Wykład 4. 25 października 2010
Funkcje, ich podział.
X, Y zbiory. Relacja f
⊂ X × Y jest funkcją (odwzorowaniem) jeśli spełniony jest
warunek:
xf y
∧ xfy
1
⇒ y = y
1
.
Jeśli f jest funkcją i xf y to piszemy y = f (x) lub y = f x.
Dziedziną funkcji
f jest zbiór D = D
f
=
{x ∈ X : ∃y ∈ Y y = f(x)}. Jeśli D = D
f
to piszemy f : D
−→ Y . Często spotykany jest zapis
f : D
3 x −→ y = f(x) ∈ Y.
Np. id
X
: X
3 x −→ X jest odwzorowaniem identycznościowym lub identycznością
na
X.
Jeśli f : X
−→ Y i g : Y −→ Z to funkcję
g
◦ f : X 3 x −→ g ◦ f(x) = g(f(x)) ∈ Z
nazywamy złożeniem funkcji g i f a same funkcje g i f odpowiednio funkcją zewnętrzną
i funkcją wewnętrzną .
Jeśli h : X
→ Z i h = g ◦ f to mówimy, że mamy do czynienia z faktoryzacją
odwzorowania h. Przykład
|x| =
√
x
2
.
Jeżeli A
⊂ X to obrazem zbioru A przez funkcję f nazywamy zbiór
f (A) =
{y ∈ Y : ∃ x ∈ A y = f(x)} = {f(x) : x ∈ A}.
W szczególności zbiór f (X) nazywamy zbiorem wartości funkcji f .
Jeżeli B
⊂ Y to przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f nazywamy zbiór
f
−1
(B) =
{x ∈ X : f(x) ∈ B}.
Funkcję f : X
−→ Y nazywamy surjekcją jeśli f(X) = Y .
Funkcja f : X
−→ f(X) zawsze jest surjekcją.
Surjekcje czasem zapisujemy f : X
Y .
Przykład.
Jeżeli
R ⊂ X×X jest relacją równoważności to funkcja π : X −→ X/R,
π(x) = [x]
R
jest surjekcją.
Funkcję f : X
−→ Y nazywamy różnowartościową lub injekcją jeśli jest spełniony
warunek:
∀ x
1
, x
2
∈ X x
1
6= x
2
⇒ f(x
1
)
6= f(x
2
)
m
∀ x
1
, x
2
∈ X f(x
1
) = f (x
2
)
⇒ x
1
= x
2
.
Injekcje często oznaczamy f : X ,
→ Y .
Relacja
R ⊂ X × X x
1
Rx
2
⇔ f(x
1
) = f (x
2
) jest relacją równoważności. f jest
injekcją
⇔ R jest relacją równości.
14
Funkcję f : X
−→ Y , która jest injekcją nazywamy czasem zanurzeniem zbioru X w
Y . Bardzo często zanurzenia odgrywają rolę zawierania, czasami wręcz jeśli f : X ,
→ Y
to piszemy X
⊂ Y , jak w przykładzie poniżej.
Przykład.
Zanurzeniami są odwzorowania
3 n −→ n − 0 ∈
3 k −→
k
1
∈
3 g −→ [(g, g, . . . )]
R
∈
Jeśli f : X
−→ Y jest równocześnie injekcją i surjekcją to mówimy, że f jest bijekcją.
f : X
−→ y jest bijekcją ⇔ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie g : Y −→ X
takie, że
g
◦ f = id
X
, f
◦ g = id
Y
.
Jedyne g o powyższej własności nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy
g = f
−1
.
Mamy równoważność f (x) = y
⇔ x = g(y).
Wynika stąd, że aby znaleźć wzór na funkcję odwrotną do f należy rozwiązać rów-
nanie f (x) = y względem x.
Na przykład, jeśli f :
−→
, f (x) = ax + b, a
6= 0 to rozwiązaniem równania
ax + b = y jest x =
1
a
(y
− b) skąd f
−1
(y) =
1
a
y
−
b
a
. Na ogół jednak tego typu równanie
rzadko udaje się efektywnie rozwiązać. Czasem może przydać się następująca ważna
własność;
jeśli f : X
−→ y i g : Y −→ z są bijekcjami to g ◦ f : X −→ Z jest bijekcją i
(g
◦ f)
−1
= f
−1
◦ g
−1
. W powyższym przykładzie f (x) = ax, g(y) = y + b, f
−1
(y) =
1
a
y, g
−1
(z) = z
− b.
Działania.
Działaniem w zbiorze
X jest dowolne odwzorowanie ϕ : X
× X −→ X. Jeśli ϕ jest
działaniem to zamiast ϕ(x, y) piszemy xϕy.
Niech ϕ działanie w X, ψ działanie w Y , f : X ,
→ Y zanurzenie.
f jest zgodne z działaniami ϕ i ψ jeśli dla dowolnych x
1
, x
2
∈ X
f (x
1
ϕx
2
) = f (x
1
)ψf (x
2
).
15
Liczby zespolone.
Liczby zespolone
pojawiły si¸e po raz pierwszy w ksi¸ażce włoskiego matematyka
Rafaela Bombelliego ”Algebra”
napisanej ok. roku 1560 a opublikowanej w 1572.
Rozpatrzmy równanie 3 stopnia
x
3
+ px + q = 0.
Jego rozwiązanie (znalezione przez Tartaglię w XVI wieku a znane jako wzór Cardana)
wygląda następująco
x =
3
v
u
u
t
−
q
2
+
s
q
2
2
+
p
3
3
+
3
v
u
u
t
−
q
2
−
s
q
2
2
+
p
3
3
.
Przykłady.
x
3
+ 6x
− 20 = 0 :
x = 2,
x =
3
q
10 +
√
108 +
3
q
10
−
√
108.
(1 +
√
3)
3
= 10 +
√
108; (1
−
√
3)
3
= 10
−
√
108.
x
3
− 15x − 4 = 0 :
x = 4,
x =
3
q
2 +
√
−121 +
3
q
2
−
√
−121.
(2 +
√
−1)
3
= 2 +
√
−121; (2 −
√
−1)
3
= 2
−
√
−121.
Liczba zespolona
z to element postaci
z = x + yi, gdzie x, y
∈
oraz i =
√
−1.
Przyjmujemy, że jeżeli z = x + yi, w = x
1
+ y
1
i to
z = w
⇔ x = x
1
, y = y
1
.
Jeżeli z = x+yi to liczby rzeczywiste x i y nazywaj¸a si¸e odpowiednio cz¸eści¸a rzeczywist¸a
i cz¸eści¸a urojon¸a liczby z i oznaczamy je
x = Re z, y = Im z.
16
Zatem z = Re z + Im zi oraz z = w
⇔ Re z = Re w i Im z = Im w.
Definiujemy 0 := 0 + 0i, 1 = 1 + 0i. Przez
oznaczamy zbiór liczb zespolonych.
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych.
(x + yi) + (x
1
+ y
1
i) := (x + x
1
) + (y + y
1
)i
czyli
Re (z + w) = Re z + Re w, Im (z + w) = Im z + Im w.
(x + yi)
− (x
1
+ y
1
i) := (x
− x
1
) + (y
− y
1
)i
czyli
Re (z
− w) = Re z − Re w, Im (z − w) = Im z − Im w.
−z = −(x + yi) = −x + (−y)i = −x − yi − liczba przeciwna :
Re (
−z) = −Re z, Im (−z) = −Im z.
Własności dodawania.
(1)
∀z, w ∈
z + w = w + z (przemienność)
(2)
∀z ∈
z + 0 = 0 + z = z (0 jest elementem neutralnym dodawania)
(3)
∀z ∈
z + (
−z) = (−z) + z = 0 (liczba przeciwna jest elementem
odwrotnym dla dodawania
)
(4)
∀z, w, v ∈
(z + w) + v = z + (w + v) (ł¸aczność dodawania).
Własności (1)–(4) wynikaj¸a z odpowiednich własności liczb rzeczywistych.
17
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.
Liczba sprz¸eżona
: z = x + yi, z := x
− yi.
Moduł liczby zespolonej:
z = x + yi,
|z| :=
√
x
2
+ y
2
.
Mnożenie liczb zespolonych
:
(x + yi)
· (x
1
+ y
1
i) := (xx
1
− yy
1
) + (xy
1
+ yx
1
)i.
(x + 0i)
· (x
1
+ 0i) = xx
1
+ 0i
∀a ∈
a
· (x + yi) = ax + ayi
z = 0
⇔ x = y = 0 ⇔ |z|
2
= 0; z
6= 0 ⇒ |z|
2
6= 0
z
· z = |z|
2
Własności mnożenia
:
(1)
∀z, w ∈
z
· w = w · z (przemienność)
(2)
∀z ∈
z
· 1 = 1 · z (1 jest elementem neutralnym)
(3)
∀z, w, v ∈
(z
· w) · v = z · (w · v) (ł¸aczność)
(4)
∀z, w, v ∈
(z + w)
· v = z · v + w · v (rozdzielność mnożenia
wzgl¸edem dodawania
)
Dowody (3),(4): obliczamy lewe i prawe strony i porównujemy.
(5)
∀z ∈
\ {0} z ·
1
|z|
2
z = 1 (liczba
1
z
=
1
|z|
2
z element odwrotny do z)
z
w
= z : w = z
1
w
=
1
|w|
2
z
· w =
z
· w
|w|
2
w
z
=
1
z
w
Własności sprz¸
eżenia liczby zespolonej.
(S1)
∀x, y ∈
x = x, yi =
−yi.
(S2)
∀z, w ∈
z + w = z + w, z
− w = z − w.
(S3)
∀z, w ∈
z
· w = z · w,
z
w
=
z
w
.
(S4)
∀z ∈
Re z =
z+z
2
, Im z =
z
−z
2
i
.
(S5)
∀z ∈
z
· z = |z|
2
.
Własności modułu liczby zespolonej.
(M1)
∀z ∈
|z| = |z| 0; |Re z| ¬ |z|, |Im z| ¬ |z|;
(M2)
|z| = 0 ⇔ z = 0;
(M3)
∀z, w ∈
|z · w| = |z| · |w|;
z
w
=
|z|
|w|
;
(M4)
∀z, w ∈
|z + w|
2
=
|z|
2
+
|w|
2
+ 2Re (zw);
(M5)
∀z, w ∈
|z + w|
2
+
|z − w|
2
= 2
|z|
2
+ 2
|w|
2
;
(M6)
∀z, w ∈
|z + w| ¬ |z| + |w|.
18