
√
√
(e) g( x, y, z) =
x + p y − 1 + z − 2;
(f) g( x, y, z) = arc sin x 2 + y 2 + z 2 − 2.
27. Naszkicować wykresy funkcji:
(a) f ( x, y) = 1 − p x 2 + y 2;
(b) f ( x, y) = p3 + 2 x − x 2 − y 2;
(c) f ( x, y) = x 2 − 2 x + y 2 + 2 y + 3; (d) f ( x, y) = sin y;
(e) f ( x, y) = x 2 − 1;
(f) f ( x, y) = 1 − |x|.
* 28. Uzasadnić, że nie istnieją granice:
x 2 y 2
x 2 y
sin2 x
x + y − 2
(a)
lim
;
(b)
lim
;
(c)
lim
;
(d)
lim
.
( x,y) →(0 , 0) x 4 + y 4
( x,y) →(0 , 0) x 4 + y 2
( x,y) →( π, 0)
y 2
( x,y) →(1 , 1) x 2 + y 2 − 2
* 29. Obliczyć granice:
1 − cos x 2 + y 2
xy 2
x 4 − y 4
(a)
lim
;
(b)
lim
;
(c)
lim
;
( x,y) →(0 , 0)
( x 2 + y 2)2
( x,y) →(0 , 0) x 2 + y 2
( x,y) →(0 , 0) x 2 − y 2
x 2 y 2 − 4 x 2 − y 2 + 4
tg x 3 − y 3
1
(d)
lim
;
(e)
lim
;
(f)
lim
x 2 + y 2 sin
.
( x,y) →(1 , 2)
xy − 2 x − y + 2
( x,y) →(0 , 0)
x − y
( x,y) →(0 , 0)
xy
30. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu fx, fy funkcji f i pochodne cząstkowe gx, gy, gz funkcji g we wskazanych punktach:
x + y 2
(a) f ( x, y) = x 2 y, (0 , 1);
(b) f ( x, y) = p x 4 + y 4, (0 , 0);
(c) g( x, y, z) =
, ( − 1 , 0 , 1).
z
31. Obliczyć pochodne cząstkowe fx, fy funkcji f i pochodne cząstkowe gx, gy, gz funkcji g: x 2 + y 2
1 − xy
sin y
(a) f ( x, y) =
;
(b) f ( x, y) = arc tg
;
(c) f ( x, y) = e
x ;
xy
x + y
xz
(d) f ( x, y) = x p x 2 + y 2;
(e) f ( x, y) = ln x + p x 2 + y 2 ;
(f) g( x, y, z) = x 2 +
+ yz 3;
y
r
x
q
√
(g) g( x, y, z) =
;
(h) g( x, y, z) = sin( x cos( y sin z));
(i) g( x, y, z) =
x +
y +
z.
x 2 + y 2 + z 2
Lista 5
* 32. Sprawdzić, że podana funkcja spełnia wskazane równanie:
(a) f ( x, y) = ln x 2 + xy + y 2,
xfx + yfy = 2;
√
y
f
(b) f ( x, y) =
x sin ,
xf
.
x
x + yfy = 2
33. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu fxx, fxy, fyx, fyy funkcji f i pochodne cząstkowe gxx, gxy, gxz, gyx, gyy, gyz, gzx, gzy, gzz funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe: y
(a) f ( x, y) = sin x 2 + y 2;
(b) f ( x, y) = xexy;
(c) f ( x, y) = x +
;
x
1
(d) f ( x, y) = y ln xy;
(e) g( x, y, z) =
;
(f) g( x, y, z) = ln x 2 + y 4 + z 6 + 1.
p x 2 + y 2 + z 2
4
34. Obliczyć pochodne cząstkowe:
x + y
x 2 y 3
(a) hxyy,
h( x, y) = sin xy;
(b) hyyxy,
h( x, y) =
;
(c) h
.
x − y
xyz,
h( x, y, z) =
z
* 35. Sprawdzić, że funkcje:
y
r x
y
√
(a) z = arc tg ;
(b) z = x +
;
(c) z = x + ln 1 +
;
(d) z = x +
xy
x
y
x
spełniają równanie
x 2 zxx + 2 xyzxy + y 2 zyy = 0 , ( x, y > 0) .
36. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: (a) z = x 2p y + 1 ,
( x 0 , y 0 , z 0) = (1 , 3 , z 0);
(b) z = ex+2 y,
( x 0 , y 0 , z 0) = (2 , − 1 , z 0);
√
!
arc sin x
1
3
(c) z =
,
( x
− ,
, z
;
(d) z = xy,
( x
arc cos y
0 , y 0 , z 0) =
2
2
0
0 , y 0 , z 0) = (2 , 4 , z 0).
x
37. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
płaszczyzny x + y − z = 5 .
1 − xy
(a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg
, która jest prostopadła do
x + y
t
t
prostej x =
, y =
, z = t, t ∈ R .
2
2
Lista 6
38. (a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ± 1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego stożka?
(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
(c) Oszacować błąd względny δV objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z dokładnością odpowiednio ∆ x, ∆ y, ∆ z.
* 39. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:
z
(a) z = f x 2 + y 2 ,
yzx − xzy = 0;
(b) z = xf (sin( x − y)) ,
zx + zy =
;
x
y
x
y
(c) z = xnf
,
xz
g( x) + h
,
xyz
x
x + yzy = nz ( n ∈ N);
(d*) z = y
x
xy + y 2 zyy + xzx + 2 yzy = 0 .
* 40. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
√
!
3 1
(a) f ( x, y) = p x 2 + y 2 , ( x 0 , y 0) = (0 , 0) , v =
,
;
2
2
√
√ !
√
2
2
(b) f ( x, y) = 3 xy, ( x 0 , y 0) = (1 , 0) , v =
,
;
2
2
3
4 12
(c) g( x, y, z) = x 2 + yz, ( x 0 , y 0 , z 0) = ( − 1 , 0 , 1) , v =
,
,
.
13 13 13
41. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
12 5
(a) f ( x, y) = x 2 + y 2, ( x 0 , y 0) = ( − 3 , 4), v =
,
;
13 13
y
3
4
(b) f ( x, y) = x −
+ y, ( x
, −
;
x 2
0 , y 0) = (1 , 1), v =
5
5
√ !
1
3
3
(c) g( x, y, z) = exyz, ( x 0 , y 0 , z 0) = ( − 1 , 1 , − 1), v =
, − ,
.
2
4
4
5
1
42. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f ( x, y) = y − x 2 + 2 ln( xy) . w punkcie − , − 1 w kierunku 2
wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla jakiego przyjmuje wartość największą?
√
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f ( x, y) =
ex x + y 2 w punkcie (0 , 2) ma pochodną
kierunkową równą 0 .
Lista 7
43. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f ( x, y) = 3( x − 1)2 + 4( y + 2)2;
(b) f ( x, y) = x 3 + y 3 − 3 xy;
√
(c) f ( x, y) = x 3 + 3 xy 2 − 51 x − 24 y; (d) f ( x, y) = y x − y 2 − x + 6 y;
8
x
(e) f ( x, y) = xy 2 (12 − x − y) , ( x, y > 0); (f) f ( x, y) =
+
+ y, ( x, y > 0);
x
y 1 1
(g) f ( x, y) = xy + ln y + x 2;
(h) f ( x, y) = 4 xy +
+ .
x
y
44. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:
(a) f ( x, y) = x 2 + y 2, 3 x + 2 y = 6;
(b) f ( x, y) = x 2 + y 2 − 8 x + 10, x − y 2 + 1 = 0; (c) f ( x, y) = x 2 y − ln x, 8 x + 3 y = 0; (d) f ( x, y) = 2 x + 3 y, x 2 + y 2 = 1.
45. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
(a) f ( x, y) = 2 x 3 + 4 x 2 + y 2 − 2 xy, D = ( x, y) ∈ R2 : x 2 ¬ y ¬ 4 ; (b) f ( x, y) = x 2 + y 2 − 6 x + 4 y, D = ( x, y) ∈ R2 : x + y ¬ 4 , 2 x + y ¬ 6 , x 0 , y 0 ; (c) f ( x, y) = x 2 + y 2, D = ( x, y ∈ R2 : |x| + |y| ¬ 2 ; (d) f ( x, y) = xy 2 + 4 xy − 4 x, D = ( x, y) ∈ R2 : − 3 ¬ x ¬ 3 , − 3 ¬ y ¬ 0 ; (e) f ( x, y) = x 4 + y 4, D = ( x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ¬ 9 .
46. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = ( − 1 , 5), B = (1 , 4), C = (2 , − 3) znaleźć punkt M = ( x 0 , y 0), dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V , aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0 ,
x − y + 3 = 0 ,
k :
l :
z + 1
= 0 ,
z − 2
= 0 .
(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł / m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł / m2 , a sufitu w cenie 20 zł / m2 . Znaleźć długość a, szerokość b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę.
Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi
K( x, y) = x 2 − xy + y 2 [zł].
Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?
Lista 8
47. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
ZZ
ZZ
dxdy
(a)
x + xy − x 2 − 2 y dxdy, R = [0 , 1] × [0 , 1]; (b)
, R = [0 , 2] × [0 , 1];
( x + y + 1)3
R
R
ZZ
ZZ
(c)
( x sin xy) dxdy, R = [0 , 1] × [ π, 2 π]; (d)
e 2 x−y dxdy, R = [0 , 1] × [ − 1 , 0] .
R
R
6
ZZ
48. Całkę podwójną
f ( x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o D
równaniach:
(a) y = x 2 , y = x + 2;
(b) x 2 + y 2 = 4 , y = 2 x − x 2 , x = 0 ( x, y 0); (c) x 2 − 4 x + y 2 + 6 y − 51 = 0;
(d) x 2 − y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 3 ( x < 0) .
49. Obliczyć całki iterowane:
√
2
x 2
4
2 x
2
4 −x 2
3
y
Z
Z
y
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(a)
dx
dy;
(b)
dx
x 2 √y − x dy;
(c)
dx
x 3 + y 3 dy;
(d)
dy
p y 2 + 16 dx.
x 2
1
x
1
x
− 2
0
0
0
Narysować obszary całkowania.
50. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:
√
1
|x|
1
0
4
2 x
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(a)
dx
f ( x, y) dy;
(b)
dx
f ( x, y) dy;
(c)
dx
f ( x, y) dy;
− 1
0
− 1
√
√
− 1 −x 2
0
4 x−x 2
√
2
y
2
2
π
sin x
e
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(d)
dy
f ( x, y) dx;
(e)
dx
f ( x, y) dy;
(f)
dx
f ( x, y) dy.
√
− 2
y 2 − 1
π
cos x
1
ln x
2
51. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:
ZZ
ZZ
1
√
(a)
xy 2 dxdy, D : y = x, y = 2 − x 2;
(b)
x 2 y dxdy, D : y = − 2, y = , y = − −x; x
D
D
ZZ
√
ZZ
x
(c)
e y dxdy, D : y =
x, x = 0, y = 1;
(d)
xy + 4 x 2 dxdy, D : y = x + 3, y = x 2 + 3 x + 3; D
D
ZZ
ZZ
(e)
x 2 exy dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;
(f)
( xy + x) dxdy, D : x = 0, y = − 1, y = 3 − x 2 ( x 0); D
D
ZZ
√
ZZ
(g)
ex 2 dxdy, D : y = 0, y = 2 x, x =
ln 3;
(h)
(2 x − 3 y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = − 1, x = sin y.
D
D
* 52. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
ZZ
(a)
min( x, y) dxdy, D = [0 , 1] ×[0 , 2];
(b)
⌊x + y⌋ dxdy, D = [0 , 2] ×[0 , 2];
D
D
ZZ
(c)
|x − y| dxdy, D = ( x, y) ∈ R2 : x 0 , 0 ¬ y ¬ 3 − 2 x ; D
ZZ
(d)
sgn x 2 − y 2 + 2 dxdy, D = ( x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ¬ 4 .
D
Uwaga. Symbol min( a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.
53. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h
π i
(a) f ( x, y) = sin x cos y, D = [0 , π] × 0 ,
;
(b) f ( x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
2
* 54. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: ZZ
( x + y)2
(a)
dxdy, D : x + y = − 1 , x + y = 1 , x − y = 1 , x − y = 3; ( x − y)3
D
ZZ
dxdy
1
(b)
, D : y = x, y = 2 x, y = − x + 1 , y = − 2 x + 4; y
2
D
ZZ
(c)
xy dxdy, D : xy = 1 , xy = 2 , y = x 2 , y = 3 x 3; D
7
ZZ
(d*)
x 4 − y 4 dxdy, D : x 2 + y 2 = 3 , x 2 + y 2 = 5 , x 2 − y 2 = 1 , x 2 − y 2 = 2 ( x 0 , y 0) .
D
Lista 9
55. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: ZZ
√
ZZ
(a)
xy dxdy, D : x 2 + y 2 ¬ 1 , x
√ ¬ y ¬
3 x;
(b)
xy 2 dxdy, D : x 0 , 1 ¬ x 2 + y 2 ¬ 2; 3
D
D
ZZ
ZZ
(c)
y 2 ex 2+ y 2 dxdy, D : x 0 , y 0 , x 2 + y 2 ¬ 1; (d)
x 2 dxdy, D : x 2 + y 2 ¬ 2 y;
D
D
ZZ
ZZ
(e)
x 2 + y 2 dxdy, D : y 0 , y ¬ x 2 + y 2 ¬ x; (f)
y dxy, D : x 2 + y 2 ¬ 2 x.
D
D
Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.
56. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
(a) y 2 = 4 x, x + y = 3 , y = 0 ( y 0);
(b) x 2 + y 2 − 2 y = 0 , x 2 + y 2 − 4 y = 0;
√
(c) x + y = 4 , x + y = 8 , x − 3 y = 0 , x − 3 y = 5; (d) x 2 + y 2 = 2 y, y =
3 |x|.
57. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:
(a) y = z, y = 2 x, y = 2 , z = 0 , z = y;
(b) x 2 + y 2 + z 2 = 4 . z = 1 ( z 1);
(c) x 2 + y 2 − 2 y = 0 , z = x 2 + y 2 , z = 0; (d) z = 5 − x 2 + y 2 , x = 0 , y = 0 , x + y = 1 , z = 0; (e*) ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 1 , z = xy, z = 0;
(f*) 2 z = x 2 + y 2 , y + z = 4 .
58. Obliczyć pola płatów:
(a) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ¬ 1; (b) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x 2 + y 2 − Rx ¬ 0 , z 0; (c) z = p x 2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2.
59. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D = ( x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , σ( x, y) = x; (b) D = ( x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x 2 + y 2 ¬ 4 , y 0 , σ( x, y) = |x|.
60. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(b) D = ( x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x ; (c) D = ( x, y) ∈ R2 : x 2 ¬ y ¬ 1 ;
(d) D = ( x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ ex .
61. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D – kwadrat jednorodny o boku a, przekątna kwadratu, przyjąć σ( x, y) = 1; (b) D = ( x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ¬ R 2 , y 0 , oś Ox, przyjąć σ( x, y) = p x 2 + y 2; (c) D = ( x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 1 − x 2 , oś symetrii obszaru, przyjąć σ( x, y) = x 2; (d) D = ( x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , oś Ox, przyjąć σ( x, y) = x.
Lista 10
62. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
ZZZ
x dxdydz
(a)
, U = [1 , 2] × [1 , e] × [1 , e];
yz
U
ZZZ
(b)
( x + y + z) dxdydz, U = [1 , 2] × [2 , 3] × [3 , 4]; U
ZZZ
(c)
sin x sin( x + y) sin( x + y + z) dxdydz, U = [0 , π] × [0 , π] × [0 , π]; U
8
ZZZ
(d)
( x + y) ex+ z dxdydz, U = [0 , 1] × [0 , 1] × [0 , 1].
U
63. Całkę potrójną z funkcji g( x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony powierzchniami o podanych równaniach:
(a) z = 2p x 2 + y 2 , z = 6;
(b) x 2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4, ( z 4);
(c) z = x 2 + y 2 , z = p20 − x 2 − y 2.
* 64. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:
√
1
2 − 2 x
3 − 3 x− 3 y
4 −x 2 −y 2
2
2
0
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(a)
dx
dy
f ( x, y, z) dz;
(b)
dx
dy
f ( x, y, z) dz;
√
0
0
0
− 2
√
− 4 −x 2
−
4 −x 2 −y 2
√
√
√
3
z
z−x 2
1
1 −x 2
1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(c)
dz
dx
f ( x, y, z) dy;
(d)
dx
dy
f ( x, y, z) dz.
0
√
√
− z
− z−x 2
0
0
x 2+ y 2
65. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g( x, y, z) = ex+ y+ z, U : x ¬ 0 , −x ¬ y ¬ 1 , 0 ¬ z ¬ −x; 1
(b) g( x, y, z) =
, U : x 0 , y 0 , 0 ¬ z ¬ 1 −x−y;
(3 x+2 y + z +1)4
(c) g( x, y, z) = x 2 + y 2, U : x 2 + y 2 ¬ 4 , 1 − x ¬ z ¬ 2 − x; (d) g( x, y, z) = x 2 y 2, U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1 .
* 66. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:
ZZZ
(a)
x( x + y)2( x + y + z)3 dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1, U
x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3; ZZZ
y 2
(b)
dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2 x, xy = 1, xy = 4, x
U
z = y + 2, z = y + 3, x > 0;
ZZZ
(c*)
x 2 + y 2 dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła ( x − R)2 + z 2 ¬ r 2, U
y = 0, 0 < r ¬ R.
Lista 11
67. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
(a)
x 2 + y 2 + z 22 dxdydz, U : x 2 + y 2 ¬ 4 , 0 ¬ z ¬ 1; U
ZZZ
(b)
xyz dxdydz, U : p x 2 + y 2 ¬ z ¬ p1 − x 2 − y 2; U
ZZZ
(c)
x 2 + y 2 dxdydz, U : x 2 + y 2 + z 2 ¬ R 2 , x 2 + y 2 + z 2 ¬ 2 Rz; U
ZZZ
(d)
( x + y + z) dxdydz, U : x 2 + y 2 ¬ 1 , 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
U
68. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
dxdydz
(a)
, U : 4 ¬ x 2 + y 2 + z 2 ¬ 9;
p x 2 + y 2 + z 2
U
ZZZ
(b)
x 2 + y 2 dxdydz, U : p x 2 + y 2 ¬ z ¬ p1 − x 2 − y 2; U
9
ZZZ
(c)
z 2 dxdydz, U : x 2 + y 2 + ( z − R)2 ¬ R 2 ( R > 0); U
ZZZ
(d)
x 2 dxdydz, U : x 2 + y 2 + z 2 ¬ 4 x.
U
69. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
(a) x 2 + y 2 = 9 , x + y + z = 1 , x + y + z = 5; (b) x = − 1 , x = 2 , z = 4 − y 2 , z = 2 + y 2; 1
(c) z =
, z = 0 , x 2 + y 2 = 1;
(d) x 2 + y 2 + z 2 = 2 , y = 1 ( y 1) .
1 + x 2 + y 2
70. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0 , a] × [0 , b] × [0 , c], γ( x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0; (b) U : x 2 + y 2 + z 2 ¬ 9, γ( x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2.
71. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x; (b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
(c) U : x 2 + y 2 ¬ z ¬ p2 − x 2 − y 2.
72. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M : (a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.
Lista 12
73. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:
(a) 2 t − 1;
(b) sin 2 t;
(c) t 2;
(d) te−t;
(e) e 2 t cos 2 t;
(f) sinh t;
(g)
y
(h)
y
(i)
y
y = f ( t)
y = g( t)
y = h( t)
1
1
1
1
t
1
2
t
1
t
74. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:
1
s
1
(a)
;
(b)
;
(c)
;
s + 2
s 2 + 4 s + 5
s 2 − 4 s + 3
s + 2
s 2 + 1
s + 9
(d)
;
(e)
;
(f)
;
( s + 1)( s − 2) ( s 2 + 4)
s 2 ( s 2 − 1)2
s 2 + 6 s + 13
2 s + 3
3 s 2
e−s
(g)
;
(h)
;
(i)
.
s 3 + 4 s 2 + 5 s
( s 3 − 1)2
s + 1
75. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach:
(a) y′ − y = 1, y(0) = 1;
(b) y′ − 2 y = sin t, y(0) = 0;
(c) y′′ + y′ = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1;
(d) y′′ + 3 y′ = e− 3 t, y(0) = 0, y′(0) = − 1; (e) y′′ − 2 y′ + 2 y = sin t, y(0) = 0, y′(0) = 1; (f) y′′ − 2 y′ + y = 1 + t, y(0) = 0, y′(0) = 0; (g) y′′ + 4 y′ + 4 y = t 2, y(0) = 0, y′(0) = 0; (h) y′′ + 4 y′ + 13 y = te−t, y(0) = 0, y′(0) = 2.
* 76. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:
(a) sin4 t;
(b) cos 4 t cos 2 t;
(c) t 2 cos t;
(d) t sinh 3 t;
(e) tet cos t;
(f) e 3 t sin2 t;
(g) 1( t − 2) sin( t − 2);
(h) 1( t − 1) et− 1.
10
* 77. Obliczyć sploty par funkcji:
(a) f ( t) = et, g( t) = e 2 t;
(b) f ( t) = cos 3 t, g( t) = cos t;
(c) f ( t) = 1( t) , g( t) = sin t;
(d) f ( t) = et, g( t) = t.
* 78. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: 1
1
1
s
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
.
( s + 1)( s + 2)
( s − 1)2( s + 2)
s 2 ( s 2 + 1)
( s 2 + 1)2
Lista 13
79. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:
π
(
(
sin t
dla
|t| ¬ π,
cos t
dla |t| ¬ ,
2
t
dla |x| ¬ 1 ,
(a) f ( t) =
(b) f ( t) =
(c) f ( t) =
0
dla
|t| > π;
π
0
dla |x| > 1;
0
dla
;
|t| > 2
(
t 2
dla
|t| ¬ 1 ,
(d) f ( t) =
(e) f ( t) = e−|t|;
(f*) f ( t) = e−at 2, a 6= 0.
0 dla
|t| > 1;
∞
Z
r π
Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość
e−at 2 dt =
.
a
−∞
80. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji y
h
c
t
c − δ c + δ
2
2
81. Pokazać, że jeżeli F {f( t) } = ˆ
f ( ω), to:
1 h
i
1 h
i
(a) F {f( t) cos αt} =
ˆ
f ( ω − α) + ˆ
f ( ω + α) ;
(b) F {f( t) sin αt} =
ˆ
f ( ω − α) − ˆ
f ( ω + α) .
2
2 i
82. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji:
(a) f ( t) = e− 3 |t− 1 |;
(b) f ( t) = te−|t|;
(c) f ( t) = e− 4 t 2 − 4 t− 1;
(
t
(
cos
dla
|t| ¬ π,
2 cos t
dla
|t| ¬ π,
(d) f ( t) =
2
(e) f ( t) =
(f) f ( t) = [1( t) − 1( t − 4)] · t; 0
dla
|t| > π;
0
dla
|t| > π;
t
(g) f ( t) = 1( t) · e−t cos t;
(h) f ( t) = e−|t| cos ;
(i) f ( t) = e−|t| sin 2 t.
2
0 dla
t < 0 ,
Uwaga. 1( t) =
– funkcja Heaviside’a.
1 dla
t 0
* 83. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (a)
(b)
y
y
2
2
− 2
2
t
− 2 − 1
1
2
t
* 84. W obwodzie RLC, napięcie x( t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y( t) sygnałem wyjściowym (rys.).
+
R
L
+
x( t)
y( t)
−
C
−
Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y( t) .
11
′′
′′′
1
85. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t 2 f ( t) + 2 f ( t), jeżeli ˆ
f ( ω) =
.
1 + ω 2
86. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:
1
1
e 2 iω
sin ω cos ω
1
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(e)
;
(f)
;
1 + 2 iω
4 + ω 2
1 + iω
2 ω
(1 + ω 2) (4 + ω 2)
87. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:
(a) f ( t) = g( t) = 1( t) − 1( t − 1), (b) f ( t) = 1( t) − 1( t − 1), g( t) = 1( t + 1) − 1( t), (c) f ( t) = 1( t) · e−t, g( t) = 1( t) · e− 2 t, (d) f ( t) = g( t) = e−t 2.
12