2
4
6
6
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
+25°C
+25°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+20°C
Rys.1.57. Układ statycznie niewyznaczalny poddany działaniu temperatury
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
1/13
2
4
6
6
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
+25°C
+25°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+20°C
Rys.1.57. Układ statycznie niewyznaczalny poddany działaniu temperatury
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
1/13
SGN
=3
(1.42)
Układ podstawowy przyjmuję jak w poprzedniej części zadania
2
4
6
6
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
+25°C
+25°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+20°C
I
1
2
3
R
1
R
3
φ
3
=z
3
u
2
=z
1
φ
2
=z
2
0
1
4
5
6
R
2
Rys.1.58.Układ podstawowy poddany osiadaniu podpór
Zestawienie parametrów charakterystycznych dla poszczególnych prętów:
numer pręta
moment bezwładności
I[cm
4
]
wysokość przekroju
h [m]
|∆t|
[˚C]
t
0
[˚C]
01
I
0,22
45
-17,5
12
1,389I
0,24
45
-17,5
23
I
0,22
45
-17,5
34
I
0,22
0
+5
35
1,389I
0,24
45
-17,5
56
I
0,22
45
-17,5
Tab.1 Zestawienie charakterystyk prętów
Identyczność statyczną układu podstawowego z wyjściowym zapewnia układ równań kanonicznych:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
2/13
{
R
1
=0
R
2
=0
R
3
=0
}
{
r
11
z
1
r
12
z
2
r
13
z
3
R
1 t
=0
r
21
z
1
r
22
z
2
r
23
z
3
R
2 t
=0
r
31
z
1
r
32
z
2
r
33
z
3
R
3 t
=0
}
(1.43)
Wartości współczynników r
ik
nie zaleŜą od rodzaju obciąŜenia stąd, jeŜeli przyjęto taki sam układ
podstawowy to pozostaną one takie jak w poprzedniej części zadania (rama obciąŜona siłami zewnętrznymi).
Aby określić wartości współczynników
R
it
wyznaczam w pierwszej kolejności
wartości momentów
zginających wywołanych działającą temperaturą, przy czym korzystając z zasady superpozycji:
M
ik
=M
ik
t
M
ik
t
0
(1.44)
Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania nierównomiernego wyznaczam
wg odpowiednich wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń. Otrzymuję:
M
01
t
=−
3
2
⋅EI
01
⋅
t
⋅
t
h
=−1,5 ⋅6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,22
=−23,09605
M
10
t
=0
M
12
t
=0
M
21
t
=
3
2
⋅EI
21
⋅
t
⋅
t
h
=1,5 ⋅1,389⋅6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,24
=29,40704
M
23
t
=−EI
23
⋅
t
⋅
t
h
=−6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,22
=−15,39736
M
32
t
=EI
23
⋅
t
⋅
t
h
=6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,22
=15,397360
M
34
t
=0
M
43
t
=0
M
35
t
=−
3
2
⋅EI
35
⋅
t
⋅
t
h
=−1,5 ⋅1,389⋅6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,24
=−29,40704
M
53
t
=0
M
56
t
=0
M
65
t
=
3
2
⋅EI
56
⋅
t
⋅
t
h
=1,5 ⋅6273⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
45
0,22
=23,09605
[kNm]
(1.45)
Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania równomiernego wyznaczam wg wzorów
transformacyjnych metody przemieszczeń pamiętając, Ŝe φ
i
to
=0. Otrzymuję:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
3/13
M
01
t
0
=
3 EI
4
⋅−
01
t
0
M
10
t
0
=0
M
12
t
0
=0
M
21
t
0
=
3⋅1,389 EI
2
10
⋅−
12
t
0
M
23
t
0
=M
32
t
0
=
2 EI
2
⋅−3
23
t
0
M
34
t
0
=M
43
t
0
=
2 EI
4
⋅−3
34
t
0
M
53
t
0
=0
M
35
t
0
=
3⋅1,389 EI
2
10
⋅−
35
t
0
M
56
t
=M
65
t
=0
[kNm]
(1.46)
Na skutek ogrzania równomiernego długości prętów ulegają zmianie, co powoduje obrót prętów. Wartości
kątów
ik
t
0
określam z równań łańcucha kinematycznego w układzie podstawowym:
2
4
6
6
t
m
=+20°C
t
0
= -17,5°C
t
0
= -17,5°C
t
0
=+5°C
0
1
2
3
4
5
6
t
0
= -17,5°C
t
0
= -17,5°C
t
0
= -17,5°C
Rys.1.59. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej ogrzaniu równomiernemu
Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niŜej dróg:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
4/13
65
6
56
t
0
0
56
t
0
0
4356
6
35
t
0
4 1,2 10
−
5
5 2 1,2 10
−
5
17,5 6 1,2 10
−
5
17,5 0
35
t
0
1,8 10
−
4
435
4
34
t
0
2
35
t
0
6 1,2 10
−
5
17,5 0
34
t
0
2,25 10
−
4
432
2
23
t
0
4
34
t
0
0
23
t
0
4,5 10
−
4
01234
6
12
t
0
4 1,2 10
−
5
17,5 2 1,2 10
−
5
17,5 2 1,2 10
−
5
17,5 4 1,2 10
−
5
5 0
12
t
0
1,8 10
−
4
012
4
01
t
0
2
12
t
0
6 1,2 10
−
5
17,5 0
01
t
0
4,05 10
−
4
[rad]
(1.47)
Stąd wartości przęsłowych momentów przywęzłowych powstałych w wyniku ogrzania równomiernego
wynoszą:
M
01
t
0
1,90542
M
10
t
0
0
M
12
t
0
0
M
21
t
0
0,74395
M
23
t
0
M
32
t
0
8,46855
M
34
t
0
M
43
t
0
2,11714
M
53
t
0
0
M
35
t
0
0,74395
M
56
t
0
M
65
t
0
0
[kNm]
(1.48)
Wartości momentów od ogrzania równomiernego i nierównomiernego zgodnie z zasadą superpozycji (patrz
wzór 1.44.):
M
01
t
25,00147
M
10
t
0
M
12
t
0
M
21
t
30,15099
M
23
t
6,92881
M
32
t
23,86591
M
34
t
M
43
t
2,11714
M
53
t
0
M
35
t
30,15099
M
56
t
M
65
t
0
[kNm]
(1.49)
Wykres momentów przyjmie więc postać:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
5/13
Rys.1.60. Stan t - wpływ ogrzania równomiernego i nierównomiernego M
t
[kNm]
Określenie współczynnika
R
2 t
, R
3 t
z wykorzystaniem równowagi węzła 2 i 3:
R
2 t
=23,22218
R
3 t
=−8,40222
[kNm]
(1.50)
Wartości współczynnika
R
1 t
określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy
wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.18).
Dla wirtualnego stanu
z
1
=1
obliczając pracę sił w stanie t na przemieszczeniach wirtualnych jak na
rysunku 1.18 otrzymujemy:
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
6/13
30,15099
25,00147
30,15099
6,92881
23,86591
2,11714
2,11714
23,09605
R
1t
R
2t
R
3t
30,15099
-25,00147
-6,92881
-30,15099
-23,09605
-2,11714
-2,11714
23,86591
R
1 t
⋅1−25,00147 t
1
4
−6,9288123,86591⋅
1
2
=0 ⇒ R
1 t
=−2,21818 [kN]
(1.51)
Uwzględniając powyŜsze wartości współczynników r
ik
układ równań kanonicznych 1.43. przyjmie postać:
{
1,547 EI z
1
−1,5 EI z
2
−1,5 EI z
3
−2,21818=0
−1,5 EI z
1
2,659 EI z
2
EI z
3
23,22218=0
−1,5 EI z
1
EI z
2
3,659 EI z
3
−8,40222=0
}
(1.52)
Rozwiązanie powyŜszego układu jest następujące:
EI z
1
=−13,81731
EI z
2
=−17,00971
EI z
3
=1,28067
(1.53)
Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej działaniu
temperatury jest superpozycją stanów z
1
, z
2
, z
3
, t:
M
ik
n
=M
1
0
⋅z
1
M
2
0
⋅z
2
M
3
0
⋅z
3
M
ik
t
(1.54)
M
01
=
−3 EI
4
⋅
z
1
4
−25,00147=−22,411
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=
3
⋅1,389 EI
2
10
z
2
30,15099=18,943
M
23
=EI 2 z
2
z
3
−1,5 z
1
−6,92881=−18,942
M
32
=EI z
2
2 z
3
−1,5 z
1
23,86591=30,144
M
34
=EI z
3
−2,11714=−0,836
M
43
=0,5 EI z
3
−2,11714=−1,477
M
35
=
3
⋅1,389 EI
2
10
⋅z
3
−30,15099=−29,307
M
53
=0
M
56
=0
M
65
=23,096
[kNm]
(1.55)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
7/13
18,943
22,411
29,307
18,942
30,144
0,836
1,477
23,096
Rys.1.61. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury M
(n)
[kNm]
Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 3:
30,144
29,307
0,836
Rys.1.62. Równowaga węzła 3
∑
M =−30,14429,3070,836=−0,001 ≈0 [ kNm]
(1.56)
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe równieŜ w węźle 2 równowaga jest spełniona bowiem:
∑
M =18,943−18,942=0,001 ≈0 [ kNm]
(1.56)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
8/13
Mając określone wartości momentów zginających na kaŜdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach :
T
01
=T
10
=5,603 [kN ]
Rys.1.63. Pręt 01
T
12
=T
21
=−2,995 [kN ]
Rys.1.64. Pręt 12
T
32
=T
23
=−5,601 [kN ]
Rys.1.65. Pręt 23
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
9/13
I
1
0
1
N
10
N
01
T
01
T
10
22,411
4
2
6
I
2
1
2
N
21
N
12
T
12
T
21
18,943
N
23
N
32
T
32
T
23
30,144
2
I
1
2
3
18,942
T
34
=T
43
=0,578 [kN ]
Rys.1.66. Pręt 34
T
35
=T
53
=4,634 [kN ]
Rys.1.67. Pręt 35
T
56
=T
65
=−3,849 [kN ]
Rys.1.68. Pręt 56
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
10/13
4
I
1
3
4
N
34
N
43
T
43
T
34
1,477
0,836
2
6
I
2
3
5
N
53
N
35
T
35
T
53
29,307
I
1
6
5
N
56
N
65
T
65
T
56
23,096
6
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
2,995
5,603
5,601
0,578
3,849
-
-
+
-
4,634
+
+
Rys.1.69. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury T
(n)
[kN]
Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
2,995
1
α
5,603
N
10
=N
01
α
N
12
=N
21
Rys.1.70. Równowaga węzła 1
Mając dane:
sin
1
10
cos
3
10
(1.57)
Z równowagi węzła 1:
X
0 : 5,603 2,995 sin
N
12
cos
0
N
12
6,904 kN
Y
0 : N
01
2,995 cos
N
12
sin
0
N
01
5,025 kN
(1.58)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
11/13
6,904
2,995
2
α
5,601
N
23
α
Rys.1.71.Równowaga węzła 2
Z równowagi węzła 2:
∑
Y =0 :−N
23
−6,904 sin −2,995 cos =0 ⇒ N
23
=−5,025 [kN ]
(1.59)
N
35
4,634
3
α
0,578
N
34
α
5,601
5,025
Rys.1.72.Równowaga węzła 3
Z równowagi węzła 3:
∑
X =0 :−5,601−0,578N
35
cos 4,634 sin =0 ⇒ N
35
=4,969 [kN ]
∑
Y =0 :−5,025− N
34
N
35
sin −4,634 cos =0 ⇒ N
34
=−7,850 [kN ]
(1.60)
Z równowagi węzła 5 określam wartość poziomej reakcji H
5
w podporze występującej w tym węźle.
4,969
4,634
5
α
3,849
N
56
α
H
5
Rys.1.73.Równowaga węzła 5
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
12/13
Z równowagi węzła 5:
∑
X =0 : H
5
=−2,330 [kN ]
∑
Y =0 : 4,634 cos −4,969 sin −N
56
=0 ⇒ N
56
=2,825 [kN ]
(1.61)
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
6,904
5,025
5,025
7,850
2,825
+
-
-
+
4,969
+
+
Rys.1.74. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury N
(n)
[kN]
Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
5,603
0,578
3,849
5,025
7,850
2,825
2,330
22,411
1,477
23,096
Rys.1.75. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ
∑
X =0 :−5,603−0,5783,8492,330=−0,002 ≈0 [ kN ]
∑
Y =0 :−5,0257,850−2,825=0 [ kN ]
∑
M
o
=0 :−22,411−1,47723,096−7,85⋅62,825 ⋅122,330 ⋅6=−0,012 ≈0 [kNm]
(1.62)
Tomasz Terlecki gr 3 KBI
13/13