WNEiZ UMK
Zadanie 1
Zmienna losowa X posiada następujący rozkład:
x
p( x ) - prawdopodobieństwo
i
i
0
0,1
1
0,25
2
0,3
3
0,25
4
0,1
a) wykreśl funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,
b) wyznaczyć dystrybuantę,
c) obliczyć wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe, współczynnik asymetrii, współczynnik
koncentracji.
Zadanie 2
Z dużej parti produkcji pobrano w sposób przypadkowy 5 sztuk towaru. Niech X oznacza liczbę sztuk
wadliwych wśród wylosowanych. Wiadomo, że wadliwość produkcji wynosi 20%.
a) określić rozkład zmiennej losowej X (rozkład Poissona, rozkład Bernoulliego, rozkład normalny)
b) oblicz przeciętną liczbę sztuk wadliwych wśród wylosowanych,
c) oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych sztuk są co najwyżej 2 wadliwe,
d) oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych sztuk jest mniej niż 5 wadliwych.
Zadanie 3
Wiadomości przychodzą do centrali telefonicznej zgodnie z rozkładem Poissona ze średnią 6 wiadomości na
godzinę. Znajdź prawdopodobieństwo, że:
a) dokładnie 2 wiadomości przychodzą w ciągu godziny,
b) nie będzie żadnej wiadomości,
c) przynajmniej 3 wiadomości przychodzą w ciągu godziny.
Zadanie 4
Waga paczek (w kg) przychodząca do firmy kurierskiej może być modelowana przy użyciu rozkładu
normalnego N(5;16) . Oblicz
a) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży mniej niż 1 kg,
b) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży pomiędzy 1 a 10 kg,
c) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży więcej niż 9 kg,
d) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka waży mniej niż 1 kg albo więcej niż 9 kg.
Zadanie 5
Jesteś osobą zarządzającą stroną internetową. W celu przyciągnięcia i utrzymania internautów musisz
zapewnić, aby nowe treści wideo mogły być szybko pobierane i odtwarzane przez użytkowników. Dane
wskazują, że średni czas pobierania wynosi 7 sekund a odchylenie standardowe wynosi 2 sekundy. Czas
pobierania jest rozłożony zgodnie z krzywą normalną. Ile sekund minie zanim 10% materiału wideo zostanie
pobrane.
1
WNEiZ UMK
Zadanie 6
Na lini produkcyjnej maszyna dokonuje automatycznego pakowania produktu. Wiadomo, że rozkład
automatycznego pakowania produktu jest normalny z odchyleniem standardowym 1,1 dag. Wykonano 9
losowych pomiarów wagi zawartości opakowań i otrzymano następujące wyniki: 200,8; 199; 198,6; 197,8;
200,2; 199,8; 200,5; 197,5; 198,8.
a) Wyznacz przedział ufności dla nieznanej średniej wagi opakowań, przyjmując poziom ufności 95%.
b) Zakładając 90% i 99% poziom ufności jaka będzie odpowiedź w punkcie a)?
c) Zakładając, że dokonano 25 pomiarów i otrzymano dokładnie taką samą średnią jak dla 9, to jaka
będzie odpowiedź w punkcie a)?
Zadanie 7
Na 16 poletkach doświadczalnych posiano roślinę kappa. Po upływie trzech miesięcy zmierzono wzrost
roślin i otrzymano wyniki: średnia równa 26,4 i odchylenie standardowe 1,5. Na podstawie uzyskanych
wyników wyznacz przedział ufności dla nieznanego średniego wzrostu rośliny, przy poziomie ufności 0,90.
Zadanie 8
Jedna z najważniejszych miar opisująca jakość usług dostarczanych przez przedsiębiorstwa jest czas, który
potrzebuje do całkowitego rozpatrzenia reklamacji. Duży sklep postawił sobie za cel poprawić jakość
świadczonych usług, poprzez zmniejszenie liczby dni od otrzymania reklamacji do jej całkowitego
rozpatrzenia. Dane zostały zebrane z 50 reklamacji z poprzedniego roku i przedstawiają liczbę dni od
otrzymania reklamacji do jej całkowitego rozpatrzenia: 54 5 35 137 31 27 152 2 123 81 74 27 11 19 126 110
110 29 61 35 94 31 26 5 12 4 165 32 29 28 29 26 25 1 14 13 13 10 5 27 4 52 30 22 36 26 20 23 33 68.
Wiadomo również, że średnia z tych 50 reklamacji wynosi 43,04, a odchylenie standardowe 41,92.
a) Oszacuj przedział ufności dla nieznanej średniej liczby dni pomiędzy otrzymaniem reklamacji a jej
całkowitym rozpatrzeniem.
b) Jakie założenie należy poczynić w celu oszacowania przedziału ufności z punktu a)?
c) Czy założenie poczynione w punkcie b) jest spełnione? Podaj wyjaśnienie.
d) Jaki skutek może mieć wniosek z punktu c) na słuszność wyników uzyskanych w punkcie a)?
Zadanie 9
Sklep z materiałami papierniczymi chce oszacować średnią wartość wszystkich kartek okolicznościowych,
które ma na stanie. Losowa grupa 100 kartek wskazuje, że średnia wartość wynosi 2,55 zł z odchyleniem
standardowym 0,44 zł. Zakładając rozkład normalny zbuduj 90% przedział ufności średniej wartości
wszystkich kartek okolicznościowych w sklepie.
Zadanie 10
Z danych reprezentujących badanie budżetów rodzinnych przeprowadzonych w pewnym województwie,
otrzymano, że 207 spośród 500 przebadanych jest wyposażona w frytkownicę. Przyjmując współczynnik
ufności 0,9 wyznacz przedział ufności dla nieznanej frakcji gospodarstw domowych mających frytkownicę.
Zadanie 11
Przedsiębiorstwo B2 chce wiedzieć ile wystawionych faktur zawiera błędy. W tym celu zebrano informacje o
200 fakturach, z których okazało się, że 18 z nich zawiera błędy.
Zadanie 12
W celu sprawdzenia dokładności pracy automatu wytwarzającego śruby dokonano pomiaru średnicy 10
losowo wybranych śrub. Wyniki są następujące: 7,0; 7,4; 6,8; 7,2; 6,8; 7,3; 7,2; 7,0; 6,9; 7,4. Zakładając, że
rozkład średnicy śrub jest normalny wyznaczyć przedział ufności dla nieznanej wariancji średnicy
wytworzonych śrub przy poziomie ufności 0,9.
2
WNEiZ UMK
Zadanie 13
Rozwiąż zadanie 12 zakładając, że wybrano w sposób losowy 35 śrub, które po zmierzeniu pokazały, że
odchylenie standardowe wynosi 0,055.
Zadanie 14
Wypełnij poniższą tabelę odpowiednimi sformułowaniami ( H , Błąd I rodzaju, Błąd I rodzaju, 1− β ) i
0
podaj ich definicję
Rzeczywista sytuacja
Decyzja statystyczna
H prawdziwa
H fałszywa
0
0
Brak podstaw do odrzucenia H
0
Odrzucamy H
0
Zadanie 15
Czas montowania pewnego elementu w urządzeniu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Norma
techniczna przewiduje na tę czynność 6 minut, natomiast wśród jej wykonawców istnieje pogląd, że ten
normatywny czas jest zbyt krótki. Należy sprawdzić to przypuszczenie przy założeniu, że odchylenie
standardowe czasu montowania wynosi 1 minutę i 30 sekund. Obliczono, że w grupie 49 pracowników
średni czas montowania wynosi 6 minut i 20 sekund.
a) Należy sprawdzić podane przypuszczenie na poziomie istotności 5%,
b) Zakładając poziom istotności 1% i 10% jaka będzie odpowiedź w punkcie a),
c) Podaj najniższy poziom istotności, który prowadzi do odrzucenia H .
0
Zadanie 16
Plony żyta na powierzchni uprawianych w pewnym województwie mają rozkład normalny o nieznanych
parametrach. Przyjmuje się, że średni plon z tych powierzchni wynosi 28 q/ha. Należy sprawdzić, czy jest to
słuszny pogląd jeśli dla 20 powierzchni otrzymano średni plon 25 q/ha z odchyleniem standardowym 4,5
q/ha. Poziom istotności 1% i 5%.
Zadanie 17
Według badania (R.A Smith, The Wall Street Journal, March 13, 2008) kobiety wydają 1527 dolarów na
dobra luksusowe, przy zakupie przez Internet, natomiast mężczyźni wydają 2401 dolarów. Zakładamy, że w
badaniu brało udział 600 mężczyzn i 700 kobiet z odchyleniem standardowym tych wydatków równym
odpowiednio 1200 dolarów i 1000 dolarów. Ustal czy jest powód sądzić, że średnia wydatków na dobra
luksusowe jest większa dla mężczyzn niż dla kobiet, zakładając poziom istotności 1%.
Zadanie 18
Czy typ wystawy użytej w supermarkecie wypływa na sprzedaż produktu? Chcesz porównać wielkość
sprzedaży produktu, który jest wystawiony na standardowej półce, do wielkości sprzedaży tego samego
produktu ale wystawionego na specjalnej półce na końcu alejki. Wybierasz 20 sklepów sieci supermarketów
i w sposób losowy przypisujesz 10 z nich do pierwszej próby, a pozostałe 10 do drugiej próby. Próba
pierwsza odnosi się do standardowej półki, a druga do specjalnej półki na końcu alejki. Uzyskałeś
następujące wyniki:
- dla pierwszej próby: średnia 26, odchylenie standardowe 3 i liczebność 60.
- dla drugiej próby: średnia 30, odchylenie standardowe 3,1 i liczebność 60.
3
WNEiZ UMK
Zadanie 19
Średnia sprzedaż zegarków tradycyjnych w próbie 20 sklepów na terenie pewnego miasta wynosi 37 z
odchyleniem standardowym 7,5, natomiast średnia sprzedaż zegarków z dodatkowymi funkcjami wynosi 30
z odchyleniem standardowym 3,2 w próbie 20 sklepów. Na poziomie istotności 10% zweryfikuj hipotezę, że
przeciętna sprzedaż zegarków tradycyjnych i z dodatkowymi funkcjami są sobie równe.
Zadanie 20
Właściciel stacji paliw chce zbadać nawyki zakupu paliwa przez kierowców. Wybrał losowo 60 kierowców w
ciągu pewnego tygodnia. Otrzymał następujące wyniki: średnia 31,3 litra z odchyleniem standardowym 5,6
litra. 11 kierowców zakupiło paliwo wzbogacone o dodatkowe oktany. Na poziomie istotności 5% sprawdź
czy jest powód by sądzić, że 20% wszystkich kierowców kupuje paliwo wzbogacone o dodatkowe oktany.
Zadanie 21
Badanie przeprowadzone dla American Express miało na celu sprawdzić, czy osoby dorosłe chcą mieć
dostęp do Internetu podczas pobytu na wakacjach. Z 2000 dorosłych, 1540 z nich powiedziało, że chce mieć
dostęp do Internetu podczas pobytu na wakacjach w celu sprawdzania prywatnych maili. Podobne badanie
przeprowadzone w poprzednim roku wskazało, że 75% dorosłych powiedziało, że chce mieć dostęp do
Internetu podczas pobytu na wakacjach w celu sprawdzania prywatnych maili. Na poziomie istotności 5%
czy jest powód sądzić, że procent osób dorosłych, które chcą mieć dostęp do Internetu podczas pobytu na
wakacjach zmienił się do tego z poprzedniego roku.
Zadanie 22
Wysunięto przypuszczenie, że palacze papierosów stanowią jednakowy odsetek wśród kobiet i mężczyzn. W
celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano 600 mężczyzn i 700 kobiet. Okazało się, że wśród wylosowanych
mężczyzn było 300 palaczy, a wśród kobiet 400. Na poziomie istotności 5% zweryfikuj podaną hipotezę.
Zadanie 23
Chcemy sprawdzić, czy odchylenie standardowe w rozkładzie czasu montowania elementu T w pralce
automatycznej wynosi 1,5 minuty. W zbadanej grupie 25 robotników otrzymano wariancję czasu
montowania równą 2,8.
a) Na poziomie istotności 5% i 10% zweryfikuj to przypuszczenie,
b) W innej fabryce zbadano odchylenie standardowe z czasu montowania elementu T w pralce
automatycznej, które wynosiło 1,6 minuty. W grupie 50 pracowników otrzymano wariancję 3,5.
Zbadaj to samo przypuszczenie co w punkcie a).
Zadanie 24
Przypuszcza się, że młodsze osoby łatwiej decydują się na zakup nowych nieznanych produktów. Badanie
przeprowadzone wśród przypadkowych 20 nabywców nowego produktu i 22 nabywców znanego produktu
pewnej firmy dostarczyło następujących informacji o wieku klientów w latach. Nabywcy nowego produktu:
średnia 27,7; odchylenie standardowe 5,5. Nabywcy znanego produktu: średnia 32,7; odchylenie
standardowe 6,3. Sprawdź, czy słuszne jest założenie o identyczności odchyleń standardowych wieku
populacji nabywców produktu nowego i znanego. Załóż 10% poziom istotności.
Zadanie 25
Dla celów racjonalnego żywienia konieczne jest ustalenie zawartości witaminy C w owocach czarnej i
czerwonej porzeczki. Pobrano osiem 100-gramowych próbek świeżych owoców czarnej i czerwonej
porzeczki. Po wykonaniu pomiarów otrzymano następujące ilości witaminy C w wylosowanych porcjach:
czarna porzeczka: 48, 42, 50, 56, 55, 45, 60, 44; czerwona porzeczka: 40, 41, 42, 38, 48, 32, 39, 40.
Zweryfikuj hipotezę o jednakowym zróżnicowaniu witaminy C w owocach czerwonej i czarnej porzeczki.
4