Mieczysław Wilk
Materiał pomocniczy
do rozwiązywania kratownic płaskich
Mielec 2007
Mieczysław Wilk
Materiał pomocniczy
do rozwiązywania kratownic płaskich
Mielec 2007
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
2
Spis treści
Dział
Nazwa działu
Strona
1
Wstęp
3
2
Wiadomości i umiejętności do zrozumienia i zapamiętania
4
3
Algorytm rozwiązywania kratownicy płaskiej metodą Rittera
5
4
Przykład kratownicy płaskiej wraz z ogólnym rozwiązaniem
6
5
Propozycja prac projektowych
24
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
3
1. Wstęp
Niniejsze opracowanie ma charakter skrypto-zeszytu napisanego według zasady: minimum niezbędnych wiadomości –
maksimum umiejętności. Czyste strony są przeznaczone do wykonywania notatek z zajęć lekcyjnych i własnych zapisków.
Znajdują się tu wszystkie waŜne zagadnienia związane z rozwiązywaniem kratownicy płaskiej metodą Rittera, wskazówki
praktyczne przy rozwiązywaniu oraz rozwiązany ( na ogólnych danych ) „wzorcowy przykład”.
Jako zeszyt do wykonywania w nim prac projektowych z przedmiotu mechanika techniczna charakteryzuje się tym, Ŝe
zadania projektowe są indywidualne dla kaŜdego rozwiązującego z uwagi na własny, przez ucznia, wybór kratownicy
i przyjęcie własnych danych.. Ponadto, daje on moŜliwość rozwiązywania prac projektowych na wolnych stronach
niniejszego opracowania oraz moŜliwość wyboru stopnia trudności, którym odpowiadają odpowiednie oceny.
Rozwiązanie pracy kontrolnej jest warunkiem koniecznym uzyskania pozytywnej oceny z mechaniki technicznej.
Minimax przeznaczony jest dla uczniów technikom branŜy mechanicznej oraz studentów wyŜszych uczelni technicznych.
Wszelkie uwagi dotyczące „minimaxa” będą mile widziane i posłuŜą udoskonaleniu następnych wersji niniejszego
opracowania.
Mielec, marzec 2007 Mieczysław Wilk
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
4
2. Wiadomości do zrozumienia i zapamiętania
1.
Jaka jest reakcja podpory przegubowej stałej a jaka podpory przegubowej przesuwnej?
Reakcja podpory stałej Reakcja podpory przesuwnej
R
sy
R
s
R
p
S
s
α
P
R
sx
s
sx
s
sy
sx
s
R
R
R
R
R
=
+
=
α
cos
2
2
Reakcja podpory przegubowej stałej R
s
jest zaczepiona w punkcie styczności podpory S i posiada nieznany
kierunek, zwrot i wartość. Nieznany kierunek R
s
rozkładamy na dwa kierunki R
sx
i R
sy
. Na rysunku długość
wektora reakcji R
s
( a tym samym i jego składowych R
sx
i R
sy
) oraz jego zwrot przyjmujemy dowolnie.
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
5
Reakcja podpory przegubowej przesuwnej R
p
jest zaczepiona w punkcie styczności podpory P
i posiada zawsze kierunek prostopadły do jej podstawy. Na rysunku długość wektora reakcji R
p
oraz jego zwrot
przyjmujemy dowolnie.
2.
Co to jest rzut siły na oś?
Rzutem siły na oś „ F
x
” nazywamy wektor, który posiada:
-
kierunek odpowiadający kierunkowi osi na którą rzutujemy,
-
zwrot przyjmowany umownie za dodatni wtedy gdy odpowiada zwrotowi osi na którą rzutujemy,
-
wartość równą iloczynowi wartości rzutowanej siły i cosinusa kąta ostrego zawartego pomiędzy kierunkiem
rzutowanej siły a kierunkiem osi na którą rzutujemy.
F
α
F
x
x
F
x
= F
.
cos
α
[ N ]
3.
Co to jest moment siły względem bieguna?
Momentem siły „ M
o
” względem bieguna „
0
” nazywamy wektor, który posiada:
-
kierunek zawsze prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez kierunek siły i biegun,
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
6
-
zwrot przyjmowany umownie za dodatni wtedy gdy siła swoje ramię stara się obrócić dookoła bieguna
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,
-
wartość równą iloczynowi wartości siły i ramienia. Ramię momentu siły „ r ” jest to odległość bieguna
od kierunku siły.
F r
A
B
r F
M
A
= - F
.
r [ Nm ]
M
B
= + F
.
r [ Nm ]
4.
Co to są warunki równowagi płaskiego układu sił?
Warunki równowagi płaskiego układu sił są układem równań, których spełnienie gwarantuje odebranie stopni
swobody ciału na płaszczyźnie.
Dla płaskiego zbieŜnego układu sił ( p. z. u. s. – to taki układ sił na płaszczyźnie, których kierunki przecinają się
w jednym punkcie zwanym punktem zbieŜności )) mamy dwa warunki równowagi:
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
7
=
=
∑
∑
=
=
n
i
iy
n
i
ix
F
F
1
1
0
0
Dla płaskiego dowolnego układu sił ( p. d. u. s. – to taki układ sił na płaszczyźnie, których kierunki są dowolnie
zorientowane ) mamy trzy warunki równowagi:
5.
Co to jest kratownica?
Kratownica jest to prętowy element konstrukcji budowli. MoŜe stanowić układ płaski, czyli kratownicę płaską
( np. wiązar dachowy ) lub przestrzenny, czyli kratownicę przestrzenną ( np. szkielet stalowy wieŜowców,
wieŜ wiertniczych, stalowych słupów energetycznych, szkielety Ŝurawi na budowach wieŜowców, szkielety
suwnic na halach przemysłowych, konstrukcje mostowe ). Przy obliczaniu kratownic przyjmuje się załoŜenie, Ŝe
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
i
io
n
i
iy
n
i
ix
M
F
F
1
1
1
0
0
0
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
8
pręty są połączone w węzłach konstrukcji przegubowo. WyróŜniamy pręty zewnętrzne, czyli: pasy dolne i pasy
górne oraz pręty wewnętrzne, czyli: ukośniki i słupy . ObciąŜenia do kratownicy mogą być przykładane tylko
w węzłach.
Najbardziej znanym przykładem zastosowania kratownic przestrzennych jest wieŜa Eiffla.
6.
Co to znaczy rozwiązać kratownicę płaską?
Rozwiązać kratownicę oznacza obliczyć:
-
reakcje w jej podporach,
-
siły wewnętrzne w jej prętach.
7.
Jaki jest kierunek i zwrot sił wewnętrznych w prętach kratownicy?
Kierunek sił wewnętrznych w prętach kratownicy jest zawsze wzdłuŜ osi tego pręta. Siła wewnętrzna w pręcie
kratownicy moŜe być:
-
rozciągająca – przyjmowana umownie jako dodatnia,
+ S
2
2 + S
2
-
ś
ciskająca – przyjmowana umownie jako ujemna,
- S
11
11 - S
11
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
9
-
zerowa.
S
7
= 0 7 S
7
= 0
8.
Jak obliczać wartość cosinusa kąta zawartego pomiędzy prętami kratownicy?
3
-
dla trójkąta prostokątnego:
1
2
2
3
2
1
1
2
1
2
,
1
cos
l
l
l
l
l
+
=
=
α
2
3
2
1
3
2
3
3
,
2
cos
l
l
l
l
l
+
=
=
α
3
-
dla trójkąta dowolnego:
1 2
3
2
2
1
2
3
2
2
3
,
2
3
,
2
3
2
2
3
2
2
2
1
2
cos
cos
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
⋅
⋅
−
+
=
⇒
⋅
⋅
⋅
−
+
=
α
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
10
3
1
2
2
2
3
2
1
3
,
1
3
,
1
3
1
2
3
2
1
2
2
2
cos
cos
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
⋅
⋅
−
+
=
⇒
⋅
⋅
⋅
−
+
=
α
α
2
1
2
3
2
2
2
1
2
,
1
2
,
1
2
1
2
2
2
1
2
3
2
cos
cos
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
⋅
⋅
−
+
=
⇒
⋅
⋅
⋅
−
+
=
α
α
3. Algorytm rozwiązywania kratownicy płaskiej metodą Rittera
1.
Sprawdzenie warunku statecznej wyznaczalności
2.
Obliczenie reakcji w podporach kratownicy
3.
„Przecięcie” kratownicy przez: dwa lub trzy lub więcej prętów płaszczyzną do nich prostopadłą
4.
„Odrzucenie” jednej z „przeciętych” części kratownicy
5.
ZałoŜenie, Ŝe na „przecięte” pręty kratownicy działają wewnętrzne siły rozciągające
6.
Utworzenie warunków równowagi dla powstałego płaskiego układu sił
7.
Obliczenie sił wewnętrznych w „przeciętych” prętach kratownicy
8.
Analiza wyników i wnioski
9.
Powtórzenie czynności od 3 do 8 dla innego „przecięcia” prętów kratownicy
10.
Zestawienie wyników w tabelce
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
11
4. Przykład kratownicy płaskiej wraz z ogólnym rozwiązaniem
Dane projektowe: wartości sił czynnych oraz długości pasów dolnych i słupów.
F
1
F
2
F
3
F
4
F
5
R
s
II
2 III 3 IV 4 V 5 VI 6 VII
R
p
1 24 22 21 19
18 16 15 13 12 10 9
7
I VIII
25 XIV 23 XIII 20 XII 17 XI 14 X 11 IX 8
F
6
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
12
1. Sprawdzenie warunku statycznej wyznaczalności:
25
25
3
28
25
3
14
2
25
14
,
25
3
2
=
−
=
−
⋅
=
=
=
−
⋅
=
w
p
w
p
Wniosek: Warunek statecznej wyznaczalności jest spełniony
2. Obliczenie reakcji w podporach kratownicy:
0
cos
cos
0
11
,
10
4
20
,
19
3
8
1
=
⋅
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
F
F
R
F
x
s
x
i
i
i
0
cos
cos
0
6
5
12
,
10
4
21
,
19
3
2
1
8
1
=
+
−
−
⋅
−
⋅
−
−
−
⇔
=
∑
=
=
p
y
s
y
i
i
i
R
F
F
F
F
F
F
R
F
α
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
13
(
)
(
)
⋅
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
12
,
10
4
25
23
21
,
19
3
25
23
2
25
1
8
1
cos
cos
0
α
α
F
l
l
F
l
l
F
l
F
M
I
i
i
i
(
)
(
)
−
+
+
+
+
+
⋅
−
+
+
+
+
+
⋅
25
23
20
17
14
11
5
25
23
20
17
14
11
l
l
l
l
l
l
F
l
l
l
l
l
l
(
)
(
)
0
25
23
20
17
14
11
8
25
23
20
17
6
=
+
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
−
l
l
l
l
l
l
l
R
l
l
l
l
F
p
Obliczenia pomocnicze:
10
11
11
,
10
19
20
20
,
19
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
19
21
21
,
19
cos
l
l
=
α
10
12
12
,
10
cos
l
l
=
α
L
=
⋅
−
⋅
=
⇒
11
,
10
4
20
,
19
3
cos
cos
1
.
α
α
F
F
R
r
z
x
s
obliczenia matematyczne i wniosek
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
14
(
)
(
)
(
+
+
+
+
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
⇒
20
17
14
11
8
11
12
,
10
4
25
23
21
,
19
3
25
23
2
25
1
cos
cos
3
.
l
l
l
l
l
l
F
l
l
F
l
l
F
l
F
R
r
z
p
α
α
)
(
)
(
)
L
=
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
+
+
25
23
25
23
20
17
6
25
23
20
17
14
11
5
25
23
20
17
14
l
l
l
l
l
l
F
l
l
l
l
l
l
F
l
l
l
l
l
L
=
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
−
+
+
⋅
+
⋅
+
+
=
⇒
p
y
s
R
F
F
F
F
F
F
R
r
z
6
5
12
,
10
4
21
,
19
3
2
1
cos
cos
2
.
α
α
obliczenia matematyczne
i wniosek
Sprawdzenie poprawności wyznaczonych reakcji: R
p
, R
s
(
)
⋅
⋅
+
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
21
,
19
3
8
11
14
6
8
9
,
10
4
8
5
8
1
cos
cos
0
α
α
F
l
l
l
F
l
F
l
F
M
VIII
i
i
i
(
)
(
)
(
+
+
⋅
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
+
⋅
20
23
1
8
11
14
17
20
2
8
11
14
17
20
l
l
F
l
l
l
l
l
F
l
l
l
l
l
)
(
)
0
?
8
11
14
17
20
23
25
8
11
14
17
=
+
+
+
+
+
+
⋅
−
+
+
+
+
l
l
l
l
l
l
l
R
l
l
l
l
y
s
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
15
gdzie:
19
21
21
,
19
10
9
9
,
10
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
Reakcja podpory przegubowej stałej Reakcja podpory przegubowej przesuwnej
R
sy
R
s
R
p
s
α
R
sx
S P
s
sx
s
sy
sx
s
R
R
R
R
R
=
+
=
α
cos
2
2
Uwaga: Obliczone wartości reakcji oraz kierunek reakcji podpory przegubowej stałej naleŜy wpisać do tabeli na stronie 17,
którą naleŜy na bieŜąco uzupełniać obliczonymi wartościami sił wewnętrznych w prętach kratownicy ( po kaŜdym
„przecięciu” kratownicy ).
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
16
Tabela. Zestawienie wyników
R
p
=
...........................................................................
[ N ]
R
sx
=
.........................................................................
[ N ]
R
sy
=
.........................................................................
[ N ]
∝
s
=
.............................................................................
[
o
]
R
s
=
.............................................................................
[ N ]
S
1
=
..............................................................................
[ N ]
S
2
=
..............................................................................
[ N ]
S
3
=
..............................................................................
[ N ]
S
4
=
..............................................................................
[ N ]
S
5
=
..............................................................................
[ N ]
S
6
=
..............................................................................
[ N ]
S
7
=
..............................................................................
[ N ]
S
8
=
..............................................................................
[ N ]
S
9
=
..............................................................................
[ N ]
S
10
=
.........................................................................
[ N ]
S
11
=
.........................................................................
[ N ]
S
12
=
.........................................................................
[ N ]
S
13
=
.........................................................................
[ N ]
S
14
=
.........................................................................
[ N ]
S
15
=
.........................................................................
[ N ]
S
16
=
.........................................................................
[ N ]
S
17
=
.........................................................................
[ N ]
S
18
=
.........................................................................
[ N ]
S
19
=
.........................................................................
[ N ]
S
20
=
.........................................................................
[ N ]
S
21
=
.........................................................................
[ N ]
S
22
=
.........................................................................
[ N ]
S
23
=
.........................................................................
[ N ]
S
24
=
.........................................................................
[ N ]
S
25
=
.........................................................................
[ N ]
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
17
3. „Przecięcia” kratownicy:
3.1. Przez pręty: „1 – 24 – 23” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
s
, S
1
, S
24
, S
23
}
S
1
R
s
S
24
1 24
25 23
S
23
I XIV
0
cos
0
23
25
,
1
1
4
1
=
+
⋅
+
⇔
=
∑
=
=
S
S
R
F
x
s
x
i
i
i
α
0
cos
0
24
24
,
1
1
4
1
=
+
⋅
+
⇔
=
∑
=
=
S
S
R
F
y
s
y
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
18
0
0
25
24
4
1
=
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
S
M
I
i
i
i
Obliczenia pomocnicze:
1
24
24
,
1
1
25
25
,
1
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
[ ]
N
S
r
z
0
3
.
24
=
⇒
L
=
−
=
⇒
24
,
1
1
cos
2
.
α
y
s
R
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
−
−
=
⇒
25
,
1
1
23
cos
1
.
α
S
R
S
r
z
sx
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonej siły wewnętrznej S
1
:
0
cos
0
?
25
24
,
1
1
25
4
1
=
⋅
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
R
M
sy
XIV
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
19
3.2. Przez pręty: „2 – 22 – 24 – 25” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
s
, F
1
, S
2
, S
22
, S
24
= 0 , S
25
}
F
1
R
s
II
2
S
2
22
S
22
1 24
S
24
= 0
I 25
S
25
0
cos
0
25
2
,
22
22
2
5
1
=
+
⋅
+
+
⇔
=
∑
=
=
S
S
S
R
F
x
s
x
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
20
0
cos
0
24
,
22
22
1
5
1
=
⋅
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
S
F
R
F
y
s
y
i
i
i
0
0
24
25
24
25
5
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
R
l
R
M
sx
sy
II
i
i
i
Obliczenia pomocnicze:
22
24
24
,
22
22
2
2
,
22
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
K
=
⋅
−
⋅
=
⇒
24
24
25
25
3
.
l
l
R
l
R
S
r
z
sx
sy
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
−
=
⇒
24
,
22
1
22
cos
2
.
α
F
R
S
r
z
y
s
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
−
⋅
−
−
=
⇒
25
2
,
22
22
2
cos
1
.
S
S
R
S
r
z
sx
α
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
2
, S
22
, S
25
:
(
)
0
cos
0
?
23
25
24
,
22
22
24
2
25
1
4
1
=
+
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
l
S
l
S
l
F
M
I
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
21
3.3. Przez pręty: „3 – 19 – 20” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
s
, F
1
, F
2
, S
3
, S
19
, S
20
}
F
1
F
2
S
3
R
s
II
2 III 3
S
19
1 24 22 21 19
S
20
I 25 XIV 23 XIII 20
0
cos
0
20
20
,
19
19
3
5
1
=
+
⋅
+
+
⇔
=
∑
=
=
S
S
S
R
F
x
s
x
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
22
0
cos
0
21
,
19
19
2
1
5
1
=
⋅
+
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
S
F
F
R
F
y
s
y
i
i
i
(
)
0
0
21
3
23
1
23
25
5
1
=
⋅
−
⋅
+
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
F
l
l
R
M
sy
XIII
i
i
i
Obliczenia pomocnicze:
19
21
21
,
19
19
20
20
,
19
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
(
)
K
=
⋅
+
+
⋅
−
=
⇒
21
23
1
23
25
3
3
.
l
l
F
l
l
R
S
r
z
sy
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
+
+
−
=
⇒
21
,
19
2
1
19
cos
2
.
α
F
F
R
S
r
z
y
s
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
−
−
−
=
⇒
20
,
19
19
3
20
cos
1
.
α
S
S
R
S
r
z
sx
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
3
, S
19
:
(
)
(
)
0
cos
0
?
21
3
23
25
21
,
19
19
23
25
2
25
1
4
1
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
+
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
l
S
l
l
F
l
F
M
I
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
23
3.4. Przez pręty: „4 – 16 – 17” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
p
, F
4
, F
5
, F
6
, S
4
, S
16
, S
17
}
F
4
F
5
S
4
4 V 5 VI 6 VII
R
p
16 15 13 12 10 9
7
S
16
S
17
17 XI 14 X 11 IX 8 VIII
F
6
0
cos
cos
0
11
,
10
4
17
17
,
16
16
4
7
1
=
⋅
+
−
⋅
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
F
S
S
S
F
x
i
i
i
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
24
0
cos
cos
0
5
12
,
10
4
6
15
,
16
16
7
1
=
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
p
y
i
i
i
R
F
F
F
S
F
α
α
(
)
(
)
0
cos
0
14
11
8
5
6
5
5
12
,
10
4
15
17
7
1
=
+
+
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
l
l
R
l
l
F
l
F
l
S
M
p
V
i
i
i
α
Obliczenia pomocnicze:
10
11
11
,
10
16
17
17
,
16
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
10
12
12
,
10
16
15
15
,
16
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
(
)
(
)
K
=
+
+
⋅
+
+
⋅
−
⋅
⋅
−
=
⇒
15
14
11
8
5
6
5
5
12
,
10
4
17
cos
3
.
l
l
l
l
R
l
l
F
l
F
S
r
z
p
α
obliczenia
matematyczne i wniosek
L
=
−
+
⋅
+
=
⇒
15
,
16
5
12
,
10
4
6
16
cos
cos
2
.
α
α
p
R
F
F
F
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
+
−
⋅
−
=
⇒
11
,
10
4
17
17
,
16
16
4
cos
cos
1
.
α
α
F
S
S
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
4
, S
16
:
(
)
(
)
0
cos
0
?
8
11
14
6
11
14
17
18
,
16
16
9
4
4
1
=
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
R
l
l
F
l
l
l
S
l
S
M
p
IX
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
25
3.5. Przez pręty: „5 – 13 – 14” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
p
, F
4
, F
5
, S
5
, S
13
, S
14
}
F
4
F
5
5 VI 6 VII
R
p
S
5
13 12 10 9
7
S
13
S
14
14 X 11 IX 8 VIII
0
cos
cos
0
11
,
10
4
14
14
,
13
13
5
6
1
=
⋅
+
−
⋅
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
F
S
S
S
F
x
i
i
i
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
26
0
cos
cos
0
5
12
,
10
4
12
,
13
13
7
1
=
+
−
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
p
y
i
i
i
R
F
F
S
F
α
α
(
)
0
0
11
8
6
5
12
14
7
1
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
l
R
l
F
l
S
M
p
VI
i
i
i
Obliczenia pomocnicze:
10
11
11
,
10
13
14
14
,
13
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
10
12
12
,
10
13
12
12
,
13
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
(
)
K
=
+
⋅
+
⋅
−
=
⇒
12
11
8
6
5
14
3
.
l
l
l
R
l
F
S
r
z
p
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
+
−
⋅
−
=
⇒
12
,
13
5
12
,
10
4
13
cos
cos
2
.
α
α
p
R
F
F
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
+
−
⋅
−
=
⇒
11
,
10
4
14
14
,
13
13
5
cos
cos
1
.
α
α
F
S
S
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
13
:
(
)
0
cos
0
?
8
9
5
11
14
15
,
13
13
4
1
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
R
l
S
l
l
S
M
p
IX
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
27
3.6. Przez pręty: „6 – 9 – 8” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
p
, F
5
, S
6
, S
9
, S
8
}
F
5
6 VII
R
p
S
6
9
7
S
9
S
8
8 VIII
0
0
8
6
5
1
=
−
−
⇔
=
∑
=
=
S
S
F
x
i
i
i
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
28
0
0
5
9
5
1
=
+
−
−
⇔
=
∑
=
=
p
y
i
i
i
R
F
S
F
0
0
8
9
8
5
1
=
⋅
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
R
l
S
M
p
VII
i
i
i
K
=
⋅
=
⇒
9
8
8
3
.
l
l
R
S
r
z
p
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
+
−
=
⇒
p
R
F
S
r
z
5
9
2
.
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
−
=
⇒
8
6
1
.
S
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
6
, S
9
:
0
0
?
8
5
8
9
9
6
4
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
F
l
S
l
S
M
VIII
i
i
i
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
29
3.7. Przez pręty: „7 – 9 – 10 – 11” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
p
, S
7
, S
9
= - F
5
+ R
p
, S
10
, S
11
}
S
7
R
p
S
9
S
10
9
7
10
S
11
11 IX 8 VIII
0
cos
cos
0
8
,
7
7
11
,
10
10
11
5
1
=
⋅
−
⋅
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
S
S
S
F
x
i
i
i
0
cos
cos
0
,
7
7
9
9
,
10
10
5
1
=
+
⋅
+
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
p
p
y
i
i
i
R
S
S
S
F
α
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
30
0
cos
0
8
8
,
7
7
5
1
=
⋅
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
R
l
S
M
p
p
IX
i
i
i
α
Obliczenia pomocnicze:
7
8
8
,
7
10
11
11
,
10
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
7
9
,
7
cos
l
l
p
=
α
K
=
−
=
⇒
p
p
R
S
r
z
,
7
7
cos
3
.
α
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
−
⋅
−
−
=
⇒
9
,
10
,
7
7
9
10
cos
cos
2
.
α
α
p
p
R
S
S
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
−
⋅
−
=
⇒
8
,
7
7
11
,
10
10
11
cos
cos
1
.
α
α
S
S
S
r
z
obliczenia matematyczne i wniosek
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
10
, S
9
:
0
cos
0
?
8
9
8
9
,
10
10
4
1
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
S
M
VIII
i
i
i
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
31
3.8. Przez pręty: „4 – 16 – 15 – 13 – 12 – 11” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
p
, F
5
, F
4
, S
4
, S
16
, S
15
,
S
13
, S
12
, S
11
} z których nieznane są jedynie S
12
i S
15
F
4
F
5
4 V 5 VI 6 VII
R
p
S
4
16
15
S
16
S
15
13 12 10 9
7
S
13
XII
17
XI
14
S
11
X 11 IX 8 VIII
S
12
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
32
0
cos
cos
cos
0
11
,
10
4
11
5
,
13
13
4
,
16
16
4
9
1
=
⋅
+
−
⋅
−
⋅
−
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
α
F
S
S
S
S
F
x
i
i
i
0
cos
cos
cos
0
5
9
,
10
4
12
12
,
13
13
15
15
,
16
16
9
1
=
+
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
p
y
i
i
i
R
F
F
S
S
S
S
F
α
α
α
(
)
0
cos
0
11
8
6
5
12
11
5
15
5
15
,
16
16
9
1
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⇔
=
∑
=
=
l
l
R
l
F
l
S
l
S
l
S
M
p
VI
i
i
i
α
Obliczenia pomocnicze:
13
5
5
,
13
16
4
4
,
16
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
10
11
11
,
10
cos
l
l
=
α
16
15
15
,
16
cos
l
l
=
α
10
9
9
,
10
13
12
12
,
13
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
(
)
K
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⇒
5
11
8
6
5
12
11
5
15
,
16
16
15
cos
3
.
l
l
l
R
l
F
l
S
l
S
S
r
z
p
α
obliczenia
matematyczne i wniosek
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
33
L
=
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
=
⇒
p
R
F
S
S
S
S
r
z
9
,
10
4
12
,
13
13
15
15
,
16
16
12
cos
cos
cos
2
.
α
α
α
obliczenia
matematyczne i wniosek
Równanie pierwsze posłuŜy nam do sprawdzenia poprawności obliczonych sił wewnętrznych
w prętach: S
4
, S
16
, S
13
, S
11
:
0
cos
cos
cos
?
11
,
10
4
11
5
,
13
13
4
,
16
16
4
=
⋅
+
−
⋅
−
⋅
−
−
α
α
α
F
S
S
S
S
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
4
, S
16
, S
15
, S
13
, S
12
:
(
)
(
)
⋅
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⇔
=
∑
=
=
15
,
13
13
11
14
15
11
14
17
15
,
16
16
9
4
9
1
cos
cos
0
α
α
S
l
l
S
l
l
l
S
l
S
M
IX
i
i
i
(
)
0
?
8
11
12
11
14
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
l
R
l
S
l
l
p
gdzie:
16
15
15
,
16
cos
l
l
=
α
13
15
15
,
13
cos
l
l
=
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
34
3.9. Przez pręty: „2 – 21 – 19 – 18 – 16 – 17 ” – otrzymujemy p.d.u.s. = { R
s
, F
1
, S
2
, S
21
, S
19
, S
18
,
S
16
, S
17
} z których nieznane są jedynie S
21
i S
18
F
1
S
21
2
S
2
R
s
II
S
19
S
18
1 24 22 21 19
S
16
18
16
S
17
I 25 XIV 23 XIII 20 XII 17
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
35
0
cos
cos
0
17
17
,
16
16
20
,
19
19
2
8
1
=
+
⋅
+
⋅
+
+
⇔
=
∑
=
=
S
S
S
S
R
F
sx
x
i
i
i
α
α
0
cos
cos
0
18
,
16
16
18
21
,
19
19
21
1
8
1
=
⋅
+
+
⋅
+
+
−
⇔
=
∑
=
=
α
α
S
S
S
S
F
R
F
sy
y
i
i
i
(
)
(
)
0
cos
0
20
21
,
19
19
21
2
20
21
20
23
1
20
23
25
9
1
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
+
⋅
+
+
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
S
l
S
l
l
F
l
l
l
R
M
sy
XII
i
i
i
α
Obliczenia pomocnicze:
16
17
17
,
16
19
20
20
,
19
cos
cos
l
l
l
l
=
=
α
α
19
21
21
,
19
cos
l
l
=
α
16
18
18
,
16
cos
l
l
=
α
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
36
(
)
(
)
K
=
⋅
⋅
−
⋅
−
+
⋅
+
+
+
⋅
−
=
⇒
20
20
21
,
19
19
21
2
20
23
1
20
23
25
21
cos
3
.
l
l
S
l
S
l
l
F
l
l
l
R
S
r
z
sy
α
K
obliczenia matematyczne i wniosek
L
=
⋅
−
−
⋅
−
−
+
−
=
⇒
18
,
16
16
18
21
,
19
19
21
1
18
cos
cos
2
.
α
α
S
S
S
S
F
R
S
r
z
sy
obliczenia
matematyczne i wniosek
Równanie pierwsze posłuŜy nam do sprawdzenia poprawności obliczonych sił wewnętrznych
w prętach: S
2
, S
19
, S
16
, S
17
:
0
cos
cos
?
17
17
,
16
16
20
,
19
19
2
=
+
⋅
+
⋅
+
+
S
S
S
S
R
sx
α
α
Sprawdzenie poprawności obliczonych sił wewnętrznych S
2
, S
18
, S
16
:
(
)
0
cos
0
?
20
18
,
16
16
20
18
24
2
23
1
23
25
9
1
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
−
⇔
=
∑
=
=
l
S
l
S
l
S
l
F
l
l
R
M
sy
XIII
i
i
i
α
gdzie:
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
37
16
18
18
,
16
cos
l
l
=
α
4. Wnioski.
5. Propozycja prac projektowych
Stopnie trudności i odpowiadające im oceny szkolne :
- p.r.u.s = { F
1
, F
2
} , w = 5 dopuszczający
- p.r.u.s = { F
1
, F
2
} , w = 6
plus
dopuszczający
- p.r.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
} , w = 7
dostateczny
- p.d.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
} , w = 8 plus dostateczny
- p.d.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
, F
4
} , w = 9
dobry
- p.d.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
, F
4
} , w = 10
plus dobry
- p.d.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
, F
4
, F
5
} , w = 12 bardzo dobry
- p.d.u.s = { F
1
, F
2
, F
3
, F
4
, F
5
, F
6
} , w = 14
celujący
Udost
ę
pnienie elektroniczne
www.eduskrypt.pl
© Copyright by Mieczysław Wilk
38
Uwaga:
Dane projektowe przyjąć samodzielnie, tak aby wartości liczbowe nie powtarzały się we własnym projekcie
i w projektach kolegów.